Beweisarchiv: Satz von Wilson

Aus Wikibooks

---

[Bearbeiten] Satz von Wilson

Es ist (p − 1)! + 1 genau durch p teilbar, wenn p eine Primzahl ist!

Anders geschrieben:

ist eine Primzahl.

[Bearbeiten] Beweis (mit Polynomen und dem Satz von Vieta)

Das Polynom X^{p − 1} − 1 hat nach dem kleinen Satz von Fermat über die Nullstellen . Da sein Grad p − 1 ist, sind dies alle Nullstellen, und es handelt sich um einfache Nullstellen. Nach dem Satz von Vieta ist das Absolutglied − 1 bis auf das Vorzeichen ( − 1)^{p − 1} = 1 das Produkt der Nullstellen.

Hinweis: Die Tatsache, dass p eine Primzahl ist, geht auch nochmals als Voraussetzung der Nullteilerfreiheit des Grundringes beim Satz von Vieta ein. So gilt generell, dass das Polynom X^φ(n) − 1 über die Nullstellen hat, aber beispielsweise für n = 8 sind die Polynome X⁴ − 1 und

(X − 1)(X − 3)(X − 5)(X − 7) = X⁴ − 2X² + 1

verschieden.

[Bearbeiten] Beweis (durch Ausnutzung der multiplikativen Gruppenstruktur)

Die Behauptung lässt sich dazu umformulieren, dass das Produkt aller Elemente der Gruppe gleich − 1 ist. Betrachtet man zu einem Element jeweils sein Inverses, so kann man diejenigen Elemente, die von ihren Inversen verschieden sind, zu Paaren zusammenfassen, die sich im Produkt jeweils aufheben. Es gilt also

Die Bedingung a = a ^{− 1} ist äquivalent zu a² = 1, und ist ein Vetreter von a in , so ist die Bedingung gleichbedeutend mit

also muss einer der Faktoren durch p teilbar sein, das bedeutet aber nichts anderes als a = 1 oder a = − 1. (Hier wurde im wesentlichen die Nullteilerfreiheit von nachgewiesen.) Damit berechnet man das gesuchte Produkt für alle p > 2:

---