Formelsammlung Mathematik: Kettenbrüche

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[Bearbeiten] Reguläre Kettenbrüche

Ein regulärer Kettenbruch hat die Form

$a_0 + \frac{1}{\displaystyle a_1+\frac{1}{\displaystyle a_2+\frac{1}{a_3+\cdots}}}$ ,

wobei $a_0\in\Bbb{Z}$ ist und $a_1,a_2,a_3,...\in\Bbb{Z}^{>0}$ sind. Man kürzt ihn mit $[a_0,a_1,a_2,a_3,...]\,$ ab.

[Bearbeiten] Negativer Wert

$-\left[a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots\right] = \left\{\begin{matrix} \left[-(a_0+1), a_2+1, a_3, a_4, a_5, \ldots\right] &,& a_1 = 1 \\ \\ \left[-(a_0+1), 1, a_1-1, a_2, a_3, a_4, \ldots\right] &,& a_1 > 1 \end{matrix}\right.$

[Bearbeiten] Kehrwert

$\left[a_0,a_1,a_2,...\right]^{-1} =\left\{\begin{matrix} \left[0,a_0,a_1,...\right] &,& a_0>0 \\ \\ \left[a_1,a_2,a_3...\right] &,& a_0=0 \end{matrix}\right.$

[Bearbeiten] Goldener Schnitt

$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\left[\overline{1}\right]$

[Bearbeiten] Eulersche Zahl

$e=\left[2,\overline{1,2k,1}\right]_{k\ge 1}$

$e^{1/n}=\left[\overline{1,(2k-1)n-1,1}\right]_{k\ge 1} \qquad n\in\Bbb{Z}^{>1}$

$e^2=\left[7,\overline{3k-1,1,1,3k,6(2k+1)}\right]_{k\ge 1}$

$e^{2/n}=\left[\,\overline{1,\frac{(6k-5)n-1}{2},6(2k-1)n,\frac{(6k-1)n-1}{2},1}\,\right]_{k\ge 1} \qquad n\in\Bbb{Z}^{>1} \; \mathrm{ungerade}$

$\frac{e-1}{2}=\left[0,1,\overline{4k+2}\right]_{k\ge 1}$

$\frac{1}{\sqrt{e}-1}=\left[\overline{4k+1,1,1}\right]_{k\ge 0}$

$\frac{1}{\sqrt{e}+1}=\left[0,2,\overline{4k+1,1,1}\right]_{k\ge 0}$

[Bearbeiten] (Ko)tangens (Hyperbolicus)

$\tan(1)=\left[\overline{1,2k-1}\right]_{k\ge 1} \quad , \quad \cot(1)=\left[0,\overline{1,2k-1}\right]_{k\ge 1}$

$\cot\left(\frac{1}{n}\right)=\left[n-1,\overline{1,(2k+1)n-2}\right]_{k\ge 1} \quad ,\quad \tan\left(\frac{1}{n}\right)=\left[0,n-1,\overline{1,(2k+1)n-2}\right]_{k\ge 1} \qquad n\in\Bbb{Z}^{>1}$

$\coth\left(\frac{1}{n}\right)=\left[\overline{(2k-1)n}\right]_{k\ge 1} \qquad , \qquad \tanh\left(\frac{1}{n}\right)=\left[0,\overline{(2k-1)n}\right]_{k\ge 1} \qquad n\in\Bbb{Z}^{>0}$

$\sqrt{n}\, \tan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\left[\overline{1,(4k-1)n-2,1,4k-1}\right]_{k\ge 1} \qquad n\in\Bbb{Z}^{>0}$

$\sqrt{n}\,\cot\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\left[n-1,\overline{1,4k-3,1,(4k+1)n-2}\right]_{k\ge 1} \quad n\in\Bbb{Z}^{>0}$

$\sqrt{n}\, \tanh\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\left[0,\overline{4k-3,(4k-1)n}\right]_{k\ge 1} \qquad n\in\Bbb{Z}^{>0}$

$\sqrt{n}\,\coth\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\left[\overline{(4k-3)n,4k-1}\right]_{k\ge 1} \quad n\in\Bbb{Z}^{>0}$

