Formelsammlung Mathematik: Zahlenbereiche und Rechenoperationen

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Zahlenbereiche[Bearbeiten]

Übersicht[Bearbeiten]

Es ist \Bbb{N}\subset\Bbb{Z}\subset\Bbb{Q}\subset\Bbb{R}\subset\Bbb{C}\subset\Bbb{H}\subset\Bbb{O}. Dabei sind \Bbb{N} die natürlichen, \Bbb{Z} die ganzen, \Bbb{Q} die rationalen, \Bbb{R} die reellen, und \Bbb{C} die komplexen Zahlen. \Bbb{H} sind die Quaternionen und \Bbb{O} die Oktaven.

\Bbb{C} enthält die (rein) imaginären Zahlen als echte Teilmenge. \Bbb{N} beginnt je nach Festlegung bei 0 oder 1. Zur Verdeutlichung kann man \Bbb{N}_0 bzw. \Bbb{N}_1 schreiben.

Rationale Zahlen[Bearbeiten]

Jede rationale Zahl r\! lässt sich als gemeiner Bruch (Quotient zweier ganzer Zahlen) schreiben: r=\frac{a}{b}.\ a heißt Zähler, b\! Nenner.

r\! heißt echt (eigentlich) für 0<|a|<|b|,\ 0<|r|<1
unecht (uneigentlich) für 0<|b|<|a|,\ 1<|r|
reduziert für \operatorname{ggT}(a,b)=1
Stammbruch für |a|=1
Zweigbruch für |a|\ne1

Komplexe Zahlen[Bearbeiten]

Komplexezahlen-02.PNG

Komplexe Zahlen werden nicht, wie reelle Zahlen, auf einer Zahlengeraden, sondern auf einer Zahlenebene mit der reellen und der imaginären Achse abgetragen. Es sind drei äquivalente Darstellungsformen gebräuchlich:

geometrische Darstellung z=a+b\cdot i
trigonometrische Darstellung z=r\cdot(\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi)
Exponentialdarstellung z=r\cdot e^{i\cdot\varphi}
Definitionen[Bearbeiten]
i^2 := -1
i = \sqrt{-1} heißt imaginäre Einheit,wobei hier eine komplexe Wurzel gezogen wird, da die Wurzel negativer Zahlen nicht definiert ist.
r = |z| heißt Betrag von z
|z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|
r = \sqrt{a^2 + b^2}
a = r \cdot \cos \varphi = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \cos \varphi
b = r \cdot \sin \varphi = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin \varphi
\tan \varphi = \frac{b}{a}
\Re z = \operatorname{Re} z = a heißt Realteil von z
\Im z = \operatorname{Im} z = b heißt Imaginärteil von z
\bar z = a-b\cdot i heißt konjugiert komplexe Zahl von z.
|z|=|\bar z|
\bar\bar z = z
z\cdot\bar z = |z|^2
\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}
\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}
z^{-1} = \frac \bar z {|z|^2}
\operatorname{Re} z = \frac{(z+\bar z)}2
\operatorname{Im} z = \frac {(\bar z-z)\cdot i} 2
eulersche Identität: e^{i\cdot\varphi}=\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi,
speziell für \varphi=\pi\!:\ e^{i\cdot\pi}=-1
Rechenregeln[Bearbeiten]
z_1:=a_1+b_1\cdot i=r_1\cdot(\cos\varphi_1+i\cdot\sin\varphi_1)
z_2:=a_2+b_2\cdot i=r_2\cdot(\cos\varphi_2+i\cdot\sin\varphi_2)
z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\cdot i
\begin{align}
&z_1\cdot z_2&&=(a_1\cdot a_2-b_1\cdot b_2)+(a_1\cdot b_2+b_1\cdot a_2)\cdot i\\
&&&=r_1\cdot r_2\cdot(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\cdot\sin(\varphi_1+\varphi_2))
\end{align}
\frac{z_1}{z_2}=z_1\cdot z_2^{-1}
\begin{align}
&z_1^{-1}&&=\frac{a_1}{a_1^2+b_1^2}+\frac{-b_1}{a_1^2+b_1^2}\cdot i\\
&&&=r_1^{-1}\cdot(\cos(-\varphi_1)+i\cdot\sin(-\varphi_1))
\end{align}
z_1^n=r_1^n\cdot(\cos(n\cdot\varphi_1)+i\cdot\sin(n\cdot\varphi_1))
\sqrt[n]{z_1}=\sqrt[n]{r_1}\cdot(\cos\frac{\varphi_1+2\cdot\pi\cdot k}n+i\cdot\sin\frac{\varphi_1+2\cdot\pi\cdot k}n),\ k\in\Bbb{N}_0,\ k\in[0;n-1]

