Die Mechanik starrer Körper

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Einführung in die Theoretische Physik - Ein Lehrbuch in mehreren Bänden, 6. Teil


Es existieren zwei Werke, beide sollten in ein Werk zusammengeführt werden. "Die Mechanik starrer Körper" und "Mechanik starrer Körper" und eines zur Löschung vorgeschlagen werden. -- ThePacker 20:23, 16. Jul 2006 (UTC)

Mechanik starrer Körper sollte beibehalten werden, da es etwas umfangreicher ist und mit Einführung in die Theoretische Physik - Ein Lehrbuch in mehreren Bänden verlinkt ist.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Die Kinematik starrer Körper

siehe Mechanik starrer Körper#Die Kinematik starrer Körper

[Bearbeiten] Die Anzahl der Freiheitsgrade eines starren Körpers

siehe Mechanik starrer Körper#Die Anzahl der Freiheitsgrade eines starren Körpers

[Bearbeiten] Die eulerschen Winkel

siehe Mechanik starrer Körper#Die eulerschen Winkel

[Bearbeiten] Ebene Bewegung eines starren Körpers

siehe Mechanik starrer Körper#Ebene Bewegung eines starren Körpers

[Bearbeiten] Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt

siehe Mechanik starrer Körper#Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt

[Bearbeiten] Die allgemeinste Bewegung eines starren Körpers

siehe Mechanik starrer Körper#Die allgemeinste Bewegung eines starren Körpers

[Bearbeiten] Kräftesysteme, die an einem starren Körper angreifen

Ein einzelner Massenpunkt erfährt keine Beschleunigung, wenn die Resultierende aller an ihm angreifenden Kräfte null ist. Man sagt dann, die angreifenden Kräfte seien im Gleichgewicht (oder auch – weniger präzise – der Massenpunkt sei im Gleichgewicht). Analog gilt für ein System von Massenpunkten, dass sein Schwerpunkt keine Beschleunigung erfährt, wenn die Resultierende aller Kräfte, die an dem Punktsystem angreifen, null ist. Es sei Fi die Resultierende aller Kräfte, die am i-ten Massenpunkten angreifen. Dann lautet die Bedingung für die Kräftefreiheit seines Schwerpunkts also:


\sum\limits_i {\overrightarrow F _i } = 0.

Das bedeutet jedoch noch nicht, dass dann auch alle Massenpunkte des Systems unbeschleunigt sind, denn es könnte ja noch Rotationsbeschleunigungen um den (unbeschleunigten) Schwerpunkt geben. Die notwendige und hinreichende Bedingung für das Fehlen von Rotationsbeschleunigungen ist, dass die Summe aller an dem System angreifenden Drehmomente bezüglich O gleich null ist:


\overrightarrow M _O = \sum\limits_i {\left( {\overrightarrow M _O } \right)_i } = \sum\limits_i {\overrightarrow r _i \times \overrightarrow F _i } = 0.


Beweis: Wie ich im Wikibuch "Mechanik realer Körper" im Kapitel "Drehimpuls und Drehmoment" gezeigt habe, ist ganz allgemein bei einem System von Massenpunkten


\frac{{\operatorname{d} \overrightarrow L _O }} {{\operatorname{d} t}} = \sum\limits_i {\left( {\overrightarrow r _i \times \overrightarrow F _i } \right)} = \overrightarrow M _O .


Das bedeutet: Die Änderungsgeschwindigkeit dLO/dt des Drehimpulses LO des Systems bezüglich O ist gleich der Summe der auf das System einwirkenden Drehmomente bezüglich O. Wenn das Drehmoment MO null ist, ist auch die Änderungsgeschwindigkeit des gesamten Drehimpulses gleich null. Der gesamte Drehimpuls bleibt also konstant.


