Einführung in die Tensorrechnung: Vorbemerkungen und Grundbegriffe

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung
2 Grundbegriffe: Matrizen und Matrizendarstellung von Vektoren
3 Definitionen
4 Rechengesetze
- 4.1 Produkte zweier Matrizen und Vektor-Matrix-Produkte
- 4.2 Produkte von Vektoren
5 Rechengesetze für Dyaden

[Bearbeiten] Einleitung

Tensoren sind mathematische Operatoren mit bestimmten Eigenschaften, die im 2. Teil erklärt werden. Besonders interessieren uns hier Tensoren vom Rang 2 (auch Tensoren 2. Stufe genannt).

Tensoren vom Rang 0 sind Skalare, Tensoren vom Rang 1 sind Vektoren. Beide sind von der benutzten Basis (Koordinatensystem) unabhängig. Diese Invarianz gegenüber einem Wechsel der Basis (auch Invarianz gegenüber Koordinatentransformation genannt) ist ein wesentliches Merkmal aller Tensoren.

Bezüglich eines Koordinatensystems lassen sich Tensoren durch Matrizen beschreiben, und zwar Vektoren durch einzeilige oder einspaltige Matrizen, Tensoren vom Rang 2 durch Matrizen mit 3 Zeilen und 3 Spalten (3 x 3 Matrizen).

Da Tensoren vom Rang 2 bei Berechnungen immer zusammen mit einem Vektor auftreten und die Berechnungen bei Benutzung einer Basis immer mit Matrizen ausgeführt werden, sollen zunächst die dafür benötigten Begriffe und die Gesetze der Matrizenrechnung erklärt werden.

[Bearbeiten] Grundbegriffe: Matrizen und Matrizendarstellung von Vektoren

Eine Matrix vom Typ (m, n) ist ein rechteckiges Schema von m · n Größen, die in m Zeilen (waagerechten Reihen) und n Spalten (senkrechten Reihen) angeordnet sind. Diese Größen heißen Elemente der Matrix. Das Element a_ik (auch A_ik) der Matrix A steht in der i-ten Zeile und in der k-ten Spalte. Die Elemente können reelle oder komplexe Zahlen sein, aber auch andere mathematische Objekte, wie Vektoren, Polynome, Differentiale und andere.

Eine Matrix A vom Typ (m, n) kann so dargestellt werden:

(1.1)

$\begin{matrix} {\boldsymbol{A}}_{(m,n)} = \begin{pmatrix} {a_{11} } & {a_{12} } & \cdots & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & \cdots & {a_{2n} } \\ \vdots & {} & {} & {} \\ {a_{m1} } & {a_{m2} } & \cdots & {a_{mn} } \end{pmatrix} = \left( {a_{ik} } \right)_{(m,n)} \\ \\ i = 1,2, \ldots ,m\quad k = 1,2, \ldots ,n \end{matrix}$

Dabei kann der Index (m, n) bei A und (a_ik) auch weggelassen werden, wenn der Typ der Matrix entweder offensichtlich oder unwichtig ist.

In der Mathematik werden n Zahlen, die als Zeilen- oder Spaltenvektor angeordnet sind, ebenfalls Vektor genannt (Zeilen- bzw. Spaltenvektor), ohne dass dies ein Vektor im physikalischen Sinn (eine gerichtete Größe) sein muss. Der Grund dafür ist, dass drei geordnete Zahlen zusammen mit einer Basis durch eine gerichtete Strecke im Raum dargestellt werden können, so wie eine Zahl (ein Skalar) zusammen mit einer Geraden durch einen Punkt repräsentiert wird.

Zur Darstellung eines (physikalischen) Vektors im dreidimensionalen Raum ( $\mathbb{R}^3$ ) sind nicht nur drei Zahlen (die »skalaren Komponenten« des Vektors) nötig, sondern auch ein dreidimensionales »Basissystem« (kurz: Basis), das aus drei nicht-komplanaren (nicht in derselben Ebene gelegenen) »Basisvektoren« besteht. Bis auf weiteres benutzen wir stets ein »kartesisches Basissystem«, das aus drei paarweise aufeinander senkrechten Einheitsvektoren e₁, e₂, e₃ besteht. (Dies sind dieselben Vektoren, die oft auch mit i, j, k bezeichnet werden.)

Die Darstellung eines (physikalischen) Vektors mit den (skalaren) Komponenten v₁, v₂, v₃ lautet dann in der Komponentendarstellung zur Basis {e₁, e₂, e₃} = {e_i}

${\boldsymbol{v}} = v_1 {\boldsymbol{e}}_1 + v_2 {\boldsymbol{e}}_2 + v_3 {\boldsymbol{e}}_3 .$

Eine identische Darstellung dieses Vektors mittels zweier Matrizen (»Matrizendarstellung«) ist dann (unter Benutzung der später erklärten Gesetze der Matrizenmultiplikation) so möglich:

(1.2)

${\boldsymbol{v}} = \begin{pmatrix} {v_1 } & {v_2 } & {v_3 } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {{\mathbf{e}}_1 } \\ {{\mathbf{e}}_2 } \\ {{\mathbf{e}}_3 } \end{pmatrix} \equiv v_1 {\boldsymbol{e}}_1 + v_2 {\boldsymbol{e}}_2 + v_3 {\boldsymbol{e}}_3 \,.$

Die Matrizendarstellung eines Vektors ist also das Produkt der Zeilenmatrix (v_i) seiner Komponenten und der Spaltenmatrix aus den Einheitsvektoren der benutzten Basis {e_i}.

