Formelsammlung Physik/ Mechanik

$\sqrt[n]{x}$

Dieses ist eine Formelsammlung zum Thema Mechanik. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Wikipedia-Artikel Mathematische Symbole erläutert werden.

Dies ist eine Formelsammlung zu dem physikalischen Teilgebeit der klassischen Mechanik. Ausführlichere Erklärungen zu einzelnen Begriffen finden sich in den verlinkten Wikipedia-Artikeln.

Diese Formelsammlung ist noch im Aufbau. Du darfst gerne mithelfen, indem du sie erweiterst.

Bewegungen − Kinematik

$v$: Geschwindigkeit [m/s]

$s$: Strecke [m]

$t$: Zeit [s]

$a$: Beschleunigung [m/s²]

Geradlinige Bewegung

$v=\frac{s}{t}$

gleichförmige Bewegung (Durchschnittsgeschwindigkeit)

$\Delta s$: Strecke [m]

$\Delta t$: Zeit [s]

$\bar v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

Momentangeschwindigkeit

$v=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}$

Beschleunigung

$a=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2s}{\mathrm dt^2}$

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

• geradlinig:

$s(t) = \frac12\,a\,t^2+v_0\,t+s_0$

$v=at+v_0\,$

• allgemein:

$\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}\,t$

$\vec{x}(t) = \vec{x}_0 + \vec{v}_0\,t + \frac{1}{2} \,\vec{a}\,t^2$

$\vec{v}(t)^2 = \vec{v}_0^2 + 2\,a\,(\vec{x}(t) - \vec{x}_0)$

mit

$\vec x(t)$: zeitabhängige Position

$\vec x_0$: Anfangsposition

$\vec v$: zeitabhängige Geschwindigkeit

$\vec v_0$: Anfangsgeschwindigkeit

beliebige Bewegung

$\vec s=\int_{t_1}^{t_2}\vec v(t)\mathrm dt+\vec v_0\, t+\vec s_0$

$\vec v=\int_{t_1}^{t_2}\vec a(t)\mathrm dt+\vec v_0$

Kreisbewegung

gleichförmige Kreisbewegung: v = konstant

$b$: Bogenlänge [m]

$r$: Kreisradius [m]

$\varphi$: Winkelkoordinate rad (dimensionslos)

$\varphi = \frac{b}{r}$

$\text{Winkelgeschwindigkeit }\omega=\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}=\frac{2\pi}T$

$\text{Drehfrequenz }f =\frac1T = \frac{\omega}{2\pi}$

$\text{Tangentialgeschwindigkeit }v = r\omega = \frac{2\pi r}T = 2\pi rf$

$\text{Umlaufdauer }T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi}{\omega}$

$\text{Zentripetalbeschleunigung }a_\mathrm{z} = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$

gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung

$\varphi=\frac12\alpha\cdot t^2=\frac br=\frac{\omega\cdot t}2$

$\omega=\frac vr=\alpha\cdot t$

$\text{Winkelbeschleunigung }\alpha=\frac ar=\frac \omega t=\text{konstant}$

Rotation

gleichförmige Rotation

$\phi=\omega\cdot t+\phi_0$

$\omega=\frac{\Delta\phi}{\Delta t}=\frac vr=\frac{2\pi}T=2\pi n$

$\alpha=0\,$

gleichmäßig beschleunigte Rotation

$\phi=\frac\alpha2\cdot t^2+\omega_0\cdot t+\phi_0$

$\omega=\alpha\cdot t+\omega_0$

$\alpha=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\text{konstant}$

Würfe, Freier Fall

Freier Fall

$g$: Erdbeschleunigung [m/s²]

$h$: Fallhöhe [m]

ohne Reibung

$v=g\cdot t = \sqrt{2gh}$

$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

$s=\frac12gt^2$

mit Reibung

$H$: Anfangshöhe

Fall 1: Newton-Reibung

$\text{Momentanh}\ddot \mathrm o\text{he }h(t) = H-\frac{m}{\alpha}\ln\left[\cosh\left(\sqrt{\frac{\alpha g}{m}}\cdot t\right)\right]$

