Beweisarchiv: Zahlentheorie: Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper

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Beweisarchiv: Zahlentheorie: Algebraische Zahlentheorie

Einige Beweise zum Begriff der Pythagoraszahl.

[Bearbeiten] Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)

Sei $F$ ein nicht-reeller Körper (d.h. -1 lässt sich in $F$ als Summe von Quadraten darstellen). Dann lässt sich die Pythagoraszahl von $F$ abschätzen durch die Stufe $s (F)$ von $F$ :

$s(F) \leq p(F) \leq s(F)+1$

Beweis: Falls $char(F) = 2$ , (vgl. Körper- und Ringtheorie) dann ist $p (F) = s (F) = 1$ , denn es gilt

$\sum_{i=1}^n a_i^2 = \left(\sum_{i=1}^n a_i \right)^2$

Sei also $\text{char}(F) \neq 2$ , sei $s = s (F)$ und $-1 = e_1^2 + \ldots + e_s^2$ für gewisse $e_i \in F$ . Sei $a \neq 0$ eine Quadratsumme beliebiger Länge, dann gilt

$\begin{align} a &= \left( \frac{a+1}{2} \right)^2 + (-1)\left( \frac{a-1}{2} \right)^2 \\ &= \left( \frac{a+1}{2} \right)^2 + \left( \frac{e_1(a-1)}{2} \right)^2 + \ldots + \left( \frac{e_s(a-1)}{2} \right)^2 \\ & \in \sum^{s+1} F^2 \end{align}$

Falls $p (F) < s$ wäre, dann existierte insbesondere auch eine Darstellung der -1 als Quadratsumme der Länge $p (F)$ , was im Widerspruch zur Definition der Stufe von F stünde.

Demnach ist $s(F) \leq p(F) \leq s(F)+1$ .

$\Box$

[Bearbeiten] Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)

$p(\Bbb F_q) = 2$

für alle $q = p n$ wo $p > 2$ prim und $n > 0$ ist.

Beweis: Wir zeigen, dass für $F = \Bbb F_q$ gilt: $F^\times / (F^\times)^2 = \{ (F^\times)^2, \varepsilon(F^\times)^2 \}$ , wobei mit $F^\times$ die mulitplikative Untergruppe $F\setminus\{0\}$ von $F$ gemeint ist und $\varepsilon$ selbst kein Quadrat, sondern genau die Summe zweier Quadrate ist.

Betrachte den Gruppenhomomorphismus in $F^\times$ , der $x$ auf $x 2$ abbildet. Der Kern dieser Abbildung ist $\{\pm 1\}$ . Es gilt also $|(F^\times)^2| = \frac{q-1}{2}$ und $|F^\times \setminus (F^\times)^2| = \frac{q-1}{2}$ . Damit ist $F^\times = (F^\times)^2 \cup \varepsilon(F^\times)^2$ für $\varepsilon \notin (F^\times)^2$ und folglich $p(F) \geq 2$ .

Betrachte nun die Mengen $\{ x^2 | x \in F\}$ und $\{ \varepsilon - y^2 | y \in F\}$ . Beide Mengen haben Kardinalität $\frac{q+1}{2}$ , also ist ihre Schnittmenge nicht leer, und folglich existieren $x,y \in F$ , so dass $x^2 + y^2 = \varepsilon$ . Da $\varepsilon \in F^\times \setminus (F^\times)^2$ beliebig war, folgt $p(F) \leq 2$ .