Folglich gilt: Notwendige und hinreichende Bedingung für das Fehlen von Translations- und Rotationsbeschleunigung bei einem starren Körpers ist, dass sowohl die Resultiere F der Kräfte als auch die Resultierende M der Drehmomente, die an dem Körper angreifen, null ist:


\overrightarrow F = \sum\limits_i {\overrightarrow F _i = 0\quad und\quad \overrightarrow M _O = \sum\limits_i {\overrightarrow r _i \times \overrightarrow F _i } } = 0.


Für die Wirkung des an einem starren Körper angreifenden Kräftesystems kommt es also nur auf die beiden Resultierenden F und MO an. Dies gilt – wie später gezeigt werden wird – nicht nur für den (statischen) Fall, dass keine Beschleunigungen stattfinden. Auch in den Gleichungen der Dynamik treten nur diese beiden Summenvektoren auf, sodass man sagen kann: Alle Systeme von Kräften, die in den Resultierenden F und MO übereinstimmen, sind in ihrer Wirkung gleichwertig (äquivalent).

In diesem Zusammenhang begegnet uns ein weiterer Typ von Vektoren: Im Gegensatz zu den freien Vektoren (sie sind beliebig verschiebbar) und den gebundenen Vektoren (sie sind an einen Punkt gebunden; z. B. Feldvektoren und Ortsvektoren), dürfen Kraftvektoren nur in ihrer Wirkungslinie verschoben werden, da sich bei einer Parallelverschiebung außerhalb ihrer Wirkungslinie das von ihnen ausgeübte Drehmoment ändert. Solche Vektoren heißen linienflüchtig.

Dass Kraftvektoren nur in ihrer Wirkungslinie verschoben werden dürfen, hat Konsequenzen für die graphische Addition paralleler und antiparalleler Kräfte.


1. Fall: Parallele Kräfte

Um die Resultierende der beiden Kräfte und ihre Wirkungslinie zu finden, verschieben wir zunächst eine der beiden Kräfte (hier F1) in ihrer Wirkungslinie, sodass die Verbindungslinie der Angriffspunkte der beiden Kräfte auf ihren Wirkungslinien senkrecht steht. Dann addieren wir zu beiden Kräften eine Hilfskraft Fx bzw. –Fx. Da sowohl die Summe wie das Drehmoment der beiden Kräfte null ist, ändert ihr Hinzufügen nichts an dem gegebenen Kräftesystem. Nun werden die beiden resultierenden Kräfte (grün) ermittelt und beide in ihren Wirkungslinien bis zum Schnitt verschoben. Durch Addition ergibt sich die resultierende Kraft FR. Sie ist parallel zu F1 und F2. Ihr Betrag ist gleich der Summe F1 + F2. Die Resultierende kann nach Belieben in ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Geschieht das so, wie in der Abbildung gezeigt, erkennt man, dass ihre Abstände von den beiden Teilkräften nach dem Hebelgesetz berechnet werden können.


image:KS-03.PNG


2. Fall: Antiparallele Kräfte

image:KS-04.PNG


Die größere der beiden Kräfte (hier F2) wird in zwei Teilkräfte -F1 und F3 zerlegt. F1 und -F1 bilden zusammen ein Kräftepaar (das sind zwei entgegengesetzt gleiche Kräfte, die nicht am selben Punkt angreifen). Also gilt: Antiparallele Kräfte sind äquivalent einer Einzelkraft und einem Kräftepaar. Ist F2 = –F1, so ist die Einzelkraft null. Dies ist ein einfaches Beispiel dafür, dass zwar F = O, aber M ungleich null sein kann.

Das Drehmoment des Kräftepaares ist


\overrightarrow M = \overrightarrow r _1 \times \overrightarrow F _1 + \overrightarrow r _2 \times \left( { - \overrightarrow F _1 } \right) = \left( {\overrightarrow r _1 - \overrightarrow r _2 } \right) \times \overrightarrow F _1 = \overrightarrow a \times \overrightarrow F _1 \,.


Das Drehmoment eines Kräftepaares ist also von der Lage des Bezugspunktes O unabhängig.