[Bearbeiten] Quadratwurzeln

$\sqrt{2}=\left[1,\overline{2}\right]$

$\sqrt{3}=\left[1,\overline{1,2}\right]$

$\sqrt{4}=\left[2\right]$

$\sqrt{5}=\left[2,\overline{4}\right]$

$\sqrt{6}=\left[2,\overline{2,4}\right]$

$\sqrt{7}=\left[2,\overline{1,1,1,4}\right]$

$\sqrt{8}=\left[2,\overline{1,4}\right]$

$\sqrt{9}=\left[3\right]$

$\sqrt{10}=\left[3,\overline{6}\right]$

Ist $d\in\Bbb{Z}^{>0}\,$ kein Quadrat so lässt sich $\sqrt{d}$ schreiben in der Form $\left[a_0,\overline{a_1,...,a_n,2a_0}\right]$

[Bearbeiten] Bessel-Funktion

$a+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{1}{a+kd}=\frac{\textrm{BesselI}\left(\frac{a-d}{d},\frac{2}{d}\right)}{\textrm{BesselI}\left(\frac{a}{d},\frac{2}{d}\right)}$

[Bearbeiten] Familien von Kettenbrüchen

Zum Beispiel

$\sqrt{a^2+1}=\left[a,\overline{2a}\right]$

$\sqrt{a^2+2}=\left[a,\overline{a,2a}\right]$

$\sqrt{a^2+a}=\left[a,\overline{2,2a}\right]$

$\sqrt{a^2+2a}=\left[a,\overline{1,2a}\right]$

$\sqrt{9a^2+3}=\left[3a,\overline{2a,6a}\right]$

Eine ausführlichere Einteilung stellen die Bernstein Familien und die Levesque-Rhin Familien dar.

[Bearbeiten] Allgemeine Aussagen über reguläre Kettenbrüche

Ein regulärer Kettenbruch ist genau dann irrational wenn er nicht abbricht.
Ein regulärer Kettenbruch ist genau dann periodisch wenn er die Form $\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$ besitzt, wobei $a\in\Bbb{Z},b,c,d\in\Bbb{Z}^{\neq 0}$ ist und $c\,$ keine Quadratzahl ist.

[Bearbeiten] Satz von Galois

Sind $a_0,...,a_n\in\Bbb{Z}^{>0}$ dann lässt sich der reinperiodische Kettenbruch $\alpha=[\overline{a_0,...,a_n}]$ schreiben in der Form $\frac{P+\sqrt{D}}{Q}$ ,

wobei $P,Q,D\in \Bbb{Z}^{>0}$ sind und $D\,$ keine Quadratzahl ist.

Ist $\beta=[\overline{a_n,...,a_0}]$ der zu $\alpha\,$ inverse Kettenbruch so stimmt $\frac{-1}{\beta}$ mit der Wurzelkonjugierten $\frac{P-\sqrt{D}}{Q}$ überein.

[Bearbeiten] Verallgemeinerte Kettenbrüche

Eine mögliche Verallgemeinerung ist es Kettenbrüche der Form

$b_0 + \frac{a_1}{\displaystyle b_1+\frac{a_2}{\displaystyle b_2+\frac{a_3}{b_3+\cdots}}}$

zu betrachten, wobei $b_0\in\Bbb{Z}$ ist und wobei $b_1,b_2,...\,$ und $a_1,a_2...\,$ positive ganze Zahlen sind. Genauso könnte man für $b_0,b_1,b_2,...\,$ und $a_1,a_2,a_3,...\,$ auch reelle oder komplexe Zahlen zulassen. Ein verallgemeinerter Kettenbruch lässt sich nach Pringsheim abkürzend mit $b_0+\frac{a_1|}{|b_1}+\frac{a_2|}{|b_2}+\frac{a_3|}{|b_3}+...$ und nach Gauß abkürzend mit $b_0+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{a_k}{b_k}$ notieren.

[Bearbeiten] Formel von Bombelli

Ist $\sqrt{z}=x+y$ so gilt $z=x^2+2xy+y^2 \Rightarrow \frac{z-x^2}{2x+y}=y \Rightarrow y=\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{z-x^2}{2x} \Rightarrow \sqrt{z}=x+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{z-x^2}{2x}$

[Bearbeiten] Eulersche Zahl

$e=2+\underset{k=2}{\overset{\infty}{K}} \frac{k}{k}=2+\frac{2|}{|2}+\frac{3|}{|3}+\frac{4|}{|4}+...$

$e=2+\frac{1|}{|1}+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{k}{k+1}=2+\frac{1|}{|1}+\frac{1|}{|2}+\frac{2|}{|3}+\frac{3|}{|4}+...$

$\frac{1}{\sqrt{e}-1}=1+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{2k}{2k+1}=1+\frac{2|}{|3}+\frac{4|}{|5}+...$