$v(t) = -\sqrt{\frac{mg}{\alpha}}\tanh\left(\sqrt{\frac{\alpha g}{m}}\cdot t\right)$

$a(t) = -\frac{g}{\cosh^2\left(\sqrt{\frac{\alpha g}{m}}\cdot t\right)}$

$\text{Grenzgeschwindigkeit }v_\mathrm{g} = -\sqrt{\frac{mg}{\alpha}}$

Im Newton-Fall ist $\alpha = \tfrac12\cdot c_\mathrm{w}\,\rho\,A$, mit

$c_\mathrm{w}$: Strömungswiderstandskoeffizient

$\rho$: Luftdichte

$A$: Stirnfläche des fallenden Körpers

Fall 2: Stokes-Reibung

$h(t)=H+\frac{m}{\alpha}g\left[\frac{m}{\alpha}\left(1-e^{-(\alpha/m)t}\right)-t\right]$

$v(t)=\frac{m}{\alpha}g\left(e^{-(\alpha/m)t}-1\right)$

$a(t)=-g\,e^{-\frac{\alpha}{m} t}$

$v_g=-\frac{m}{\alpha}g$

Senkrechter Wurf

$v_0$: Abwurfgeschwindigkeit

$y_1$: Aufprallhöhe

nach unten

$v(t)=v_0+gt=\sqrt{v_0^2+2gh(t)}$

$h(t)=v_0t+\frac g2t^2$

nach oben

$v(t)=v_0-gt=\sqrt{v_0^2-2gh(t)}$

$h(t)=v_0t-\frac g2t^2$

$\text{Wurfzeit allgemein }T_{1/2}=\frac{v_0}{g}+\sqrt{\frac{v_0}{g}^2+\frac{2}{g}\cdot(H-y_1)}$

$\text{Steigzeit bis zum Umkehrpunkt }[v=0]: t_{steig}=\frac{v_0}g$

$\text{Steigh}\ddot \mathrm o\text{he } h_{max}=\frac{v_0^2}{2g}$

Horizontaler Wurf

$H$: Abwurfhöhe

$\text{Wurfweite }W=v_0\cdot\sqrt{\frac{2H}{g}}$

$\text{Wurfdauer }T=\sqrt{\frac{2H}{g}}$

Schiefer Wurf

$\alpha(0^\circ<\alpha <90^\circ)$: Abwurfwinkel zur Horizontalen

$\text{Wurfweite }W=\frac{v_0^2\cdot\sin(2\alpha)}{g}$

$\text{Steigh}\ddot \mathrm o\text{he }H=\frac{v_0^2\cdot\sin^2\alpha}{2g}$

$\text{Steigzeit = Fallzeit }T=\frac{v_0\cdot\sin\alpha}{g}$

Die Wurfweite ist maximal, wenn $\sin2\alpha=1$, also bei einem Abschusswinkel von $\alpha=45^\circ$.

Kraft

$m$: Masse [kg]

$g$: Fallbeschleunigung (Ortsfaktor) [m/s²]

$\vec F$: Kraft [N]

$\vec a$: Beschleunigung [m/s²]

Grundlegende Kräfte

$\text{Gewichtskraft }F_\mathrm{G} = m \cdot g$

$\text{Federspannkraft }F_S=D\cdot s$

$\text{Auftriebskraft }F_A=\rho\cdot V\cdot g=\text{Dichte}\cdot\text{Volumen}\cdot\text{Ortsfaktor}$

$\text{Druckkraft }F_p=p\cdot A=\text{Druck}\cdot\text{Auflagefl}\mathrm \ddot a\text{che}$

Zentrifugal-/-petalkraft

$F_Z=\frac{mv^2}r=mr\omega^2=ma_z$

siehe oben #Kreisbewegung

Newton’sche Gesetze

• Erstes newtonsches Gesetz: Trägheitsgesetz

„Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird.“

$\sum\vec F_{\ddot aussere}=\vec 0 \Leftrightarrow \vec v=\text{konstant}$

• Zweites newtonsches Gesetz: Aktionsprinzip

$\vec F=m\cdot\vec a$

• Drittes newtonsches Gesetz: actio=reactio

$\vec F_{A\to B}=-\vec F_{B\to A}$

Gravitationskraft

$\text{Gravitationskraft }F_\mathrm{G} = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$