Aus dem so genannten Zeilenvektor der Mathematik (in Wahrheit eine »Zeilenmatrix«) wird also erst durch skalare Multiplikation mit der »Spaltenmatrix« mit den Elementen e_i (i = 1, 2, 3) ein physikalischer Vektor.

Um zwischen einem (vom Basissystem unabhängigen) physikalischen Vektor v und der Matrix seiner Komponenten bezüglich der benutzten Basis {e_i} zu unterscheiden, sollte diese Matrix eigentlich mit

(v_i)_{e} oder kurz mit (v_i)_B

bezeichnet werden, um daran zu erinnern, dass die Matrix nur für eine bestimmte Basis gilt. Wir werden zur Vereinfachung auf die Indices verzichten, sollten sie aber in ehrender Erinnerung behalten.

Die Unterscheidung zwischen einem physikalischen Vektor und der Matrix seiner Komponenten wird in der Literatur aus Bequemlichkeit leider meist unterlassen.

Wir verabreden nun:

1. Die künftig als »Vektoren« bezeichneten Größen sind stets physikalische Vektoren.

2. Die Matrix (v) = (v_i) der Komponenten eines Vektors wird stets als Spaltenmatrix geschrieben.

3. Wenn aus zwingenden Gründen (z. B. bei der Multiplikation von Matrizen) die Komponentenmatrix eines Vektors als Zeilenmatrix geschrieben werden soll, benutzen wir dafür die Bezeichnung

(v)^T = (v_i)^T.

(v)^T = (v_i)^T heißt die transponierte Matrix der ursprünglichen Matrix (v) = (v_i).

Also gilt:

(1.3)

$\left(\boldsymbol{v}\right) = \begin{pmatrix} {v_1 } \\ {v_2 } \\ {v_3 } \end{pmatrix} \quad \leftrightarrow \quad \left(\boldsymbol{v}\right)^T = \begin{pmatrix} {v_1 } & {v_2 } & {v_3 } \end{pmatrix} \,.$

Beachte: Der Vektor v bleibt unbeeinflusst davon, ob er als Zeilenmatrix oder als Spaltenmatrix dargestellt wird, aber natürlich sind die beiden Matrizen nicht gleich: Nach der Definition der Gleichheit (siehe unten) können nur Matrizen vom selben Typ (m, n) gleich sein. Es ist nützlich, stets deutlich zwischen einem Vektor und seiner Matrix (seiner Matrizendarstellung) zu unterscheiden: Eine Matrix ist kein Vektor, und ein Vektor ist keine Matrix. Ein Vektor ist unabhängig vom benutzten Koordinatensystem (Basis); seine Matrix ist nur eine von mehreren Darstellungsformen des Vektors, und sie ist (genauer: ihre Elemente sind) von der benutzten Basis abhängig.

[Bearbeiten] Definitionen

Gleichheit zweier Matrizen: Zwei Matrizen sind gleich, wenn sie vom selben Typ (m, n) sind und einander entsprechende Elemente der Matrizen gleich sind:

${\boldsymbol{A}} = {\boldsymbol{B}}\quad {\mbox{wenn}}\quad a_{ik} = b_{ik} \quad \forall \,i,k$

Summe (Differenz) zweier Matrizen: Voraussetzung: Beide Matrizen müssen vom gleichen Typ (m, n) sein. Einander entsprechende Elemente der beiden Matrizen werden addiert bzw. subtrahiert.

${\boldsymbol{A}} \pm {\boldsymbol{B}} = {\boldsymbol{C}},\quad {\mbox{wobei}}\quad c_{ik} = a_{ik} \pm b_{ik} \,.$

Multiplikation einer Matrix A mit einem Skalar: Alle Elemente der Matrix werden mit dem Skalar k multipliziert.

$k{\boldsymbol{A}} = {\boldsymbol{B}},\quad b_{ik} = ka_{ik} .$

Transponierte Matrix: Die transponierte Matrix A^T entsteht durch Vertauschung der Zeilen und Spalten.

