Darstellende Geometrie
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Inhaltsverzeichnis |
Allgemeines [Bearbeiten]
Die Inhalte der Darstellenden Geometrie bauen auf mathematischen Gesetzen auf. Als Begründer der klassischen Darstellenden Geometrie gilt allgemein der Franzose Gaspard Monge (1746 – 1818). Zentrale raumgeometrische und konstruktive Inhalte finden sich bereits wesentlich früher, etwa beim genialen deutschen Künstler Albrecht Dürer (1471 – 1528), beim römischen Architekten Marcus Vitruv (1. Jhdt v. Chr.) oder beim griechischen Mathematiker Euklid (um 300 v. Chr.).
Im Laufe ihrer Entwicklung hat sich die Darstellende Geometrie vom reinen darstellen von Objekten hin zu einer wichtigen unterstützenden Wissenschaft für viel technische Disziplinen entwickelt. Zudem ist die Darstellende Geometrie heute untrennbar mit dem Zeichenmedium "CAD" verknüpft. Das eine ist ohne das andere nicht mehr denkbar.
Das Fach Darstellende Geometrie, Raumgeometrie und CAD oder wie immer es heißen mag ist als Grundlagenfach in der Ausbildung für Architekten und Bauingenieure auf universitärer Ebene selbstverständlich. Die Bedeutung des Faches bereits in der Schulausbildung liegt in der Entwicklung und Förderung der Raumintelligenz. Diese ist für Mediziner, Piloten, Techniker unverzichtbar.
Übersicht [Bearbeiten]
Ziel der darstellenden Geometrie ist es, räumliche Objekte in einer Ebene darzustellen und räumliche geometrische Probleme zu lösen.
Dabei muss man sich entscheiden, ob man eher eine möglichst große Maßgenauigkeit oder eine gute Anschaulichkeit erreichen will. Eine große Maßgenauigkeit führt zu einem Verlust der Anschaulichkeit und umgekehrt.
Beispiel: Bei den folgenden Abbildern eines Hauses kann man leicht alle genauen Maße für Länge, Breite und Höhe ablesen. Die Darstellungen sind aber wenig anschaulich. Natürlich können geübte Augen sich daraus ein "Bild machen". Die meisten können dies aber nicht.
Bei diesen beiden nächsten Bildern hat man zwar einen besseren räumlichen Eindruck, aber die Maße lassen sich, vor allem im rechten, perspektiv dargestellten Bild, nur schwer ablesen.
Abbildungsverfahren [Bearbeiten]
Um den verschiedenen Gesichtspunkten der Darstellung von Körpern (Maßgenauigkeit und Anschaulichkeit) Rechnung zu tragen, gibt es verschiedene Abbildungsverfahren.
Das gemeinsame Grundprinzip ist, dass die wichtigsten Punkte und Kurven eines Objektes mit Hilfe von gedachten Strahlen (Geraden), auf eine Bildtafel (Ebene) abgebildet (projiziert) werden.
Je nachdem, wie diese (Projektions)strahlen zur Bildtafel stehen, bzw. wo sie sich miteinander treffen, unterscheidet man verschiedene Projektionsarten:
Parallelprojektion [Bearbeiten]
Bei der Parallelprojektion sind die Abbildungsstrahlen parallel, das heißt, der Ursprung der Projektion, das Projektionszentrum liegt im Unendlichen. Ein Modell für eine solche Abbildung ist der Schattenwurf bei Sonnenlicht, da aufgrund der großen Entfernung der Beleuchtungsquelle die Lichtstrahlen nahezu parallel verlaufen.
Man unterscheidet bei der Parallelprojektion noch die beiden Fälle:
- orthogonale Parallelprojektion (Normalprojektion)
- Die Strahlen stehen senkrecht zur Bildtafel.
- Darstellungsverfahren, die sich der orthogonalen Parallelprojektion bedienen:
- –Eintafelverfahren (kotierte Projektion)
- –Zweitafelverfahren
- –orthogonale Axonometrie
- schiefe Parallelprojektion
- Die Strahlen stehen nicht senkrecht zur Bildtafel.
- Darstellungsverfahren, die sich der schiefen Parallelprojektion bedienen:
- –Grundrissaxonometrie
- –Aufrissaxonometrie
Beispiel für eine orthogonale Parallelprojektion:
Die Abbdildungsstrahlen fallen senkrecht auf die Bildebene. Es werden nur die wichtigsten Punkte projiziert.
Wenn man die Eckpunkte abgebildet hat, und sie richtig verbindet, erhält man die Parallelprojektion.
Das entstehende Bild ist recht anschaulich und gibt einen guten Eindruck vom räumlichen Bild des Körpers.
Beispiel für eine schiefe Parallelprojektion:
Im Unterschied zur senkrechten Parallelprojektion, fallen hier die Strahlen schräg auf die Bildebene.
Das Bild ist ebenfalls noch recht anschaulich, aber dadurch, dass die Frontseite des Würfels parallel zur Bildebene dargestellt wird, kann man seine Maße besser erkennen. So erscheint aber die Form etwas verfälscht.
Zentralprojektion [Bearbeiten]
Das Projektionszentrum oder der Augpunkt liegt im Endlichen, das heißt die Projektionsstrahlen treffen sich alle in einem Punkt, sind also nicht parallel zueinander.
Durch die Zentralprojektion projezierte Geraden "flüchten" (verjüngen) sich zum Projektionszentrum hin.
Diese Projektion kommt unserem natürlichen Sehen am nächsten und erzeugt eine große Anschaulichkeit.
Allerdings nimmt die Maßgerechtigkeit und Winkeltreue ab.
- Darstellungsverfahren, die sich der Zentralprojektion bedienen:
- -Fotografie
- -Perspektive
- -Schatten bei Kunstlicht (nahe, zentrale Lichtquelle)
Geometrische Grundbegriffe [Bearbeiten]
Eigenschaften der Projektionsarten [Bearbeiten]
Projektionen sind im allgemeinen ...
- ...punkttreu, das heißt ein Punkt A wird auf nur einen Punkt A' abgebildet.
- Es kommen also keine neuen Ecken dazu. Umgekehrt kann es sein, dass Punkte scheinbar verschwinden, weil Strecken hintereinander in einer Linie abgebildet werden.
- ...geradentreu, das heißt eine Gerade g wird auf nur eine Gerade g' abgebildet.
- Sonderfall: Geht eine Gerade durch das Projektionszentrum (das bedeutet im Fall der Parallelprojektion Parallelität zur Projektionsrichtung), so ist ihr Bild g' ein Punkt. Man nennt g dann auch projizierend.
- ...inzidenzerhaltend, das heißt wenn P auf g liegt, liegt P' auf g'.
- ...tangenterhaltend, das heißt Tangenten an Kurven gehen in Tangenten an die Bildkurven über.
Die Besonderheiten der Parallelprojektion:
- Die Bilder paralleler Geraden sind im Allgemeinen wieder parallel (Ausnahmen: projizierende Geraden)
- Parallele Geradenstücke werden im gleichen Verhältnis verzerrt
- Ebene Figuren erscheinen im Bild unverzerrt, wenn sie parallel zur Bildtafel liegen.
- Ebene Figuren erscheinen im Bild auch dann unverzerrt, wenn sie in einer Ebene x liegen, die spiegelsymmetrisch zu einer Ebene y ist, die zu den Projektionsstrahlen senkrecht sind.