$m_1, m_2$: Masse des einen bzw. anderen Körpers [kg]

$r$: Entfernung der Schwerpunkte beider Körper voneinander [m]

$G$: Gravitationskonstante $\approx 6{,}6726 \cdot 10^{-11} \frac{\mathrm{N} \mathrm{m}^2}{\mathrm{kg}^2}$

Kraftumformende Einrichtungen

• Drehmoment

$\text{Drehmoment }\vec M =\vec l \times\vec F$

$\vec F$: Kraft [N]

$\vec l$: Hebelarmlänge [m]

• Hebelgesetz

$F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2$

$F_1, F_2$: Kraft bzw. Last [N]

$l_1, l_2$: Kraft- bzw. Lastarmlänge [m]

• Rollen

• Flaschenzug

Reibung

$\text{Reibungskraft }F_R=\mu\cdot F_N=\text{Reibungszahl}\cdot\text{Normalkraft}$

$\vec{F}_\mathrm{RT}=-\alpha_\mathrm{T}$ = trockene Reibung (Gleitreibung)

$\vec{F}_\mathrm{RN}=-\alpha_\mathrm{N}\,v\,\vec{v}$ Newtonsche Reibung

$\vec{F}_\mathrm{RS}=-\alpha_\mathrm{N}\,\vec{v}$ Stokessche Reibung

Impuls

$\text{Impuls }\vec p=m\cdot\vec v\,$

$E_{\text{kinetisch}}=\frac{\vec p^2}{2\, m}$

$\Delta\vec p=m\cdot\Delta\vec v=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\mathrm dt$

$\frac{\mathrm d \vec p}{\mathrm dt}=\vec F$

Impulse bleiben (in einem kräftemäßig abgeschlossenen System) in der Summe erhalten.

Kraftstoß

$\text{Kraftstoss }\vec I=\vec F\cdot\Delta t\qquad\text{bei }\vec F=\text{konstant}$

$\vec I = \Delta\vec p=\int\vec F(t)\cdot\mathrm dt$

Drehimpuls

$J$: Trägheitsmoment

$\omega$: Winkelgeschwindigkeit

$M$: Drehmoment

$\text{Drehimpuls }\vec L=J\cdot\vec\omega$

$\frac{\mathrm d \vec L}{\mathrm dt}=\vec M$

Der Gesamtdrehimpuls eines isolierten physikalischen Systems bleibt unverändert.

Stoß

$v_1,v_2$: Geschwindigkeiten vor dem Stoß

$u,u_1,u_2$: Geschwindigkeiten nach dem Stoß

elastischer gerader zentraler (idealer) Stoß

Impulserhaltung:

$m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2\,$

Energieerhaltung:

$\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2=\frac12m_1u_1^2+\frac12m_2u_2^2$

Geschwindigkeiten nach dem Stoß:

$u_1=\frac{m_1v_1+m_2(2v_2-v_1)}{m_1+m_2}$

$u_2=\frac{m_2v_2+m_1(2v_1-v_2)}{m_1+m_2}$

Spezialfall: bei gleichen Massen

$u_1=v_2\qquad u_2=v_1$

unelastischer (gerader zentraler) Stoß

Impulserhaltung:

$m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)\cdot u$

Verringerung der kinetischen Energie (Verformungsenergie):

$\frac12(m_1v_1^2+m_2v_2^2)-\frac12(m_1+m_2)u^2$

Geschwindigkeit $u$ nach dem Stoß:

$u=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$

teilelastischer Stoß

Änderung der Bewegungsenergie ("Verlust")

$\Delta E=(E_{kin.vor}-E_{kin.nach})\cdot(1-k^2)=\frac12\cdot(1-k^2)\cdot\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\cdot(v_1-v_2)^2$

