Formelsammlung Physik: Elektrizitätslehre

Spannung / Potential

die Spannung / das Potential und deren Einheit

$U \qquad \text{Einheit ist Volt: V} = \frac{\mathrm I}{\mathrm C}$

$\varphi \qquad \text{Einheit: V}$

Spannung zwischen zwei Punkten im E-Feld

$U_{AB} = \frac{W_{AB}}{q}$

$U_{AB} = \int\limits_{A}^{B}{\vec{E}\cdot\vec{\mathrm{d}s}}$

im homogenen Feld:

$U_{AB} = \vec{E}\cdot\vec{s}$

Potential im E-Feld

$\varphi_{A} = U_{AZ} = -\int\limits_{Z}^{A}{\vec{E}\cdot\vec{\mathrm{d}s}}$

$Z$: Bezugspunkt; $\varphi_{Z} = 0$

Stromstärke

Formelzeichen

$I\$

Einheit

Ampere

Das Ampere ist eine SI-Basiseinheit und hat daher keine Definitionsgleichung

$\mathrm{A}\$

Ladung

Formelzeichen

$Q = \int_t I(t)\mathrm{d}t\$

Einheit

Coulomb

$1\,\mathrm{C} = 1\,\mathrm{A} \cdot 1\,\mathrm{s}\$

Widerstand

Formelzeichen

$R = \frac{U}{I}$

Einheit

Ohm

$1 \Omega=\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3\cdot\mathrm{A}^2}$

Dass der Widerstand konstant ist, gilt übrigens nur bei konstanter Temperatur und metallischen Leitern! Für den Fall, dass der Widerstand sich mit der Temperatur ändert, gilt folge Gesetzmäßigkeit:

$R_\theta = R_{20} \cdot \left(1 + \alpha \cdot \Delta\theta\right)$

Der Widerstand bei einer Temperatur ist der Widerstand bei einer bekannten Temperatur multipliziert mit einem Faktor, der von einer Materialkonstante α abhängt und der Temperaturdifferenz $\Delta\theta$.

Einfacher Gleichstromkreis

elektrische Spannung U	$U = \frac{W}{Q}$	$t$ = Zeit $Q$ = elektrische Ladung $W$ = mechanische Arbeit $\vartheta$ = Temperatur $\rho =$ spezifischer elektrischer Widerstand
elektrische Strom- stärke I	$I = \frac{dQ}{dt}$ Unter der Bedingung eines stationären Stromes (I = konstant) gilt: $I = \frac{Q}{t}$
elektrischer Wider- stand R	$R = \frac{U}{I}$
elektrischer Leitwert G	$G = \frac{1}{R}$
elektrische Leistung P	$P = U \cdot I$
elektrische Arbeit W	$W = P \cdot t$
ohmsches Gesetz	Unter der Bedingung $\vartheta = \mathrm{konstant}$ gilt: $U \sim I, \frac{U}{I} = \mathrm{konstant}$
Widerstandsgesetz	$R = \frac{\rho \cdot l}{A}$
elektrische Leitfähigkeit	$\gamma = \frac{1}{\rho}$

Unverzweigter und verzweigter Gleichstromkreis

Reihenschaltung von Widerständen	Parallelschaltung von Widerständen
$I = I_1 = I_2 = \dots = I_n\$	$I = I_1 + I_2 + \dots + I_n\$
$U = U_1 + U_2 + \dots + U_n\$	$U = U_1 = U_2 = \dots = U_n\$
$R = R_1 + R_2 + \dots + R_n\$	$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}\$
Spannungsteilerregel: $\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2} \qquad \frac{U_1}{U} = \frac{R_1}{R}$	Stromteilerregel: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{R_1}{R_2} \qquad \frac{I_1}{I} = \frac{R}{R_1}$
Reihenschaltung von Spannungsquellen	Parallelschaltung von Spannungsquellen
$U = U_1 + U_2 + \dots + U_n$	Unter der Bedingung gleicher Spannungsquellen gilt: $U = U_1 = U_2 = ... = U_n$

Kondensatoren

Kapazität

die Kapazität und deren Einheit

die Kapazität ist ein Maß für die Speicherfähigkeit eines Kondensators. Ihr Symbolbuchstabe ist:

$C\$

Ihre Einheit ist das Farad:

$[C] = 1\,\mathrm{F} = \frac{\mathrm C}{\mathrm V}$

Die Einheit veranschaulicht die einfachste Berechnung der Kapazität:

$C = \frac{Q}{U}$

Kapazität einer beliebigen Ladungsverteilung

$C = \frac QU =\frac{\oint_A \varepsilon \vec{E(A)}\cdot d\vec{A}}{\int_A^B \vec{E(s)}\cdot d\vec{s}}$

Kapazität eines Plattenkondensators

$C = \varepsilon\frac{A}{d} \quad \text{mit} \quad \varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r}$

$\varepsilon$: Permittivität (Dielektrizitätszahl)

$\varepsilon_0$: elektrische Feldkonstante $= 8{,}85418782\dots\cdot10^{-12}\,\frac{\mathrm As}{\mathrm Vm}$

$\varepsilon_{\mathrm r}$: relative Permittivität (relative Dielektrizitätszahl)

Kapazität eines Zylinderkondensators

könnte z.B. ein Koax-Kabel sein

$C = \frac{2\pi\varepsilon l}{\ln{\frac{r_{\mathrm a}}{r_{\mathrm i}}}} \quad \text{mit}\quad \varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r}$

$r_\mathrm{a}$: Außenradius

$r_\mathrm{i}$: Innenradius

$l$: Zylinderlänge

Kapazität einer freistehenden Kugel

$C = 4\pi\varepsilon r \quad \text{mit} \quad \varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r}$

$r$: Kugelradius

Kapazität eines Kugelkondensators

$C = \frac{4\pi\varepsilon}{\left({\frac{1}{r_{\rm i}}-\frac{1}{r_{\rm a}}}\right)} \quad {\rm mit}\quad \varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}$

$r_\mathrm{a}$: äußerer Kugelradius

$r_\mathrm{i}$: innerer Kugelradius

Allgemein
Ladung Q im Kondensator	$Q = C \cdot U$
Energie W im Kondensator	$W = \frac{1}{2} \ C \cdot U^2$
Strom in den Kondensator	$I = C \cdot \frac{dU}{dt} \$
Laden / Entladen in Reihenschaltung
Anfangsladestrom	$I = \frac{U}{R}$
Zeitkonstante $\tau$	$\tau = R \cdot C$
Kondensatorspannung beim Ladevorgang	$u_c = U \cdot ( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} )$
Ladestrom	$i_c = \frac{U}{R} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$
Kondensatorspannung beim Entladevorgang	$u_c = U \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$
Entladestrom	$i_c = -\frac{U}{R}\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$

Reihenschaltung von Kondensatoren	Parallelschaltung von Kondensatoren
$U_g = U_1 + U_2 + \dots + U_n \$	$Q_g = Q_1 + Q_2 + \dots + Q_n \$
$\frac{1}{C_g} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n}$	$C_g = C_1 + C_2 + \dots + C_n \$
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{C_2}{C_1}$	$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{C_1}{C_2}$
Für n gleiche C $C_g = \frac{C}{n}$	Für n gleiche C $C_g = n \cdot C$

Elektrisches Feld

Anziehungskraft zweier Punktladungen

$\vec{F}\,=\,\frac{1}{4\pi\varepsilon }\,\cdot\,\frac{Q_1Q_2}{r^2}\,\cdot\,\frac{\vec{r}}{r} \qquad \mathrm{mit} \quad \varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}$

wobei

$\varepsilon\,$: Permittivität (Dielektrizitätszahl)

$\varepsilon_0\,$: elektrische Feldkonstante $=\,8{,}85418782\dots\cdot10^{-12}\,\frac{\rm As}{\rm Vm}$

$\varepsilon_{\rm r}\,$: relative Permittivität (relative Dielektrizitätszahl)

$\pi\,$: (Pi) Kreiszahl $=\,3{,}14159265\dots$

$Q_1\,,\, Q_2$: Ladungen

$\vec{r}\,$: Abstandsvektor der Ladungen

$r\,=\,|\vec{r}|\,$: Abstand der Ladungen

die elektrische Feldstärke (E-Feld) und deren Einheit

Die elektrische Feldstärke ist eine vektorielle Größe; sie hat somit ein Betrag und eine Richtung.