$\left(a_{ik}\right)^T = \left(a_{ki}\right)\quad \mbox {und} \quad a_{ik}^T = a_{ki} .$

Daraus folgt:

$\left( {{\boldsymbol{A}}^T } \right)^T = {\boldsymbol{A}}\,,\quad \left( {{\boldsymbol{A}} + {\boldsymbol{B}}} \right)^T = {\boldsymbol{A}}^T + {\boldsymbol{B}}^T \,.$

Insbesondere ist

$\begin{pmatrix} {v_1 } \\ {v_2 } \\ {v_3 } \end{pmatrix} ^T = \begin{pmatrix} {v_1 } & {v_2 } & {v_3 } \end{pmatrix} \,.$

und

$\begin{pmatrix} {v_1 } & {v_2 } & {v_3 } \end{pmatrix} ^T = \begin{pmatrix} {v_1 }\\ {v_2 }\\ {v_3 } \end{pmatrix} \,.$

Eine quadratische Matrix hat ebenso viele Zeilen wie Spalten: m = n.

Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, wenn A^T = A ist. Dann ist

$a_{ik} = a_{ki} \quad \forall \,i,k$

Eine quadratische Matrix heißt schiefsymmetrisch oder antisymmetrisch, wenn A^T = - A ist. Dann ist

$a_{ik} = - a_{ki} \,.$

Daraus folgt, dass alle Elemente a_ii auf der »Hauptdiagonalen« der Matrix (das ist die von links oben nach rechts unten verlaufende Diagonale) gleich null sind.

[Bearbeiten] Rechengesetze

[Bearbeiten] Produkte zweier Matrizen und Vektor-Matrix-Produkte

Die Multiplikation zweier Matrizen A und B setzt voraus, dass die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist. (Diese »Verkettbarkeitsbedingung« ergibt sich aus der folgenden Vorschrift zur Berechnung der Produktmatrix.) Das Produkt AB zweier Matrizen ist wieder eine eine Matrix.

Rechenvorschrift: Das Element c_ik ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B. (Über Skalarprodukte zweier Vektoren siehe unten.) Bei der Berechnung des Skalarprodukts werden die Zeilen und Spalten wie (physikalische) Vektoren behandelt, das heißt, die Elemente der Zeilen und Spalten denke man sich zunächst mit den entsprechenden Einheitsvektoren multipliziert, dann wird die eigentliche Multiplikation vorgenommen. Dabei gelten die einschlägigen Gesetze der Vektoralgebra:

e₁·e₁ = e₂·e₂ = e₃·e₃ = 1, e₁·e₂ = e₂·e₃ = e₃·e₁ = 0.

Wir begnügen uns hier mit dem Beispiel zweier 3 x 3 Matrizen: Es seien

${\boldsymbol{A}} = \begin{pmatrix} {a_{11} } & {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {a_{23} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } & {a_{33} } \end{pmatrix} \,,\quad {\boldsymbol{B}} = \begin{pmatrix} {b_{11} } & {b_{12} } & {b_{13} } \\ {b_{21} } & {b_{22} } & {b_{23} } \\ {b_{31} } & {b_{32} } & {b_{33} } \end{pmatrix} \,.$

Dann ist

${\boldsymbol{A}} {\boldsymbol{B}} = {\boldsymbol{C}} = \begin{pmatrix} {c_{11} } & {c_{12} } & {c_{13} } \\ {c_{21} } & {c_{22} } & {c_{23} } \\ {c_{31} } & {c_{32} } & {c_{33} } \end{pmatrix} \,,$

wobei

$\begin{matrix} c_{11} = \left( {a_{11} {\boldsymbol{e}}_1 + a_{12} {\boldsymbol{e}}_2 + a_{13} {\boldsymbol{e}}_3 } \right) \cdot \left( {b_{11} {\boldsymbol{e}}_1 + b_{21} {\boldsymbol{e}}_2 + b_{31} {\boldsymbol{e}}_3 } \right) \\\\ = a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} + a_{13} b_{31} \\ \quad \, \\ = \sum_{i = 1}^3 {a_{1i} b_{i1} } \,, \end{matrix}$

$\begin{matrix} c_{12} = \left( {a_{11} {\boldsymbol{e}}_1 + a_{12} {\boldsymbol{e}}_2 + a_{13} {\boldsymbol{e}}_3 } \right) \cdot \left( {b_{12} {\boldsymbol{e}}_1 + b_{22} {\boldsymbol{e}}_2 + b_{32} {\boldsymbol{e}}_3 } \right) \\ \\ = a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} + a_{13} b_{31} \\ \\ \quad = \sum_{i = 1}^3 {a_{1i} b_{i2} } \,, \\ \\ c_{13} = \sum_{i = 1}^3 {a_{1i} b_{i3} \quad {\mbox{und allgemein:}}\quad c_{pq} = \sum_{i = 1}^3 {a_{pi} b_{iq} } } \,. \end{matrix}$

Also ist für zwei 3 x 3 Matrizen

(1.4) ${\boldsymbol{A}}{\boldsymbol{B}}=$

$\begin{pmatrix} {a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} + a_{13} b_{31} } & {a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} + a_{13} b_{32} } & {a_{11} b_{13} + a_{12} b_{23} + a_{13} b_{33} } \\ {a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} + a_{23} b_{31} } & {a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} + a_{23} b_{32} } & {a_{21} b_{13} + a_{22} b_{23} + a_{23} b_{33} } \\ {a_{31} b_{11} + a_{32} b_{21} + a_{33} b_{31} } & {a_{31} b_{12} + a_{32} b_{22} + a_{33} b_{32} } & {a_{31} b_{13} + a_{32} b_{23} + a_{33} b_{33} } \end{pmatrix} \,.$

