Formelsammlung Physik/ Elektrostatik

${\sqrt[{n}]{x}}$

Dieses ist eine Formelsammlung zum Thema Elektrostatik. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Wikipedia-Artikel Mathematische Symbole erläutert werden.

Ladung / Verschiebungsfluss

Einheit

Q bzw. q = $\Psi$. Einheit: [Q] = C = As (Coulomb = Ampere Sekunde)

Elektrische Elementarladung

$e=\,1{,}60217662\cdot 10^{-19}\mathrm {As}$

Die Ladung ist vielfaches der elektrische Elementarladung $e$

$Q=eN\quad {\text{mit}}\quad N\in \mathbb {Z}$

Ladungsdichte

Linienladungsdichte

$\lambda ({\vec {r}})={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} l}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int _{l}\lambda ({\vec {r}})\,\mathrm {d} l.$

Oberflächenladungsdichte

$\sigma ({\vec {r}})={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} A}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int _{A}\sigma ({\vec {r}})\,\mathrm {d} A$

Raumladungsdichte

$\rho ({\vec {r}})={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} V}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int _{V}\rho ({\vec {r}})\,\mathrm {d} V$,

Ladungserhaltung

$Q_{\mathrm {tot} }=\sum _{i}Q_{i}=\int \limits _{V}{q_{i}\,\cdot \,\mathrm {d} V}$

$Q_{\mathrm {tot} }\,$: Gesamtladung im abgeschlossenen System

$Q_{i}/q_{i}$: Einzelladungen

$V,\mathrm {d} V$: Volumen , w:infinitesimales Volumenelement

Anziehungskraft zweier Punktladungen

skalar:

$F={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\,\cdot \,{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}\qquad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\rm {r}}$

vektoriell:

${\vec {F}}\,=\,{\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\,\cdot \,{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}\,\cdot \,{\frac {\vec {r}}{r}}\qquad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\rm {r}}$

$\varepsilon \,$: w:Permittivität (Dielektrizitätszahl)

$\varepsilon _{0}\,$: w:elektrische Feldkonstante $=\,8{,}85418782\dots \cdot 10^{-12}\,{\frac {\rm {As}}{\rm {Vm}}}$

$\varepsilon _{\mathrm {r} }\,$: relative Permittivität (relative Dielektrizitätszahl)

$\pi \,$: (Pi) w:Kreiszahl $=\,3{,}14159265\dots$

$Q_{1},Q_{2}$: Ladungen

${\vec {r}}\,$: Abstandsw:vektor der Ladungen

$r=|{\vec {r}}|\,$: Abstand der Ladungen

Verschiebungsfluss

skalar:

$\Psi =Q=\sum {\varepsilon \,\cdot E_{N}\,\cdot \,\Delta A}\qquad {\textrm {mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}$

wenn homogen:

$\Psi =Q=$ $A$ $D\,\cdot \,\mathrm {d} A$

vektoriell:

$\Psi =Q=$ $A$ $\varepsilon \,\cdot {\vec {E}}\,\cdot \,{\vec {\mathrm {d} A}}\quad \mathrm {mit} \quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }$

$\Psi =Q=$ $A$ ${\vec {D}}\,\cdot \,{\vec {\mathrm {d} A}}$

geschlossene Fläche:

$\Psi \,=\,\sum _{A}{Q_{e}}$

$Q_{e}$: eingeschlossene Ladung

$\varepsilon \,$: Permittitvität (Dielektrizitätszahl)

$\varepsilon _{0}\,$: elektrische Feldkonstante $=\,8{,}85418782\dots \cdot 10^{-12}\,{\frac {\mathrm {As} }{\mathrm {Vm} }}$

$\varepsilon _{\mathrm {r} }\,$: relative Permittivität (relative Dielektrizitätszahl)

$E_{\mathrm {N} }=|{\vec {E}}|\cdot \,\cos(\varphi )\,$: Normalkomponente

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elektrische Feldstärke

die elektrische Feldstärke (E-Feld) und deren Einheit

Die elektrische Feldstärke ist eine vektorielle Größe; sie hat somit einen Betrag und eine Richtung.

${\vec {E}}\qquad {\text{Einheit:}}\,{\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {m} }}\quad {\text{bzw.}}\quad {\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {C} }}$

Die Einheiten veranschaulichen die einfachste Berechnungen des E-Feldes:

${\vec {E}}={\frac {\vec {F}}{q}}={\frac {\mathrm {d} U}{\vec {\mathrm {d} l}}}$

Feldstärke im Potenzialfeld:

${\vec {E}}=-\operatorname {grad} (\varphi )$

E-Feld einer Punktladung

skalar:

$E={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\,\cdot \,{\frac {Q}{r^{2}}}\quad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }$

vektoriell:

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\,\cdot \,{\frac {Q}{r^{2}}}\,\cdot \,{\frac {\vec {r}}{r}}\quad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }$

$\varepsilon _{0}$: Elektrische Feldkonstante $=8{,}85418782\dots \cdot 10^{-12}\,{\frac {\mathrm {As} }{\mathrm {Vm} }}$