$\text{Stosszahl }k=\frac{u_2-u_1}{v_1-v_2}$

$u_1=\frac{v_1\cdot(m_1-km_2)+v_2\cdot(1+k)m_2}{m_1+m_2}$

$u_2=\frac{v_2\cdot(m_2-km_1)+v_1\cdot(1+k)m_1}{m_1+m_2}$

Dichte und Druck

$\text{Dichte }\rho=\frac mV=\frac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}$

$\text{Druck }p= \frac{| \vec F_\perp |}{| \vec A |}=\frac{\text{senkrecht wirkende Kraft}}{\text{Fl}\ddot\mathrm a\text{che}},\qquad\text{Einheit: Pa (Pascal)}$

$\text{Schweredruck }p=\frac{F_G}A=\frac{mg}A=\rho hg$

$\text{Auftriebskraft }F_A=\rho\cdot V\cdot g$

• Barometrische Höhenformel

Mechanische Arbeit

$W = \vec F \cdot \vec s$

$W$: Arbeit [Nm = J = Ws]

$\vec F$: Kraft [N]

$\vec s$: Weg [m]

allgemein

$W=\int_{s_1}^{s_2}\vec F(s)\mathrm d\vec s = \Delta E$

falls F = konstant und $\measuredangle (\vec F, \vec s)=\alpha$:

$W=F\cdot s\cdot\cos\alpha$

$\text{Hubarbeit }W=mgs\,$

$\text{Beschleunigungsarbeit }=mas\,$

$\text{Federspannarbeit }=\tfrac12Ds^2$

$\text{Reibungsarbeit }W_R=\mu\cdot m\cdot g\cdot s\cdot \cos\alpha$

$\text{Volumenarbeit (Ausdehnungsarbeit) }W=-\int_{V_1}^{V_2}p(V)\mathrm dV$

$\text{Falls Druck }p=\text{konstant: }W=-p\cdot\Delta V$

$V$: Volumen

Mechanische Energie

Potentielle Energie

$E_\mathrm{pot} = m \cdot g \cdot h$

$h$: Hubhöhe [m]

• Potentielle Energie einer gespannten Feder (Spannenergie)

$E_\mathrm{spann} = \frac12\cdot D \cdot s^2$

$\text{Federkonstante }D=\frac Fs,\qquad\text{Einheit: } \frac{\mathrm N}{\mathrm m}$

$s$: Auslenkung der Feder aus der Ruhelage

Potentielle Energie in einem Gravitationsfeld

$E_\mathrm{pot} = m \cdot g \cdot h \cdot \frac{R}{r} = \frac{GMm}{R}-\frac{GMm}{r}$

$M$: Masse des Himmelskörpers [kg]

$R$: Radius des Himmelskörpers [m]

$r$: Radius des Himmelskörpers + Hubhöhe (R+h) [m]

$G$: Gravitationskonstante

Maximale potentielle Energie in einem Gravitationsfeld

$E_\mathrm{pot.max} = \frac{GMm}{R} = mgR$, mit $GM = gR^2$

Kinetische Energie

Translation

$E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$

$m$: Masse [kg]

$v$: Geschwindigkeit [m/s]

Rotation

$E_{kin}=\frac12\cdot J\cdot \omega^2$

$J$: Trägheitsmoment

$\omega$: Winkelgeschwindigkeit

Energieerhaltungssatz der Mechanik

In einen abgeschlossenen mechanischen System gilt:

$E_{mech}=E_{pot}+E_{kin}=\text{konstant}\,$

Leistung

$\text{Leistung }P = \frac{W}{t}$

$P$: Leistung [Nm/s = J/s = W (Watt)]

$W$: Arbeit [J]

$t$: Zeit [s]

Wirkungsgrad

$\eta=\frac{W_{abgegeben}}{W_{zugef\ddot uhrt}}\cdot 100%=\frac{E_{abgegeben}}{E_{zugef\ddot uhrt}}\cdot 100%=\frac{P_{abgegeben}}{P_{zugef\ddot uhrt}}\cdot 100%<1.$

$\text{Gesamtwirkungsgrad }\eta_{ges}=\eta_1 \cdot\eta_2 \cdots\eta_n$