Spezialfälle: Produkte zweier einreihiger Matrizen

Mit Rücksicht auf die Verkettbarkeit gibt es genau zwei Möglichkeiten:

(1.5)

$\begin{pmatrix} {a_{11} } \\ {a_{21} } \\ {a_{31} } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {b_{11} } & {b_{12} } & {b_{13} } \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {a_{11} b_{11} } & {a_{11} b_{12} } & {a_{11} b_{13} } \\ {a_{21} b_{11} } & {a_{21} b_{12} } & {a_{21} b_{13} } \\ {a_{31} b_{11} } & {a_{31} b_{12} } & {a_{31} b_{13} } \end{pmatrix}$

Das Produkt ist eine 3 x 3 Matrix. Sie begegnet uns wieder beim dyadischen Produkt zweier Vektoren.

(1.6)

$\begin{pmatrix} {a_{11} } & {a_{12} } & {a_{13} } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {b_{11} } \\ {b_{21} } \\ {b_{31} } \end{pmatrix} = a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} + a_{13} b_{31}$

Das Ergebnis ist die Summe dreier reeller Zahlen, also ebenfalls eine reelle Zahl, die man auch als 1 x 1 Matrix interpretieren kann. Dieser Fall begegnet uns wieder beim Skalarprodukt zweier Vektoren.

Produkte einer einreihigen Matrix (sowie eines Vektors) mit einer 3 x 3 Matrix

Je nach der Stellung der einreihigen Matrix B (bzw. des Vektors) zur 3 x 3 Matrix A sind zwei Fälle zu unterscheiden, das »Vorprodukt« und das »Nachprodukt«.

1. Das Vorprodukt

Das Vorprodukt BA kann wegen der Verkettbarkeitsbedingung nur gebildet werden, wenn B eine Zeilenmatrix ist. Daher verabreden wir:

(1.7)

${\boldsymbol{BA}} = \begin{pmatrix} {b_1 } & {b_2 } & {b_3 } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {a_{11} } & {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {a_{23} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } & {a_{33} } \end{pmatrix} .$

Nach den Regeln der Matrizenmultiplikation ist das Ergebnis ebenfalls eine Zeilenmatrix:

(1.8)

${\boldsymbol{BA}} = \begin{pmatrix} {b_1 a_{11} + b_2 a_{21} + b_3 a_{31} } & {b_1 a_{12} + b_2 a_{22} + b_3 a_{32} } & {b_1 a_{13} + b_2 a_{23} + b_3 a_{33} } \end{pmatrix} .$

Nun können wir eine neue Rechenoperation für Vektoren definieren, nämlich das Vorprodukt eines Vektors mit einer 3 x 3 Matrix:

Definition:

Das Vorprodukt eines Vektors v = (v₁, v₂, v₃) = v₁e₁ + v₂e₂ + v₃e₃ mit einer 3 x 3 Matrix A ist ein Vektor w:

(1.9)

${\boldsymbol{vA}} = \boldsymbol{v}\begin{pmatrix} {a_{11} } & {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {a_{23} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } & {a_{33} } \end{pmatrix} = {\boldsymbol{w}}.$

2. Die Matrix des Vorprodukts vA ist analog zu Gleichung (1.7)

(1.10)

$\begin{matrix} \left( {{\boldsymbol{vA}}} \right) = \left(v_i\right)^T \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} {v_1 } & {v_2 } & {v_3 } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {a_{11} } & {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {a_{23} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } & {a_{33} } \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} {v_1 a_{11} + v_2 a_{21} + v_3 a_{31} } & {v_1 a_{12} + v_2 a_{22} + v_3 a_{32} } & {v_1 a_{13} + v_2 a_{32} + v_3 a_{33} } \end{pmatrix}= \\ =\left(w_i\right)^T . \end{matrix}$

Diese Zeilenmatrix ist die transponierte Matrix (w_i)^T des Vektors w. Für diesen gilt nach Gleichung (1.2):

(1.11)

$\begin{matrix} {\boldsymbol{w}} = {\boldsymbol{vA}} = \left( {w_i } \right)^T \begin{pmatrix} {{\boldsymbol{e}}_1 } \\ {{\boldsymbol{e}}_2 } \\ {{\boldsymbol{e}}_3 } \end{pmatrix} = \left( {v_1 a_{11} + v_2 a_{21} + v_3 a_{31} } \right){\boldsymbol{e}}_1 + \\ + \left( {v_1 a_{12} + v_2 a_{22} + v_3 a_{32} } \right){\boldsymbol{e}}_2 + \left( {v_1 a_{13} + v_2 a_{23} + v_3 a_{33} } \right){\boldsymbol{e}}_3 . \end{matrix}$

Also Folge dieser Definition gilt künftig die Äquivalenz:

(1.12)

$\left( {w_i } \right) = \left( {v_i } \right)^T {\boldsymbol{A}}\,\,\,\, \leftrightarrow \,\,\,\,{\boldsymbol{w}} = {\boldsymbol{vA}}.$

Übung 1.1

Beweisen Sie, dass v E = v, wobei

${\boldsymbol{E}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

die 3 x 3 Einheitsmatrix und v ein Vektor ist.

