Die Sprache der Mathematik: Gruppen

Einleitung

Um eine Gruppe formal einführen zu können, fehlt noch die Definition einer Verknüpfung.

Sei M eine Menge. Unter einer Verknüpfung ${}\circ {}$ auf einer Menge M versteht man eine Abbildung ${}\circ {}:{M}\times {M}\longrightarrow M$, ${(a,b)}\mapsto {{a}\circ {b}}$.

Einfaches Beispiel einer Verknüpfung auf z.B. den ganzen Zahlen ist die übliche Addition oder Multiplikation.

Gruppe: Definition

Eine nicht-leere Menge $G$ zusammen mit einer Verknüpfung ${}\circ {}$, kurz: ($G,{}\circ {}$), nennt sich Gruppe, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:

1. $G\not =\emptyset$
2. Für alle $a,b\in G$ gilt: ${a}\circ {b}\in G$ (Abgeschlossenheit)
3. Für alle $a,b,c\in G$ gilt: ${({a}\circ {b})}\circ {c}={a}\circ {({b}\circ {c})}$ (Die Verknüpfung ist assoziativ)
4. Es gibt ein Element $e\in G$, so daß für alle $a\in G$ gilt: ${e}\circ {a}={a}\circ {e}=a$ (Existenz eines neutralen Elements)
5. Für alle $a\in G$ gibt es ein $b\in G$, so daß gilt: ${a}\circ {b}={b}\circ {a}=e$ (Existenz eines inversen Elements/Inversen)

Gilt außerdem:

Für alle $a,b\in G$ gilt: ${a}\circ {b}={b}\circ {a}$ (Kommutativität),

so nennt sich die Gruppe ($G,{}\circ {}$) abelsch oder kommutativ.

Beispiele

1. $(\mathbb {Z} ,+)$: Die ganzen Zahlen zusammen mit der üblichen Addition bilden eine abelsche Gruppe. (das neutrale Element ist die 0 und das Inverse zu einer Zahl m ist -m)
2. $(\mathbb {R} ,+)$: Die reellen Zahlen mit üblicher Addition sind ebenfalls eine abelsche Gruppe.
3. $(\mathbb {R} \setminus \{0\},*)$, die reellen Zahlen ohne Null mit üblicher Multiplikation sind eine abelsche Gruppe.(neutrales Element ist die 1, Inverses zu einem Element $x$ ist $x^{-1}$).
4. $(\mathbb {N} ,+)$ ist keine Gruppe, da die Existenz eines Inversen nicht gegeben ist.(z.B.hat 2 kein Inverses, da -2 nicht mehr zu den natürlichen Zahlen gehört)
5. $(\mathbb {Z} ,*)$ ist keine Gruppe, da es nicht für alle ganzen Zahlen Inverse gibt.
6. $(\{f|f:\mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {R} },f{\mbox{ bijektiv}}\},{}\circ {})$: Die Menge der bijektiven Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$ zusammen mit der Hintereinanderausführung ist eine Gruppe, aber nicht abelsch.

Zurück zu Abbildungen | Hoch zu Inhaltsverzeichnis | Vor zu Zahlen