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Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

Inhaltsverzeichnis

$f \colon A \to B$ sei eine Abbildung.

$f\$ ist surjektiv $\Longleftrightarrow$ $f\$ ist rechtskürzbar.

(Dabei heißt $f\$ rechtskürzbar, wenn für beliebige Abbildungen $g, h \colon B \to C$ aus $g \circ f = h \circ f$ schon $g = h\$ folgt.)

$\Rightarrow$ : $f\$ werde als surjektiv vorausgesetzt und $g, h \colon B \to C$ seien beliebige Abbildungen mit $g \circ f = h \circ f$ . Wir müssen $g = h\$ zeigen.
Dazu sei $b \in B$ beliebig. Da $f\$ surjektiv ist, gibt es (mindestens) ein Element $a \in A$ mit $f(a) = b\$ . Wegen $g \circ f = h \circ f$ gilt $g(f(a)) = h(f(a))\$ , also $g(b) = h(b)\$ . Damit ist $g = h\$ bewiesen.
$\Leftarrow$ : $f\$ werde als rechtskürzbar vorausgesetzt. Nun sei ein beliebiges Element $b \in B$ gegeben. Wir nehmen an, dass $b\$ nicht in der Bildmenge von $f\$ liegt und werden diese Annahme zum Widerspruch führen
Dazu werden zwei Abbildungen $g, h \colon B \to \{0, 1\}$ folgendermaßen definiert:
$g(x) := 1\$ ,
$h(x) := 1\$ für $x \ne b$ und $h(b) := 0\$ .
Da $b\$ ja nicht im Bild von $f\$ liegt, gilt $g \circ f = h \circ f$ . Aus der Rechtskürzbarkeit von $f\$ folgt $g = h\$ , was aber nicht stimmt. Also war die Annahme, dass $b\$ nicht im Bild von $f\$ liegt falsch, und $f\$ ist als surjektiv nachgewiesen.