Übung 1.2

Beweisen Sie das Distributivgesetz:

${\boldsymbol{v}}\left( {{\boldsymbol{A}} + {\boldsymbol{B}}} \right) ={\boldsymbol{vA}} + {\boldsymbol{vB}}$

wobei A = (a_ik) und B = (b_ik) 3 x 3 Matrizen sind und v ein Vektor ist.

Übung 1.3

Beweisen Sie:

${\boldsymbol{v}}\left( {{\boldsymbol{E}} + {\boldsymbol{A}}} \right)= {\boldsymbol{v}} + {\boldsymbol{vA}}.$

2. Das Nachprodukt

Hier muss die Matrix B als Spaltenmatrix geschrieben werden:

(1.13)

${\boldsymbol{AB}} = \begin{pmatrix} {a_{11} } & {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {a_{23} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } & {a_{33} } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {b_1 } \\ {b_2 } \\ {b_3 } \end{pmatrix} \,.$

Das Ergebnis ist eine Spaltenmatrix:

(1.14)

${\boldsymbol{AB}} = \begin{pmatrix} {a_{11} b_1 + a_{12} b_2 + a_{13} b_3 } \\ {a_{21} b_1 + a_{22} b_2 + a_{23} b_3 } \\ {a_{31} b_1 + a_{32} b_2 + a_{33} b_3 } \end{pmatrix} \,.$

Nun können wir auch das Nachprodukt eines Vektors mit einer 3 x 3 Matrix definieren.

Definition:

1. Das Nachprodukt Av eines Vektors v = (v₁, v₂, v₃) mit einer 3 x 3 Matrix ist ein Vektor w:

(1.15)

${\boldsymbol{Av}} = \begin{pmatrix} {a_{11} } & {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {a_{23} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } & {a_{33} } \end{pmatrix}{\boldsymbol{v}} = {\boldsymbol{w}}.$

2. Die Matrix des Nachprodukts Av ist (analog zu Gleichung (1.14))

(1.16)

$\left( {{\boldsymbol{Av}}} \right) = \begin{pmatrix} {a_{11} } & {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {a_{23} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } & {a_{33} } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {v_1 } \\ {v_2 } \\ {v_3 } \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {a_{11} v_1 + a_{12} v_2 + a_{13} v_3 } \\ {a_{21} v_1 + a_{22} v_2 + a_{23} v_3 } \\ {a_{31} v_1 + a_{32} v_2 + a_{33} v_3 } \end{pmatrix}.$

Die rechts stehende Matrix ist die Komponentenmatrix (w_i) des Vektors w. Für diesen gilt daher:

(1.17)

$\begin{matrix} {\boldsymbol{w}} = {\boldsymbol{Av}} = \left( {a_{11} v_1 + a_{12} v_2 + a_{13} v_3 } \right){\boldsymbol{e}}_1 + \\ + \left( {a_{21} v_1 + a_{22} v_2 + a_{23} v_3 } \right){\boldsymbol{e}}_2 + \left( {a_{31} v_1 + a_{32} v_2 + a_{33} v_3 } \right){\boldsymbol{e}}_3 . \end{matrix}$

Also Folge dieser Definition gilt künftig die Äquivalenz:

(1.18)

$\left( {w_i } \right) = {\boldsymbol{A}}\left( {v_i} \right)\,\,\,\, \leftrightarrow \,\,\,\,{\boldsymbol{w}} = {\boldsymbol{Av}}.$

Übung 1.4

Beweisen Sie: Ev = v, wobei E die 3 x 3 Einheitsmatrix und v ein Vektor ist

Übung 1.5

Beweisen Sie das Distributivgesetz:

$\left( {{\boldsymbol{A}} + {\boldsymbol{B}}} \right){\boldsymbol{v}} = {\boldsymbol{Av}} + {\boldsymbol{Bv}}$

wobei A und B 3 x 3 Matrizen sind und v ein Vektor ist.

Übung 1.6

Beweisen Sie:

$\left( {{\boldsymbol{E}} + {\boldsymbol{A}}} \right){\boldsymbol{v}} ={\boldsymbol{v}} + {\boldsymbol{Av}},$

wobei v ein Vektor, A eine 3 x 3 Matrix und E die 3 x 3 Einheitsmatrix ist.

[Bearbeiten] Produkte von Vektoren

Es gibt drei Arten von Produkten von je zwei Vektoren:

das Skalarprodukt,

das Vektorprodukt und

das dyadische Produkt.

Das Vektorprodukt wird hier nicht benötigt.