Im Allgemeinen jedoch hängt der Betrag eines Drehmoments vom Bezugspunkt O ab, da sich bei einer Verlagerung des Bezugspunktes die »Kraftarme« ändern und sogar beliebig groß werden können. Das Drehmoment ist jedoch immer dann vom Bezugspunkt unabhängig, wenn die Resultierende F der Kräfte null ist.


Beweis: Verschiebt man den Bezugspunkt O um den Vektor s nach O' und bezeichnet die neuen Ortsvektoren mit r' , so ist


\overrightarrow {r'} = \overrightarrow r - s


und


\sum\limits_i {\overrightarrow {r'} _i \times \overrightarrow F _i } = \sum\limits_i {\overrightarrow r _i \times \overrightarrow F _i } - \sum\limits_i {\overrightarrow s \times \overrightarrow F _i } =
= \sum\limits_i {\overrightarrow r _i \times \overrightarrow F _i } - \overrightarrow s \times \sum\limits_i {\overrightarrow F _i } = \sum\limits_i {\overrightarrow r _i \times \overrightarrow F _i } - \overrightarrow s \times \overrightarrow F \,.


Für F = 0 verschwindet der letzte Term, und es wird


\sum\limits_i {\overrightarrow {r'} _i \times \overrightarrow F _i } = \sum\limits_i {\overrightarrow r _i } \times \overrightarrow F _i \,.


Wie oben gesagt wurde, kommt es bei einem Kräftesystem, das an einem starren Körper angreift, nur auf die Resultierenden F und M an. Die Resultierende F ist eine einzelne Kraft, und das resultierende Moment M kann durch ein geeignetes Kräftepaar aufgebracht werden. Also gilt:

Jedes an einem starren Körper angreifende Kräftesystem kann ersetzt werden durch eine Einzelkraft und ein Kräftepaar.

 

 

[Bearbeiten] Rotation um eine feste Achse

Wenn ein starrer Körper in zwei Punkten O und O' fixiert wird, ist seine Freiheit auf die Rotation um die Achse OO' eingeschränkt. Er hat nur noch einen Freiheitsgrad, und seine Lage ist durch den Drehwinkel φ eindeutig beschrieben. Von den an ihm angreifenden Drehmomenten wirken lediglich ihre in der Drehachse liegenden Komponenten; die übrigen Komponenten werden durch Zwangskräfte in den Lagern kompensiert.

Wir legen nun den Ursprung des Koordinatensystems in den Punkt O und die Z-Achse in die Drehachse.


image:Ro-01.PNG


Die Gleichung für die Änderung des Gesamt-Drehimpulses des Körpers vereinfacht sich daher auf die Berücksichtigung der (skalaren) Z-Komponenten des Drehimpulses und der Resultierenden der (auf den Punkt O bezogenen) Drehmomente:


\frac{{\operatorname{d} L_z }} {{\operatorname{d} t}} = M_z \,.


Für den Drehimpuls L gilt:


\overrightarrow L = \sum\limits_i {m_i \left( {\overrightarrow r _i \times \overrightarrow v _i } \right)} \,,


und mit


\overrightarrow v _i = \omega \overrightarrow k \times \overrightarrow r _i

Hierbei wurde das Ergebnis folgender Überlegung benutzt: Ein Punkt rotiere mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die Z-Achse.


Bild:R-01.PNG


Seine Bahngeschwindigkeit ist dann v = ω ρ = ω r sin α. Der Vektor v steht auf k und r senkrecht. Der Einheitsvektor von der Richtung der Geschwindigkeit ist daher

\overrightarrow e _v = \frac{{\overrightarrow k \times \overrightarrow r }}{{\left| {\overrightarrow k \times \overrightarrow r } \right|}} = \frac{{\overrightarrow k \times \overrightarrow r }}{{r\sin \alpha }}.


Somit ist


\overrightarrow v = v\,\overrightarrow e _v = \omega \,r\sin \alpha \frac{{\overrightarrow k \times \overrightarrow r }} {{r\sin \alpha }} = \omega \left( {\overrightarrow k \times \overrightarrow r } \right).


