Die Sprache der Mathematik: Gruppen

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[Bearbeiten] Einleitung

Um eine Gruppe formal einführen zu können, fehlt noch die Definition einer Verknüpfung.

Sei M eine Menge. Unter einer Verknüpfung auf einer Menge M versteht man eine Abbildung , .

Einfaches Beispiel einer Verknüpfung auf z.B. den ganzen Zahlen ist die übliche Addition oder Multiplikation.

[Bearbeiten] Gruppe: Definition

Eine nicht-leere Menge G zusammen mit einer Verknüpfung , kurz: (), nennt sich Gruppe, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:

1. 
2. Für alle gilt: (Abgeschlossenheit)
3. Für alle gilt: (Die Verknüpfung ist assoziativ)
4. Es gibt ein Element , so daß für alle gilt: (Existenz eines neutralen Elements)
5. Für alle gibt es ein , so daß gilt: (Existenz eines inversen Elements/Inversen)

Gilt außerdem:

Für alle gilt: (Kommutativität),

so nennt sich die Gruppe () abelsch oder kommutativ.

[Bearbeiten] Beispiele

1. : Die ganzen Zahlen zusammen mit der üblichen Addition bilden eine abelsche Gruppe. (das neutrale Element ist die 0 und das Inverse zu einer Zahl m ist -m)
2. : Die reellen Zahlen mit üblicher Addition sind ebenfalls eine abelsche Gruppe.
3. , die reellen Zahlen ohne Null mit üblicher Multiplikation sind eine abelsche Gruppe.(neutrales Element ist die 1, Inverses zu einem Element x ist x ^{- 1}).
4. ist keine Gruppe, da die Existenz eines Inversen nicht gegeben ist.(z.B.hat 2 kein Inverses, da -2 nicht mehr zu den natürlichen Zahlen gehört)
5. ist keine Gruppe, da es nicht für alle ganzen Zahlen Inverse gibt.
6. : Die Menge der bijektiven Funktionen von nach zusammen mit der Hintereinanderausführung ist eine Gruppe, aber nicht abelsch.