Formelsammlung Mathematik: Zahlenbereiche und Rechenoperationen

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Zahlenbereiche

Übersicht

Es ist $\Bbb{N}\subset\Bbb{Z}\subset\Bbb{Q}\subset\Bbb{R}\subset\Bbb{C}\subset\Bbb{H}\subset\Bbb{O}.$ Dabei sind $\Bbb{N}$ die natürlichen, $\Bbb{Z}$ die ganzen, $\Bbb{Q}$ die rationalen, $\Bbb{R}$ die reellen, und $\Bbb{C}$ die komplexen Zahlen. $\Bbb{H}$ sind die Quaternionen und $\Bbb{O}$ die Oktaven.

$\Bbb{C}$ enthält die (rein) imaginären Zahlen als echte Teilmenge. $\Bbb{N}$ beginnt je nach Festlegung bei 0 oder 1. Zur Verdeutlichung kann man $\Bbb{N}_0$ bzw. $\Bbb{N}_1$ schreiben.

Rationale Zahlen

Jede rationale Zahl $r\!$ lässt sich als gemeiner Bruch (Quotient zweier ganzer Zahlen) schreiben: $r=\frac{a}{b}.\ a$ heißt Zähler, $b\!$ Nenner.

$r\!$ heißt	echt (eigentlich)	für $0<|a|<|b|,\ 0<|r|<1$
	unecht (uneigentlich)	für $0<|b|<|a|,\ 1<|r|$
	reduziert	für $\operatorname{ggT}(a,b)=1$
	Stammbruch	für $|a|=1$
	Zweigbruch	für $|a|\ne1$

Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen werden nicht, wie reelle Zahlen, auf einer Zahlengeraden, sondern auf einer Zahlenebene mit der reellen und der imaginären Achse abgetragen. Es sind drei äquivalente Darstellungsformen gebräuchlich:

geometrische Darstellung	$z=a+b\cdot i$
trigonometrische Darstellung	$z=r\cdot(\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi)$
Exponentialdarstellung	$z=r\cdot e^{i\cdot\varphi}$

Definitionen

$i^2 := -1$

$i = \sqrt{-1}$ heißt imaginäre Einheit,wobei hier eine komplexe Wurzel gezogen wird, da die Wurzel negativer Zahlen nicht definiert ist.

$r = |z|$ heißt Betrag von z

$|z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|$

$r = \sqrt{a^2 + b^2}$

$a = r \cdot \cos \varphi = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \cos \varphi$

$b = r \cdot \sin \varphi = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin \varphi$

$\tan \varphi = \frac{b}{a}$

$\Re z = \operatorname{Re} z = a$ heißt Realteil von z

$\Im z = \operatorname{Im} z = b$ heißt Imaginärteil von z

$\bar z = a-b\cdot i$ heißt konjugiert komplexe Zahl von z.

$|z|=|\bar z|$

$\bar\bar z = z$

$z\cdot\bar z = |z|^2$

$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$

$\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}$

$z^{-1} = \frac \bar z {|z|^2}$

$\operatorname{Re} z = \frac{(z+\bar z)}2$

$\operatorname{Im} z = \frac {(\bar z-z)\cdot i} 2$

eulersche Identität: $e^{i\cdot\varphi}=\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi,$

speziell für $\varphi=\pi\!:\ e^{i\cdot\pi}=-1$

Rechenregeln

$z_1:=a_1+b_1\cdot i=r_1\cdot(\cos\varphi_1+i\cdot\sin\varphi_1)$

$z_2:=a_2+b_2\cdot i=r_2\cdot(\cos\varphi_2+i\cdot\sin\varphi_2)$

$z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\cdot i$

$\begin{align} &z_1\cdot z_2&&=(a_1\cdot a_2-b_1\cdot b_2)+(a_1\cdot b_2+b_1\cdot a_2)\cdot i\\ &&&=r_1\cdot r_2\cdot(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\cdot\sin(\varphi_1+\varphi_2)) \end{align}$

$\frac{z_1}{z_2}=z_1\cdot z_2^{-1}$

$\begin{align} &z_1^{-1}&&=\frac{a_1}{a_1^2+b_1^2}+\frac{-b_1}{a_1^2+b_1^2}\cdot i\\ &&&=r_1^{-1}\cdot(\cos(-\varphi_1)+i\cdot\sin(-\varphi_1)) \end{align}$