\overrightarrow L = \sum\limits_i {m_i \left[ {\overrightarrow r _i \times \left( {\omega \overrightarrow k \times \overrightarrow r _i } \right)} \right]} \,,


wobei ω k der Vektor der Winkelgeschwindigkeit ist.


Für ein zweifaches Vektorprodukt gilt


\overrightarrow u \times \left( {\overrightarrow v \times \overrightarrow w } \right) = \overrightarrow v \left( {\overrightarrow u \,\overrightarrow w } \right) - \overrightarrow w \left( {\overrightarrow v \,\overrightarrow u } \right).


Also ist


\overrightarrow r _i \times \left( {\omega \overrightarrow k \times \overrightarrow r _i } \right) = \omega \overrightarrow k \left( {\overrightarrow r _i \,\overrightarrow r _i } \right) - \overrightarrow r _i \left( {\omega \overrightarrow {k\,} \overrightarrow r _i } \right) = \omega \overrightarrow k r_i^2 - \omega \overrightarrow r _i \left( {\overrightarrow k \,\overrightarrow r _i } \right)


und


\overrightarrow L = \omega \overrightarrow k \sum\limits_i {m_i \,r_i^2 - \omega \sum\limits_i {m_i \overrightarrow r _i \left( {\overrightarrow k \,\overrightarrow r _i } \right)} } = \omega \overrightarrow k \sum\limits_{} {m_i \,r_i^2 } - \omega \sum\limits_{} {m_i \overrightarrow r _i \,z_i \,.}


Die Z-Komponente von L ist gleich der Z-Komponente der rechten Seite der Gleichung:


L_z = \omega \sum\limits_i {m_i r_i^2 } - \omega \sum\limits_i {m_i z_i^2 = \omega \sum\limits_i {m_i \left( {x_i^2 + y_i^2 + z_i^2 } \right)} } - \omega \sum\limits_i {m_i z_i^2 } \,,


und schließlich


L_z = \omega \sum\limits_i {m_i \left( {x_i^2 + y_i^2 } \right)} \,.


Die Größe


\sum\limits_i {m_i \left( {x_i^2 + y_i^2 } \right)} = \sum\limits_i {m_i \,\rho _i^2 } = J_{zz}


heißt Trägheitsmoment des Körpers bezüglich der Z-Achse und wird aus einem erst später erkennbaren Grund Jzz genannt. Dabei ist ρi der Masse mi von der Drehachse.

Damit lautet die (einzige) Bewegungsgleichung des Körpers:


J_{zz} \frac{{\operatorname{d} \omega }} {{\operatorname{d} t}} = J_{zz} \frac{{\operatorname{d} ^2 \varphi }} {{\operatorname{d} t^2 }} = M_z \,.


Ein Vergleich mit der Bewegungsgleichung der eindimensionalen Translationsbewegung


m\frac{{\operatorname{d} ^2 x}} {{\operatorname{d} t^2 }} = F_x


zeigt die formale Identität der beiden Gleichungen, wobei einander entsprechen:

Trägheitsmoment Jzz und Masse m

Winkelbeschleunigung d²φ/dt² und Bahnbeschleunigung d²x/dt

Axiale Komponente des Drehmoments und Bahnkomponente der Kraft


Die kinetische Energie des rotierenden Körpers ist


E_{kin} = \frac{1} {2}\sum\limits_i {m_i \,v_i^2 } = \frac{1} {2}\sum\limits_i {m_i \left( {\omega \overrightarrow k \times \overrightarrow {r_i } } \right)} = \sum\limits_{} {m_i \rho _i^2 \omega ^2 = }
= \frac{1} {2}J_{zz} \omega ^2 = \frac{1} {2}J_{zz} \left( {\frac{{\operatorname{d} \varphi }} {{\operatorname{d} t}}} \right)^2 ,


in vollständiger Analogie zur kinetischen Energie der Translationsbewegung.