1. Das Skalarprodukt

In der Vektoralgebra wird das Skalarprodukt v·w zweier Vektoren im Hinblick auf physikalische Belange basisunabhängig so definiert:

(1.19)

${\boldsymbol{v}} \cdot {\boldsymbol{w}} = v\,w\,\cos \varphi \,,$

wobei v und w die Beträge der beiden Vektoren sind und φ der von ihnen eingeschlossene Winkel ist.

Beschreibt man die Vektoren durch ihre Komponenten bezüglich einer kartesischen Basis {e₁, e₂, e₃}, dann erhält man für ihr Skalarprodukt formal die Gleichung

(1.20)

${\boldsymbol{v}} \cdot {\boldsymbol{w}} = \left( {v_1 {\boldsymbol{e}}_1 + v_2 {\boldsymbol{e}}_2 + v_3 {\boldsymbol{e}}_3 } \right)\left( {w_1 {\boldsymbol{e}}_1 + w_2 {\boldsymbol{e}}_2 + w_3 {\boldsymbol{e}}_3 } \right).$

In der Vektoralgebra wird gezeigt, dass Skalarprodukte distributiv sind und man daher die Klammern nach den Regeln der Algebra ausmultiplizieren darf. Berücksichtigt man dabei, dass

${\boldsymbol{e}}_1 \cdot {\boldsymbol{e}}_2 = {\boldsymbol{e}}_2 \cdot {\boldsymbol{e}}_3 = {\boldsymbol{e}}_3 \cdot {\boldsymbol{e}}_1 = 0\quad {\mbox{und}}\quad {\mathbf{e}}_1 \cdot {\boldsymbol{e}}_1 = {\boldsymbol{e}}_2 \cdot {\boldsymbol{e}}_2 = {\boldsymbol{e}}_3 \cdot {\boldsymbol{e}}_3 = 1$

ist (was sich aus der Definitionsgleichung (1.19) für φ = 90° bzw. 0° ergibt), so erhält man

(1.21)

${\boldsymbol{v}} \cdot {\boldsymbol{w}} = v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3 .$

Die rechte Seite der Gleichung (1.21) ist identisch mit dem Produkt der Zeilenmatrix (v_i)^T und der Spaltenmatrix (w_i):

(1.22)

$\left( {v_i } \right)^T \left( {w_i } \right) = \begin{pmatrix} {v_1 } & {v_2 } & {v_3 } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {w_1 } \\ {w_2 } \\ {w_3 } \end{pmatrix} = v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3 \,.$

sodass also gilt

(1.23)

${\boldsymbol{v}} \cdot {\boldsymbol{w}} = v\,w\,\cos \varphi = \left( {v_i } \right)^T \left( {w_i } \right)$

2. Das dyadische Produkt

Das dyadische Produkt zweier Vektoren v und w (kurz auch: Dyade) wird geschrieben

${\boldsymbol{v}} \otimes {\boldsymbol{w}}$

und gelesen: v mal im Kreis w.

Ebenso wie die beiden Vektoren ist auch ihr dyadisches Produkt vom benutzten Basissystem unabhängig. Bei der Definition des dyadischen Produkts wird die Komponentendarstellung der Vektoren bezüglich einer bestimmten Basis benutzt, und daher ist auch das Ergebnis zunächst eine basisabhängige Größe, und zwar eine Matrix. (Leider gibt es – anders als bei den vektoralgebraischen Definitionen des Skalar- und des Vektorprodukts - keine anschauliche und basisunabhängige Definition des dyadischen Produkts, die nur auf den Eigenschaften der beiden Vektoren basiert.)

Definition: Haben v und w in einem bestimmten Basissystem die Komponenten (v₁, v₂,v₃) und (w₁, w₂,w₃), ist also

${\boldsymbol{v}} = \begin{pmatrix} {v_1 } & {v_2 } & {v_3 } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {{\mathbf{e}}_1 } \\ {{\mathbf{e}}_2 } \\ {{\mathbf{e}}_3 } \end{pmatrix} = \left( {v_i } \right)^T \left( {{\boldsymbol{e}}_i } \right)\,,\quad {\boldsymbol{w}} = \begin{pmatrix} {w_1 } & {w_2 } & {w_3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {{\mathbf{e}}_1 } \\ {{\mathbf{e}}_2 } \\ {{\mathbf{e}}_3 } \end{pmatrix} = \left( {w_i } \right)^T \left( {{\boldsymbol{e}}_i } \right)\,,$

dann ist das dyadische Produkt ${{\boldsymbol{v}} \otimes {\boldsymbol{w}}}$ der beiden Vektoren im benutzten Basissystem

(1.24)

${{\boldsymbol{v}} \otimes {\boldsymbol{w}}} = \begin{pmatrix} {v_1 } \\ {v_2 } \\ {v_3 } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {w_1 } & {w_2 } & {w_3} \end{pmatrix} = \left( {v_i } \right) \left( {w_i } \right)^T .$

Durch Ausmultiplizieren erhält man nach Gleichung (1.6)

(1.25)

${{\boldsymbol{v}} \otimes {\boldsymbol{w}}} = \begin{pmatrix} {v_1 w_1 } & {v_1 w_2 } & {v_1 w_3 } \\ {v_2 w_1 } & {v_2 w_2 } & {v_2 w_3 } \\ {v_3 w_1 } & {v_3 w_2 } & {v_3 w_3 } \end{pmatrix} \,.$

Diese 3 x 3 Matrix stellt – wie noch gezeigt werden wird – einen Tensor vom Rang 2 dar.