Rechenoperationen erster bis dritter Stufe[Bearbeiten]

Übersicht[Bearbeiten]

Rechenart Gerade oder direkte Umgekehrte oder indirekte
Grundrechenarten 1.Stufe Addition

(addieren; zusammenzählen)

Subtraktion

(subtrahieren; abziehen)

7 + 9 = 16 \ a + b = c \ 16 - 9 = 7 \

16 - 7 = 9 \

c - b = a \

c - a = b \

Summand plus Summand gleich Summe Minuend minus Subtrahend gleich Differenz
2.Stufe Multiplikation

(multiplizieren; malnehmen)

Division

(dividieren; teilen)

3 + 3 + 3 + 3 = 3 \cdot 4 = 12
\underbrace{a + a + a + ...}

b gleiche Summanden
= a \cdot b = c \

12 : 4 = 3 \ c : b = a \
1.Faktor mal 2.Faktor gleich Produkt Dividend durch Divisor gleich Quotient
. 3.Stufe Potenzieren Radizieren

(Wurzelziehen)

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4 = 81
\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot ...}

b gleiche Faktoren
= a^b = c \

\sqrt[4]{81} = 3 \sqrt[b]{c} = a
Basis a hoch Exponent b gleich Potenzwert c b-te Wurzel aus dem Radikanden c gleich Wurzelwert a (b: Wurzelexponent)
Logarithmieren
\log_3 81 = 4 \ \log_a c = b \
Logarithmus vom Logarithmanden c zur Basis a gleich Logarithmuswert b

Die vier Grundrechenarten mit natürlichen Zahlen[Bearbeiten]

Addition[Bearbeiten]

Addieren oder Zusammenzählen

Summand + Summand = Summe
     3  +  4      =   7

Satz: Die Summanden dürfen beliebig vertauscht werden -> Kommutativgesetz


Subtraktion[Bearbeiten]

Subtrahieren oder Abziehen

Minuend - Subtrahend = Differenz
    8   -    2       =   6

Multiplikation[Bearbeiten]

Faktor x Faktor = Produkt

 8    x   8    =  64

Division[Bearbeiten]

Dividieren, Teilen oder Bruchrechnen

\frac{\mbox{Z}\ddot\mbox{a}\mbox{hler}}{\mbox{Nenner}} oder \frac{\mbox{Dividend}}{\mbox{Divisor}} = \mbox{Quotient}

Beispiel: \frac{8}{2} = 4

Dezimalbruch[Bearbeiten]

0{,}25 \

Gemischter Bruch[Bearbeiten]

2 \frac{5}{8}= 2 + \frac{5}{8}
ganze Zahl und ein Bruch

Gleichnamige Brüche[Bearbeiten]

\frac 5 8, \frac 3 8, \frac 1 8
alle Nenner sind gleichnamig

Ungleichnamige Brüche[Bearbeiten]

\frac 5 8, \frac 3 2, \frac1 9
alle Nenner sind ungleichnamig

Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche[Bearbeiten]

\frac{5}{8} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5+3-1}{8} = \frac{7}{8}
Die Zähler werden addiert oder subtrahiert und == der Nenner wird beibehalten. ==

Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche[Bearbeiten]

\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{6}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}
Die Nenner werden auf ein gemeinsames Vielfaches gebracht und somit zu gleichnamigen Brüchen

Multiplizieren von Brüchen[Bearbeiten]

\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 2} =  \frac{15}{16}
Zähler werden mit Zähler multipliziert, Nenner mit Nenner.

Dividieren von Brüchen[Bearbeiten]

\frac{5}{8} : \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 2} = \frac{15}{16}
Dividend multipliziert mit Kehrwert des Divisors