E_{kin} = \frac{1} {2}m\,v^2 = \frac{1} {2}m\left( {\frac{{\operatorname{d} x}} {{\operatorname{d} t}}} \right)^2 .

 

[Bearbeiten] Das Trägheitsmoment starrer Körper

[Bearbeiten] Das Trägheitsmoment eines homogenen Körpers

siehe Mechanik starrer Körper#Das Trägheitsmoment eines homogenen Körpers

[Bearbeiten] Der Satz von Steiner

siehe Mechanik starrer Körper#Der Satz von Steiner

[Bearbeiten] Das Trägheitsellipsoid

Für eine beliebige Drehachse A durch einen Punkt O, deren Richtung durch den Einheitsvektor a beschrieben wird, stellen wir folgende Überlegungen an: Den Punkt O machen wir zum Ausgangspunkt der Ortsvektoren ri. Die Richtungskosinus des Vektors a seien cos α, cos β, cos γ. Das Trägheitsmoment des betrachteten Körpers bezüglich der Achse ist dann

image:Tr-4.PNG

Das Trägheitsmoment ist demnach eine quadratische Funktion der Richtungskosinus der Achse. Die Koeffizienten dieser Funktion sind zum einen die Trägheitsmomente des Körpers bezüglich der Koordinatenachsen:

image:Tr-5.PNG


zum anderen die folgenden Größen, welche Deviationsmomente genannt werden:

image:Tr-6.PNG

Damit lautet die obige Gleichung

image:Tr-7.PNG

Ich werde nun statt der Richtungskosinus der Achse die Koordinaten eines auf der Achse gelegenen Punktes P(x, y, z) mit dem Ortsvektor r einführen. Dann ist:

image:Tr-8.PNG

Die Gleichung vereinfacht sich erheblich, wenn wir P so wählen, dass r² = 1/J ist. Sie lautet dann:

image:Tr-09.PNG

Dies ist die Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung, also eines Ellipsoids, eines Paraboloids oder eines Hyperboloids, das wegen der oben getroffenen Verabredung folgende Eigenschaft hat: Der Abstand r eines jeden Punktes P der Fläche vom Punkt O ist gleich dem Kehrwert aus der Wurzel des Trägheitsmoments J, das der betrachtete Körper bezüglich der Achse OP hat. Da das Trägheitsmoment eines realen Körpers niemals null sein kann, wird r niemals unendlich. Folglich muss die Fläche ein Ellipsoid sein (in Spezialfällen ein Rotationsellipsoid oder eine Kugel).

Das Ellipsoid ist durch die sechs Koeffizienten seiner Gleichung eindeutig bestimmt. Bei Kenntnis dieser Größen kann man den Abstand r eines jeden Punktes P der Fläche von O berechnen, woraus sich dann das Trägheitsmoment des betrachteten Körpers bezüglich der Achse OP ergibt: J = 1/r². Das Ellipsoid heißt daher Trägheitsellipsoid des Körpers für den Punkt O.

Aus der Analytischen Geometrie ist bekannt, dass es für jede Fläche 2. Ordnung ein ausgezeichnetes Koordinatensystem (X', Y', Z') gibt (und zwar das Koordinatensystem, desen Achsen mit den Hauptachsen des Ellipsoids zusammenfallen), in welchem die Flächengleichung eine besonders einfache Form hat, nämlich die Form


JI x' ² + JII y' ² + JIII z' ² = 1


wobei JI, JII und JIII zunächst irgendwelche Koeffizienten sind. In unserem Fall heißen diese drei Größen die Hauptträgheitsmomente des Körpers (bezüglich O). Sind die Achsen der Hauptträgheitsmomente und deren Beträge bekannt, so kann daraus das Trägheitsmoment des Körpers für jede beliebige Achse durch O ermittelt werden. Ist O zugleich der Schwerpunkt S des Körpers, so kann man aus den Hauptträgheitsmomenten zunächst das Trägheitsmoment für jede andere Achse durch S berechnen und daraus nach dem Satz von Steiner das Trägheitsmoment für jede dazu parallele Achse.