[Bearbeiten] Kreiszahl $π$

$\frac{\pi}{2}=1+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{1}{\frac{1}{k}}=1+\frac{1|}{|1}+\frac{1|}{|\frac12}+\frac{1|}{|\frac13}+...$

$\frac{4}{\pi}=1+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{k^2}{2k+1}=1+\frac{1|}{|3}+\frac{4|}{|5}+\frac{9|}{|7}+...$

$\pi=3+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{(2k-1)^2}{6}=3+\frac{1|}{|6}+\frac{9|}{|6}+\frac{25|}{|6}+...$

Formel von Brouncker

$\frac{4}{\pi}=1+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{(2k-1)^2}{2}=1+\frac{1|}{|2}+\frac{9|}{|2}+\frac{25|}{|2}+...$

$\frac{2}{\pi}=1-\frac{1|}{|2}+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{k\,(k+1)}{1} =1-\frac{1|}{|2}+\frac{1\cdot 2|}{|1}+\frac{2\cdot 3|}{|1}+\frac{3\cdot 4|}{|1}+\frac{4\cdot 5|}{|1}+...$

$\frac{\pi}{2}=1-\frac{1|}{|3}-\frac{2\cdot 3|}{|1}-\frac{2\cdot 1|}{|3}-\frac{4\cdot 5|}{|1} -\frac{4\cdot 3|}{|3}-\frac{6\cdot 7|}{|1}-\frac{6\cdot 5|}{|3}+...$

$\frac{12}{\pi^2}=1+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{k^4}{2k+1}=1+\frac{1|}{|3}+\frac{16|}{|5}+\frac{81|}{|7}+...$

$\frac{6}{\pi^2-6}=1+\frac{1\cdot 1|}{|1}+\frac{1\cdot 2|}{|1}+\frac{2\cdot 2|}{|1}+\frac{2\cdot 3|}{|1}+\frac{3\cdot 3|}{|1}+\frac{3\cdot 4|}{|1}...$

[Bearbeiten] Catalansche Konstante

$\frac{1}{2K-1}=\frac12+\frac{1\cdot 1|}{|\frac12}+\frac{1\cdot 2|}{|\frac12}+\frac{2\cdot 2|}{|\frac12}+\frac{2\cdot 3|}{|\frac12}+\frac{3\cdot 3|}{|\frac12}+\frac{3\cdot 4|}{|\frac12}...$

[Bearbeiten] Exponentialfunktion

$e^z=1+\frac{z|}{|1}+\underset{k=2}{\overset{\infty}{K}} \frac{-\frac{z}{k}}{1+\frac{z}{k}} =1+\frac{z|}{|1}-\frac{\frac{z}{2}|}{|1+\frac{z}{2}}-\frac{\frac{z}{3}|}{|1+\frac{z}{3}}-\frac{\frac{z}{4}|}{|1+\frac{z}{4}}-...$

[Bearbeiten] Sinus (Hyperbolicus)

$\sin z=\frac{z|}{|1}+\frac{z^2|}{|2\cdot 3 - z^2}+\underset{k=2}{\overset{\infty}{K}} \frac{(2k-2)(2k-1)z^2}{2k\, (2k+1)-z^2} =\frac{z|}{|1}+\frac{z^2|}{|2\cdot 3-z^2}+\frac{2\cdot 3\, z^2|}{|4\cdot 5-z^2}+\frac{4\cdot 5\, z^2|}{|6\cdot 7- z^2}+...$

$\sinh z=\frac{z|}{|1}-\frac{z^2|}{|2\cdot 3-z^2}+\underset{k=2}{\overset{\infty}{K}} \frac{-(2k-2)(2k-1)z^2}{2k\, (2k+1)+z^2} =\frac{z|}{|1}-\frac{z^2|}{|2\cdot 3+z^2}-\frac{2\cdot 3\, z^2|}{|4\cdot 5+z^2}-\frac{4\cdot 5\, z^2|}{|6\cdot 7+ z^2}-...$

[Bearbeiten] Tangens (Hyperbolicus)

$\begin{matrix}\tanh \\ \tan\end{matrix}\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{x|}{|y} +\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{\pm x^2}{(2k+1)y}=\frac{x|}{|y}\pm\frac{x^2|}{|3y}\pm\frac{x^2|}{|5y}+...$