$\varepsilon _{\mathrm {r} }$: Dielektrizitätszahl

E-Feld eines geladenen Leiters

äußeres Feld:

skalar:

$E={\frac {Q}{2\pi \varepsilon lr}}={\frac {\rho }{2\pi \varepsilon r}}\quad {\text{mit}}\quad \rho ={\frac {Q}{l}}$

vektoriell:

${\vec {E}}(P)={\frac {Q}{2\pi \varepsilon l({\vec {p}}\times {\vec {e_{l}}})^{2}}}\cdot ({\vec {e_{l}}}\times ({\vec {p}}\times {\vec {e_{l}}}))={\frac {\rho }{2\pi \varepsilon ({\vec {p}}\times {\vec {e_{l}}})^{2}}}\cdot ({\vec {e_{l}}}\times ({\vec {p}}\times {\vec {e_{l}}}))\quad {\text{mit}}\quad {\vec {e_{l}}}={\frac {\vec {l}}{|{\vec {l}}|}},\quad {\vec {p}}={\vec {OP}}$

inneres Feld:

Für eine Statische Ladungsverteilung muss die Summe aller Kräfte auf jede Ladung 0 sein. Da Ladungen im inneren eines Leiters frei beweglich sind gilt, darf es kein Feld geben. Diesem würde jede Ladung folgen, bis auftretende Ladungsverteilungen das Ursprungsfeld kompensieren. Das heißt, dass es keine Potentialdifferenz gibt:

$\Delta U=0$.

$U({\vec {r}})={\text{const.}}$ erfüllt diese Bedingung. Wonach das Feld 0 sein muss:

${\vec {E}}({\vec {r}})=-\nabla U({\vec {r}})=0$

Nach dem Eindeutigkeitssatz, ist dies die richtige Lösung.

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Spannung / Potential

die Spannung / das Potential und deren Einheit

$U\qquad {\text{Einheit ist Volt: }}\mathrm {V} ={\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {C} }}$

$\varphi \qquad {\text{Einheit: }}\mathrm {V}$

Spannung zwischen zwei Punkten im E-Feld

$U_{AB}={\frac {W_{AB}}{q}}$

$U_{AB}=\int \limits _{A}^{B}{{\vec {E}}\cdot {\vec {\mathrm {d} s}}}$

im homogenen Feld:

$U_{AB}={\vec {E}}\cdot {\vec {s}}$

Potential im E-Feld

$\varphi _{A}=U_{AZ}=-\int \limits _{Z}^{A}{{\vec {E}}\cdot {\vec {\mathrm {d} s}}}$

$Z$: Bezugspunkt; $\varphi _{Z}=0$

Kirchoff: Maschenregeln

Wenn kein bewegendes Magnetischesfeld vorhanden ist.

$\oint {\vec {E}}\cdot {\rm {d}}{\vec {s}}=0$

Elektromotorische Kraft

$\oint {\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=-\int {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\mathrm {d} {\vec {A}}={\mathcal {E}}$

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Kondensatoren

Kapazität

die Kapazität und deren Einheit

die Kapazität ist ein Maß für die Speicherfähigkeit eines Kondensators. Ihr Symbolbuchstabe ist:

$C\$

Ihre Einheit ist das Farad:

$[C]=1\,\mathrm {F} ={\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {V} }}$

Die Einheit veranschaulicht die einfachste Berechnung der Kapazität:

$C={\frac {Q}{U}}$

Kapazität einer beliebigen Ladungsverteilung

$C={\frac {Q}{U}}={\frac {\oint _{A}\varepsilon {\vec {E(A)}}\cdot d{\vec {A}}}{\int _{A}^{B}{\vec {E(s)}}\cdot d{\vec {s}}}}$

Kapazität eines Plattenkondensators

$C=\varepsilon {\frac {A}{d}}\quad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }$

$\varepsilon$: Permittivität (Dielektrizitätszahl)

$\varepsilon _{0}$: elektrische Feldkonstante $=8{,}85418782\ldots \cdot 10^{-12}\,\mathrm {\frac {\mathrm {A} s}{\mathrm {V} m}}$

$\varepsilon _{\mathrm {r} }$: relative Permittivität (relative Dielektrizitätszahl)

Kapazität eines Zylinderkondensators

könnte z.B. ein Koax-Kabel sein

$C={\frac {2\pi \varepsilon l}{\ln {\frac {r_{\mathrm {a} }}{r_{\mathrm {i} }}}}}\quad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }$

$r_{\mathrm {a} }$: Außenradius

$r_{\mathrm {i} }$: Innenradius

$l$: Zylinderlänge

Kapazität einer freistehenden Kugel

$C=4\pi \varepsilon r\quad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }$

$r$: Kugelradius

Kapazität eines Kugelkondensators

$C={\frac {4\pi \varepsilon }{\left({{\frac {1}{r_{\rm {i}}}}-{\frac {1}{r_{\rm {a}}}}}\right)}}\quad {\rm {mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\rm {r}}$

$r_{\mathrm {a} }$: äußerer Kugelradius

$r_{\mathrm {i} }$: innerer Kugelradius