Ein Vergleich der beiden Gleichungen des Trägheitsellipsoids zeigt, dass beim Übergang auf die Hauptträgheitsachsen Folgendes geschieht:


J_{xx} \to J_{x'x'} = J_I ,\quad J_{yy} \to J_{y'y'} = J_{II} ,\quad J_{zz} \to J_{z'z'} ,\quad J_{xy} = J_{yz} = J_z = 0.


 

[Bearbeiten] Trägheitsmoment und Rotationsenergie

siehe Mechanik starrer Körper#Trägheitsmoment und Rotationsenergie

[Bearbeiten] Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt

[Bearbeiten] Zusammenhang zwischen Trägheitsmoment, Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit

siehe Mechanik starrer Körper#Zusammenhang zwischen Trägheitsmoment, Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit

[Bearbeiten] Kreisel

Ein Kreisel ist ein (im Allgemeinen) schnell rotierender starrer Körper. Am einfachsten zu behandeln ist ein Kreisel mit drei gleichen Trägheitsmomenten. Ein solcher heißt Kugelkreisel, auch wenn er nicht die Gestalt einer Kugel hat. Technische Kreisel sind im Allgemeinen Rotationskörper, bei denen nur zwei Hauptträgheitsmomente gleich sind; ihr Trägheitsellipsoid ist ein Rotationsellipsoid.

Kreisel mit drei verschiedenen Hauptträgheitsmomenten sind mathematisch sehr schwer zu behandeln; sie kommen in der technischen Mechanik kaum vor, spielen aber als Modelle in der Molekularphysik eine Rolle. Ich beschränke mich hier auf die Betrachtung rotationssymmetrischer Kreisel.

Wir legen die k' -Achse des körperfesten Koordinatensystems in die Symmetrieachse des Kreisels, die Figurenachse genannt wird. Sie ist auch die Figurenachse des rotationssymmetrischen Trägheitsellipsoids. Es gibt dann ein Trägheitsmoment J bezüglich der Figurenachse und ein Trägheitsmoment Js bezüglich jeder zur Figurenachse senkrechten Achse. Es ist nun:

image:Tr-15.1.PNG



Ich stelle nun den Vektor ω der Winkelgeschwindigkeit und den Vektor L des Drehimpulses im körperfesten Koordinatensystem dar und fasse die zu k' senkrechten Komponenten von ω zu einem Vektor ωs zusammen:

image:Tr-16.1.PNG


Die folgende Abbildung macht dieses Ergebnis anschaulich:

image:Tr-17.PNG


[Bearbeiten] Der kräftefreie symmetrische Kreisel

Bei einem Kreisel, auf den kein Drehmoment einwirkt, bleibt der Drehimpuls L konstant. Die Differentiation der letzten Gleichung des vorangegangenen Abschnitts nach der Zeit ergibt daher wegen dL/dt = 0 :

image:Tr-18.1.PNG

Nun ist aber bei der Rotation eines Ortsvektors r sein Geschwindigkeitsvektor v:

image:Tr-19.1.PNG

Dies gilt auch für den Einheitsvektor k' , den man ja als den Ortsvektor eines Punktes auf der Z' -Achse im Abstand 1 von O auffassen kann. Folglich ist:

image:Tr-20.1.PNG


Wenden wir diese Ergebnisse auf die letzte Abbildung an, so erkennen wird, dass die Form des blauen Vektordreiecks unveränderlich ist. Auch der Winkel zwischen dem konstante Vektor L und dem Vektor k' muss konstant sein. Die einzige Möglichkeit einer Veränderung besteht folglich darin, dass sich die Ebene der Vektoren im Raum dreht. Die Drehachse muss dabei die unveränderliche Richtung von L sein. Die Bewegung des kräftefreien symmetrischen Kreisels kann also nur darin bestehen, dass die momentane Drehachse ω einen Kegel um die raumfeste Drehmomentachse L beschreibt, und der Kreisel selbst um ω rotiert. Diese Bewegung wird Nutation genannt.