$\begin{matrix}\tanh \\ \tan\end{matrix}\left(\frac{\pi z}{4}\right)=\frac{z|}{|1}+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{(2k-1)^2\pm z^2}{2}=\frac{z|}{|1}+\frac{1^2\pm z^2|}{|2}+\frac{3^2\pm z^2|}{|2}+\frac{5^2\pm z^2|}{|2}+...$

$\begin{matrix}\tanh \\ \tan\end{matrix}\Big(nz\Big)=\frac{n\, \tan(z)|}{|1} +\underset{k=1}{\overset{n-1}{K}} \frac{(k^2\pm n^2)\, \tan^2(z)}{2k+1}$

$\begin{matrix}\tanh \\ \tan\end{matrix}\Big(\alpha z\Big)=\frac{\alpha \, \tan(z)|}{|1} +\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{(k^2\pm \alpha^2)\, \tan^2(z)}{2k+1}$

[Bearbeiten] Kotangens Hyperbolicus

$z\,\coth\left(\frac{z}{2}\right)= 2+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{z^2}{4k+2}=2+\frac{z^2|}{|6}+\frac{z^2|}{|10}+\frac{z^2|}{|14}+...$

$z\, \coth z=1+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}}\frac{z^2|}{|2k+1}=1+\frac{z^2|}{|3}+\frac{z^2|}{|5}+\frac{z^2|}{|7}+...$

[Bearbeiten] Arkussinus und Areasinus Hyperbolicus

$\text{arsinh}\, z=\frac{z \sqrt{1+z^2}|}{|1} +\frac{1\cdot 2\, z^2|}{|3} + \frac{1\cdot 2\, z^2|}{|5} +\frac{3\cdot 4\, z^2|}{|7} + \frac{3\cdot 4\, z^2|}{|9} +\frac{5\cdot 6\, z^2|}{|11} + \frac{5\cdot 6\, z^2|}{|13}+...$

$\arcsin z=\frac{z \sqrt{1-z^2}|}{|1} -\frac{1\cdot 2\, z^2|}{|3} - \frac{1\cdot 2\, z^2|}{|5} -\frac{3\cdot 4\, z^2|}{|7} - \frac{3\cdot 4\, z^2|}{|9} -\frac{5\cdot 6\, z^2|}{|11} - \frac{5\cdot 6\, z^2|}{|13}-...$

[Bearbeiten] Arkustangens und Areatangens Hyperbolicus

$\arctan z=\frac{z|}{|1}+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{k^2 z^2}{2k+1} =\frac{z|}{|1}+\frac{z^2|}{|3}+\frac{4z^2|}{|5}+\frac{9z^2|}{|7}+...$

$\text{artanh}\, z=\frac{z|}{|1}+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{-k^2 z^2}{2k+1} =\frac{z|}{|1}-\frac{z^2|}{|3}-\frac{4z^2|}{|5}-\frac{9z^2|}{|7}-...$

$\begin{matrix}\arctan \\ \operatorname{artanh}\end{matrix}(z) =\frac{z|}{|1}+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{\pm (2k-1)^2 z^2}{2k+1\mp (2k-1)z^2} =\frac{z|}{|1} \pm \frac{z^2|}{|3\mp z^2} \pm \frac{9z^2|}{|5\mp 3 z^2}\pm \frac{25 z^2|}{|7\mp 5 z^2}\pm ...$

$\operatorname{artanh}(z)=\pm \frac{i\pi}{2}+\frac{1|}{|z}+\underset{k=2}{\overset{\infty}{K}} \frac{-\frac{k-1}{k}}{\frac{2k-1}{k} z}=\pm \frac{i\pi}{2}+\frac{1|}{|z}-\frac{\frac12|}{|\frac32 z} -\frac{\frac23|}{|\frac53 z}-\frac{\frac34|}{|\frac74 z}-... \qquad \begin{matrix} \textrm{Im}(z)>0 \\ \textrm{Im}(z)<0 \end{matrix}$

$e^{2\mu \arctan\left(\frac{1}{z}\right)}=1+\frac{2\mu|}{|z-\mu}+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{\mu^2+k^2}{(2k+1)z} =1+\frac{2\mu|}{|z-\mu}+\frac{\mu^2+1|}{|3z}+\frac{\mu^2+4|}{|5z}+\frac{\mu^2+9|}{|7z}+...$

