Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,cos)
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1.1[Bearbeiten]
1.2[Bearbeiten]
Es sei
der Halbkreis von nach
und
der geschlossene halbmondförmige Integrationsweg.
Für alle ist der Imaginärteil
und somit .
Nun gilt für .
Also ist und somit .
Aus folgt .
Und das ist .
Also ist .
1.3[Bearbeiten]
1.4[Bearbeiten]
Aus der Fourierreihe ergibt sich
.
1.5[Bearbeiten]
1.6[Bearbeiten]
ist nach der Formel , gleich
.
1.7[Bearbeiten]
1.8[Bearbeiten]
Für ist
.
Nun ist .
Also ist und somit ist .
Durch den Grenzübergang erhält man .
Nach Substitution ist .
Nachdem ist, folgt daraus die Behauptung.
1.9[Bearbeiten]
2.1[Bearbeiten]
Aus der Formel folgt
.
2.2[Bearbeiten]
2.3[Bearbeiten]
Die Funktion
erfüllt die Rekursion .
Begründung:
Also ist , wobei sein soll.
Das Polynom besitzt die Wurzeln .
Daher hat die Folge die Form .
Aus und folgt schließlich .
2.4[Bearbeiten]
Betrachte die Poissonsche Integralformel
, wobei der Kern ist.
Setzt man und , so ist und .
Also ist . Der ungerade Anteil verschwindet dabei aus symmetriegründen.
2.5[Bearbeiten]
Aus der Fourierreihe ergibt sich
Also ist ,
wobei das Frullanische Integral nicht von abhängt.
Und die Reihe konvergiert gegen .
2.6[Bearbeiten]
2.7[Bearbeiten]
2.8[Bearbeiten]
2.9[Bearbeiten]
Multipliziert man die Formel
mit durch, so ist
,
wobei ist.
Setzt man so ist .
Mit einem lässt sich letzte Summe folgendermaßen aufspalten:
Die Folge fällt monoton und für alle gilt .
Also ist
Für geht gegen null und konvergiert gegen die Binomialreihenentwicklung von .
Also ist .
Unter Verwendung der Legendreschen Verdopplungsformel
ist das .
2.10[Bearbeiten]
In der Formel
für setze und substituiere :
Nun ist
aus symmetriegründen gleich .
Also ist .
Substituiert man ,
so ist .
Nach der Formel ist
.
Nach der Legendreschen Verdopplungsformel
ist dies .
Ersetzt man durch , so ist das
.
Also ist .
Es sei die obere komplexe Halbebene.
Die Funktion , mit , ist holomorph auf und stetig auf .
Also gilt , gleichbedeutend mit .
Das erste Integral ist nach Substitution gleich
.
.
Das zweite Integral ist reell, d.h. .
Und das dritte Integral ist
.
Aus der Betrachtung der Imaginärteile folgt .
Ersetzt man durch , also , so ist .
3.1[Bearbeiten]
Es sei und sei der Halbmond in der oberen komplexen Halbebene.
.
Nach der Produktregel ist .
Setzt man , so ist ,
wobei ist.
Also ist .
Und somit ist .
3.2[Bearbeiten]