$z_1^n=r_1^n\cdot(\cos(n\cdot\varphi_1)+i\cdot\sin(n\cdot\varphi_1))$

$\sqrt[n]{z_1}=\sqrt[n]{r_1}\cdot(\cos\frac{\varphi_1+2\cdot\pi\cdot k}n+i\cdot\sin\frac{\varphi_1+2\cdot\pi\cdot k}n),\ k\in\Bbb{N}_0,\ k\in[0;n-1]$

Rechenoperationen erster bis dritter Stufe

Übersicht

Rechenart		Gerade oder direkte		Umgekehrte oder indirekte
Grundrechenarten	1.Stufe	Addition (addieren; zusammenzählen)		Subtraktion (subtrahieren; abziehen)
		$7 + 9 = 16 \$	$a + b = c \$	$16 - 9 = 7 \$ $16 - 7 = 9 \$	$c - b = a \$ $c - a = b \$
		Summand plus Summand gleich Summe		Minuend minus Subtrahend gleich Differenz
	2.Stufe	Multiplikation (multiplizieren; malnehmen)		Division (dividieren; teilen)
		$3 + 3 + 3 + 3 = 3 \cdot 4 = 12$	$\underbrace{a + a + a + ...}$ b gleiche Summanden $= a \cdot b = c \$	$12 : 4 = 3 \$	$c : b = a \$
		1.Faktor mal 2.Faktor gleich Produkt		Dividend durch Divisor gleich Quotient
.	3.Stufe	Potenzieren		Radizieren (Wurzelziehen)
		$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4 = 81$	$\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot ...}$ b gleiche Faktoren $= a^b = c \$	$\sqrt[4]{81} = 3$	$\sqrt[b]{c} = a$
		Basis a hoch Exponent b gleich Potenzwert c		b-te Wurzel aus dem Radikanden c gleich Wurzelwert a (b: Wurzelexponent)
				Logarithmieren
				$\log_3 81 = 4 \$	$\log_a c = b \$
				Logarithmus vom Logarithmanden c zur Basis a gleich Logarithmuswert b

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Die vier Grundrechenarten mit natürlichen Zahlen

Addition

Addieren oder Zusammenzählen

Summand + Summand = Summe
     3  +  4      =   7

Satz: Die Summanden dürfen beliebig vertauscht werden -> Kommutativgesetz

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Subtraktion

Subtrahieren oder Abziehen

Minuend - Subtrahend = Differenz
    8   -    2       =   6

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Multiplikation

Faktor x Faktor = Produkt

 8    x   8    =  64

Division

Dividieren, Teilen oder Bruchrechnen

$\frac{\mbox{Z}\ddot\mbox{a}\mbox{hler}}{\mbox{Nenner}}$ oder $\frac{\mbox{Dividend}}{\mbox{Divisor}} = \mbox{Quotient}$

Beispiel: $\frac{8}{2} = 4$

Dezimalbruch

$0{,}25 \$

Gemischter Bruch

$2 \frac{5}{8}= 2 + \frac{5}{8}$
ganze Zahl und ein Bruch

Gleichnamige Brüche

$\frac 5 8, \frac 3 8, \frac 1 8$
alle Nenner sind gleichnamig

Ungleichnamige Brüche

$\frac 5 8, \frac 3 2, \frac1 9$
alle Nenner sind ungleichnamig

Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche

$\frac{5}{8} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5+3-1}{8} = \frac{7}{8}$
Die Zähler werden addiert oder subtrahiert und == der Nenner wird beibehalten. ==

Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche

$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{6}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}$
Die Nenner werden auf ein gemeinsames Vielfaches gebracht und somit zu gleichnamigen Brüchen

Multiplizieren von Brüchen

$\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 2} = \frac{15}{16}$
Zähler werden mit Zähler multipliziert, Nenner mit Nenner.

Dividieren von Brüchen

$\frac{5}{8} : \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 2} = \frac{15}{16}$
Dividend multipliziert mit Kehrwert des Divisors