[Bearbeiten] Logarithmus

$\log(1+z)=\frac{z|}{|1}+\frac{1^2 z|}{|2}+\frac{1^2 z|}{|3}+\frac{2^2 z|}{|4}+\frac{2^2 z|}{|5}+\frac{3^2 z|}{|6} +\frac{3^2 z|}{|7}+\frac{4^2 z|}{|8}+\frac{4^2 z|}{|9}+...$

$\log(1+z)=\frac{1|}{|\frac{1}{z}}+\frac{1|}{|\frac{2}{1}}+\frac{1|}{|\frac{3}{z}}+\frac{1|}{|\frac{2}{2}}+ \frac{1|}{|\frac{5}{z}}+\frac{1|}{|\frac{2}{3}}+\frac{1|}{|\frac{7}{z}}+\frac{1|}{|\frac{2}{4}} +\frac{1|}{|\frac{9}{z}}+\frac{1|}{|\frac{2}{5}}+...$

$\log(1+z)=\frac{z|}{|1}+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{k^2 z}{k+1-kz} =\frac{z|}{|1}+\frac{z|}{|2-z}+\frac{4z|}{|3-2z}+\frac{9z|}{|4-3z}+\frac{16z|}{|5-4z}+...$

[Bearbeiten] Fehlerfunktion

$\operatorname{erf}(z)=\pm 1-\frac{\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-z^2}|}{|z}+\frac{1|}{|2z}+\frac{2|}{|z}+\frac{3|}{|2z}+\frac{4|}{|z}+\frac{5|}{|2z}+\frac{6|}{|z}+\frac{7|}{|2z}+\frac{8|}{|z}+... \qquad \begin{matrix} \operatorname{Re}(z)>0 \\ \operatorname{Re}(z)<0 \end{matrix}$

$\operatorname{erf}(z)=\frac{\frac{z}{\sqrt{\pi}} e^{-z^2}|}{|\frac12} +\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{(-1)^k \frac{k}{2} z^2}{\frac{2k+1}{2}} =\frac{\frac{z}{\sqrt{\pi}} e^{-z^2}|}{|\frac12}-\frac{\frac12 z^2|}{|\frac32}+\frac{\frac22 z^2|}{|\frac52} -\frac{\frac32 z^2|}{|\frac72}+\frac{\frac42 z^2|}{|\frac92}-\frac{\frac52 z^2|}{|\frac{11}2}+\frac{\frac62 z^2|}{|\frac{13}2}-...$

[Bearbeiten] Gammafunktion

$\frac{\Gamma\left(\frac{z+\alpha+1}{4}\right)\, \Gamma\left(\frac{z-\alpha+1}{4}\right)}{\Gamma\left(\frac{z+\alpha+3}{4}\right)\, \Gamma\left(\frac{z-\alpha+3}{4}\right)} =\frac{4|}{|z}+\underset{k=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{(2k-1)^2-\alpha^2}{2z}=\frac{4|}{|z}+\frac{1^2-\alpha^2|}{|2z}+\frac{3^2-\alpha^2|}{|2z}+\frac{5^2-\alpha^2|}{|2z}+\frac{7^2-\alpha^2|}{|2z}+...$

[Bearbeiten] Ramanujan Kettenbrüche

$\left(\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{5}}-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\, e^{2\pi/5}=\underset{k=0}{\overset{\infty}{K}} \frac{e^{-2k\pi}}{1}=\frac{1|}{|1}+\frac{e^{-2\pi}|}{|1}+\frac{e^{-4\pi}|}{|1}+\frac{e^{-6\pi}|}{|1}+\frac{e^{-8\pi}|}{|1}+...$

$\left(\frac{\sqrt{5}}{1+\sqrt[5]{\sqrt[4]{5}^{\, 3} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}^{\, 5}-1}}-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\, e^{2\pi/\sqrt{5}}=\underset{k=0}{\overset{\infty}{K}} \frac{e^{-2k\pi\sqrt{5}}}{1}=\frac{1|}{|1}+\frac{e^{-2\pi\sqrt{5}}|}{|1}+\frac{e^{-4\pi\sqrt{5}}|}{|1}+\frac{e^{-6\pi\sqrt{5}}|}{|1}+\frac{e^{-8\pi\sqrt{5}}|}{|1}+...$

$\sqrt{\frac{\pi\, e^x}{2x}}=\sum_{k=0}^\infty \frac{k!\, (2x)^k}{(2k+1)!}+\frac{1|}{|x}+\frac{1|}{|1}+\frac{2|}{|x}+\frac{3|}{|1}+\frac{4|}{|x}+\frac{5|}{|1}+\frac{6|}{|x}+...$

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