Übungen:

1.7 Welche Beziehungen müssen zwischen den Elementen einer 3 x 3 Matrix bestehen, damit diese ein dyadisches Produkt darstellen kann? Hinweis: Man setze a_ik = u_iv_k und untersuche die Konsequenzen.

1.8 Können aus den Elementen einer Tensormatrix eindeutig die Vektoren u und v bestimmt werden, deren dyadisches Produkt der Tensor ist? Wenn nein, warum nicht, und wie viel Vektorkomponenten können willkürlich gewählt werden?

1.9 Welche Beziehung besteht zwischen den auf der Hauptdiagonalen der Tensormatrix stehenden so genannten »Tensorkomponenten 1. Art« u₁ v₁, u₂ v₂, u₃ v₃ einerseits und dem Skalarprodukt u · v andererseits?

1.10 Welche Beziehungen bestehen zwischen den übrigen 6 Tensorkomponenten (sie heißen »Tensorkomponenten 2. Art«) und den Komponenten des Vektorprodukts u x v?

[Bearbeiten] Rechengesetze für Dyaden

Die einschlägigen Rechengesetze für 3 x 3 Matrizen lassen sich unmittelbar auf Dyaden übertragen.

1. Multiplikation einer Dyade mit einem Skalar

Matrizen werden mit einem Skalar multipliziert, indem alle ihre Elemente v_i w_k mit diesem Skalar multipliziert werden. Dabei ist die Reihenfolge der Faktoren beliebig. Also ist

(1.26)

$k\left[ {{\boldsymbol{v}} \otimes {\boldsymbol{w}}} \right] = \left[ {k{\boldsymbol{v}}} \right] \otimes {\boldsymbol{w}} = {\boldsymbol{v}} \otimes \left[ {k{\boldsymbol{w}}} \right] = \left[ {{\boldsymbol{v}} \otimes {\boldsymbol{w}}} \right]k\,.$

Anmerkung: Die eckigen Klammern dienen hier und im Folgenden dazu, die Reihenfolge der Multiplikationen festzulegen.

2. Produkte eines Vektors mit einer Dyade

Auch hier müssen wir zwischen Vorprodukt und Nachprodukt unterscheiden.

2.1. Das Vorprodukt

Unter dem Vorprodukt des Vektors u mit der Dyade $\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{w}$ verstehen wir das Produkt

${\boldsymbol{u}}\left[ {{\boldsymbol{v}} \otimes {\boldsymbol{w}}} \right]\,.$

Wir gehen aus von Gleichung (1.10) und ersetzen darin v durch u und A durch die Dyade. In der Komponentendarstellung ist dann (v_i) durch (u_i) und (a_ik durch (v_iw_k) zu ersetzen.

Die Matrizendarstellung des Vorprodukts ist dann

(1.27)

${\boldsymbol{u}}\left[ {\boldsymbol{v}} \otimes {\boldsymbol{w}} \right] = \left( {u_i } \right)^T \left[ {\boldsymbol{v}} \otimes {\boldsymbol{w}} \right] = \begin{pmatrix} {u_1 } & {u_2 } & {u_3 } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {v_1 w_1 } & {v_1 w_2 } & {v_1 w_3 } \\ {v_2 w_1 } & {v_2 w_2 } & {v_2 w_3 } \\ {v_3 w_1 } & {v_3 w_2 } & {v_3 w_3 } \end{pmatrix}.$

Das Ergebnis ist analog zu Gleichung (1.10) ein Vektor t (statt w), für den gilt:

(1.28)

$\begin{matrix} {\boldsymbol{t}} = \left( {t_i } \right)^T \begin{pmatrix} {{\boldsymbol{e}}_1 } \\ {{\boldsymbol{e}}_2 } \\ {{\boldsymbol{e}}_3 } \end{pmatrix} = \left( {u_1 v_1 w_1 + u_2 v_2 w_1 + u_3 v_3 w_1 } \right){\boldsymbol{e}}_1 + \\ + \left( {u_1 v_1 w_2 + u_2 v_2 w_2 + u_3 v_3 w_2 } \right){\boldsymbol{e}}_2 + \left( {u_1 v_1 w_3 + u_2 v_2 w_3 + u_3 v_3 w_3 } \right){\boldsymbol{e}}_3 \,. \end{matrix}$

Dafür kann man mit Hilfe von Skalarprodukten schreiben

(1.29)