Nun kann aber jede Bewegung eines starren Körpers (siehe das gleichnamige Kapitel) durch das Abrollen des Gangpolkegels auf dem Rastpolkegel dargestellt werden. Die (momentan) gemeinsame Mantellinie der beiden Kegel liegt dabei auf dem Vektor der Winkelgeschwindigkeit. Die Figurenachse k' des Kreisels beschreibt dabei einen Kegel, dessen Achse auf dem Vektor P liegt.

image:Tr-21.PNG


 

[Bearbeiten] Der Kreisel unter der Wirkung eines äußeren Drehmoments

Um zu erforschen, wie sich ein frei beweglicher Kreisel unter der Wirkung eines äußeren Drehmoments verhält, denken wir uns den Kreisel K in einem Gehäuse G reibungsfrei gelagert, das durch eine kardanische Aufhängung in allen Richtungen gedreht werden kann. (Von einer Translationsbewegung des Gehäuses und damit auch des Kreisels können wir absehen, da sich dadurch nichts Neues ergibt.) Der Schwerpunkt des Kreisels falle mit dem Zentrum der kardanischen Aufhängung zusammen. Die Kreiselachse sei die k-Achse.

Der Kreisel werde durch Drehmoment parallel zur Drehachse auf die gewünschte Drehzahl gebracht. Wenn das Drehmoment zu wirken aufhört, bleibt seine Winkelgeschwindigkeit ωzk konstant.

image:Tr-22.PNG

Nun soll sich das Gehäuse mit der Winkelgeschwindigkeit Ω drehen, und wir fragen nach dem Drehmoment, das erforderlich ist, um diese Drehung hervorzubringen. Wir zerlegen dazu Ω in seine Komponenten:

Ω = Ωxi + Ωyj +Ωzk

Diese Winkelgeschwindigkeit überlagert sich – so sollte man meinen – additiv der Winkelgeschwindigkeit des Kreisels, da die beiden Drehachsen durch den Kreiselmittelpunkt gehen. Nun ist aber zu beachten, dass wegen der reibungsfreien Lagerung des Kreisels die Z-Komponente von Ω sich nicht auf den Kreisel überträgt und daher ωz konstant bleibt. Wir müssen daher bei der Addition die Z-Komponente von Ω weglassen und nur die auf k senkrechte Komponente Ωs berücksichtigen: Die neue Winkelgeschwindigkeit des Kreisels ist daher:

ω = Ωs + ωzk

Ich wende jetzt die im Kapitel "Kreisel" hergeleitete Gleichung auf unser Problem an (ersetze k' durch k) und löse sie zunächst nach L auf:

image:Tr-23.PNG


Auffällig ist, dass das erforderliche Drehmoment nicht nur von dΩs/dt, sondern auch von Ωs abhängt und auch dann nicht null ist, wenn Ωs konstant ist. In diesem Fall ist

image:Tr-24.PNG


Der Vektor M steht also auf Ω und k senkrecht und ist in der Abbildung nach hinten gerichtet. Wenn sich das Gehäuse dreht, dreht sich auch der Vektor M, und zwar in einer horizontalen Ebene. Ein solches Drehmoment lässt sich am einfachsten dadurch erzeugen, dass man irgendwo am Gehäuse eine Masse m mit dem Hebelarm a anbringt, deren Gewichtskraft G das Gehäuse im richtigen Sinn zu drehen sucht. Das Ergebnis ist dann nicht etwa ein Kippen des Gehäuses, sondern eine gleichmäßige Rotation. Diese Erscheinung heißt Präzession. Sie ist sehr viel wichtiger als die oben beschriebene Nutation. Die Winkelgeschwindigkeit Ω der Präzession ergibt sich wie folgt:

image:Tr-25.PNG

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