${\boldsymbol{t}} = \left[ {\boldsymbol{u}} \cdot {\boldsymbol{v}} \right]w_1 {\boldsymbol{e}}_1 + \left[ {\boldsymbol{u}} \cdot \boldsymbol{v} \right]w_2 {\boldsymbol{e}}_2 + \left[ {\boldsymbol{u}} \cdot {\boldsymbol{v}} \right]w_3 {\boldsymbol{e}}_3 = \left[ {\boldsymbol{u}} \cdot {\boldsymbol{v}} \right] \begin{pmatrix} {w_1 } & {w_2 } & {w_3 } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\boldsymbol{e}}_1 \\ {\boldsymbol{e}}_2 \\ {\boldsymbol{e}}_3 \end{pmatrix} ,$

und schließlich

${\boldsymbol{t}} = \left[ {{\boldsymbol{u}} \cdot {\boldsymbol{v}}} \right]{\boldsymbol{w}} = k \,{\boldsymbol{w}},$

da das Skalarprodukt u·v eine reelle Zahl k ist.

Also ist

(1.30)

${\boldsymbol{u}}\left[ {{\boldsymbol{v}} \otimes {\boldsymbol{w}}} \right] = k \,{\boldsymbol{w}}\,.$

Das Vorprodukt eines Vektors und einer Dyade ist also ein Vektor vom k-fachen Betrag des zweiten Vektors der Dyade, wobei k gleich dem Skalarprodukt aus dem »Vorvektor« und dem ersten Vektor der Dyade ist.

2.2 Das Nachprodukt

Unter dem Nachprodukt eines Vektors mit einer Dyade verstehen wir das Produkt

$\left[ {{\boldsymbol{v}} \otimes {\boldsymbol{w}}} \right]{\boldsymbol{u}}\,.$

Die Matrizendarstellung dieses Produkts ist

(1.31)

$\left[ {\boldsymbol{v}} \otimes {\boldsymbol{w}} \right]\boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} {v_1 w_1 } & {v_1 w_2 } & {v_1 w_3 } \\ {v_2 w_1 } & {v_2 w_2 } & {v_2 w_3 } \\ {v_3 w_1 } & {v_3 w_2 } & {v_3 w_3 } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {u_1 } \\ {u_2 } \\ {u_3 } \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {v_1 w_1 u_1 + v_1 w_2 u_2 + v_1 w_3 u_3 } \\ {v_2 w_1 u_1 + v_2 w_2 u_2 + v_2 w_3 u_3 } \\ {v_3 w_1 u_1 + v_3 w_2 u_2 + v_3 w_3 u_3 } \end{pmatrix}.$

Das Ergebnis ist analog zu Gleichung (1.18) ein Vektor t, für den gilt

(1.32)

$\begin{matrix} {\boldsymbol{t}} = \left( {v_1 w_1 u_1 + v_1 w_2 u_2 + v_1 w_3 u_3 } \right){\boldsymbol{e}}_1 + \\ \left( {v_2 w_1 u_1 + v_2 w_2 u_2 + v_2 w_3 u_3 } \right){\boldsymbol{e}}_2 + \left( {v_3 w_1 u_1 + v_3 w_2 u_2 + v_3 w_3 u_3 } \right){\boldsymbol{e}}_3 . \\ \end{matrix}$

und nach Ausklammern von v_i

(1.33)

${\boldsymbol{t}} = \left[ {{\boldsymbol{w}} \cdot {\boldsymbol{u}}} \right]v_1 {\boldsymbol{e}}_1 + \left[ {{\boldsymbol{w}} \cdot {\boldsymbol{u}}} \right]v_2 {\boldsymbol{e}}_2 + \left[ {{\boldsymbol{w}} \cdot {\boldsymbol{u}}} \right]v_3 {\boldsymbol{e}}_3 = \left[ {{\boldsymbol{w}} \cdot {\boldsymbol{u}}} \right] \begin{pmatrix} {v_1 } & {v_2 } & {v_3 } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {{\mathbf{e}}_1 } \\ {{\mathbf{e}}_2 } \\ {{\mathbf{e}}_3 } \end{pmatrix} ,$

und schließlich

(1.34)

${\boldsymbol{t}} = \left[ {{\boldsymbol{w}} \cdot {\boldsymbol{u}}} \right]{\boldsymbol{v}} = k{\boldsymbol{v}}.$

Also ist

(1.35)

$\left[ {{\boldsymbol{v}} \otimes {\boldsymbol{w}}} \right]{\boldsymbol{u}} = k{\boldsymbol{v}}.$

Das Nachprodukt ist also ein Vektor vom k-fachen Betrag des ersten Vektors der Dyade, wobei k das Skalarprodukt des zweiten Vektors der Dyade und des »Nachvektors« ist.

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Einführung in die Tensorrechnung: Vorbemerkungen und Grundbegriffe

Aus Wikibooks

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Einleitung

[Bearbeiten] Grundbegriffe: Matrizen und Matrizendarstellung von Vektoren

[Bearbeiten] Definitionen

[Bearbeiten] Rechengesetze

[Bearbeiten] Produkte zweier Matrizen und Vektor-Matrix-Produkte

[Bearbeiten] Produkte von Vektoren

[Bearbeiten] Rechengesetze für Dyaden

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