$\vec{E} \qquad \text{Einheit:}\,\frac{\mathrm V}{\mathrm m} \text{ bzw. } \frac{\mathrm N}{\mathrm C}$

Die Einheiten veranschaulichen die einfachste Berechnungen des E-Feldes:

$\vec{E}\,=\,\frac{\vec{F}}{q}\,=\,\frac{\mathrm{d}U}{\vec{\mathrm{d}l}}$

Feldstärke im Potenzialfeld:

$\vec E = - \operatorname{grad}(\varphi)$

E-Feld einer Punktladung

skalar:

$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon }\,\cdot\,\frac{Q}{r^2} \quad \text{mit}\quad \varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r}$

vektoriell:

$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon }\,\cdot\,\frac{Q}{r^2}\,\cdot\,\frac{\vec{r}}{r} \quad \text{mit} \quad \varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r}$

$\varepsilon_0$: Elektrische Feldkonstante $=\,8{,}85418782\dots\cdot10^{-12}\,\frac{\mathrm As}{\mathrm Vm}$

$\varepsilon_{\mathrm r}$: Dielektrizitätszahl

E-Feld eines geladenen Leiters

äußeres Feld:

skalar:

$E = \frac{Q}{2\pi\varepsilon lr}\,=\,\frac{\rho}{2\pi\varepsilon r} \quad {\rm mit} \quad \rho=\frac Ql$

vektoriell:

$\vec{E}(P) = \frac{Q}{2\pi\varepsilon l(\vec{p}\times\vec{e_l})^2}\cdot (\vec{e_l}\times(\vec{p}\times\vec{e_l})) = \frac{\rho}{2\pi\varepsilon (\vec{p}\times\vec{e_l})^2}\cdot (\vec{e_l}\times(\vec{p}\times\vec{e_l})) \quad \text{mit} \quad \vec{e_l}=\frac{\vec l}{|\vec l|},\quad \vec{p}=\vec{OP}$

inneres Feld:

Für eine Statische Ladungsverteilung muss die Summe aller Kräfte auf jede Ladung 0 sein. Da Ladungen im inneren eines Leiters frei beweglich sind gilt, darf es kein Feld geben. Diesem würde jede Ladung folgen, bis auftretende Ladungsverteilungen das Ursprungsfeld kompensieren. Das heißt, dass es keine Potentialdifferenz gibt:

$\Delta U = 0$.

$U(\vec{r})=const.$ erfüllt diese Bedingung. Wonach das Feld 0 sein muss:

$\vec{E}(\vec{r})=-\nabla U(\vec{r})=0$

Nach dem Eindeutigkeitssatz, ist dies die richtige Lösung.

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Magnetisches Feld

Lorentzkraft

$\boldsymbol F_L = q \left(\boldsymbol v \times \boldsymbol B\right)= I\,\mathbf{\ell}\times \mathbf{B}$

Elektromagnetisches Feld

Braunsche Röhre

Ablenkung im Kondensator	$y_1=\frac{1}{4} \cdot \frac{U_y}{U_A} \cdot \frac{l^2}{d}$	$U_y$ = Ablenkspannung $U_A$ = Beschleunigungsspannung $l$ = Kondensatorlänge $d$ = Plattenabstand $s$ = Abstand von Kondensator zum Schirm
Ablenkung außerhalb des Kondensator	$y_2= \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y}{U_A} \cdot \frac{l \cdot s}{d}$
Gesamte Ablenkung	$y= \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y}{U_A} \cdot \frac{l}{d}\left(\frac{l}{2} + s\right)$

Wechselstromkreis

Stromstärke i im Wech- selstromkreis	Momentanwert: $i = \hat i \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \varphi_0 \right)$ Effektivwert: $I = \frac{1}{\sqrt{2}} \ \hat i \approx 0{,}707 \ \hat i$	$\omega = 2\pi \cdot f$ $i\$ = Momentanwert $t\$ = Zeit $\hat i$ = Scheitelwert $I\$ = Effektivwert $\varphi_0$ = Phasenwinkel $u\$ = Momentanwert $\hat u$ = Scheitelwert $U\$ = Effektivwert $\cos \varphi$ = Leistungsfaktor $\varphi$ = Phasenverschiebungswinkel
Spannung u im Wech- selstromkreis	Momentanwert: $u = \hat u \cdot \sin \left( \omega \cdot t + \varphi_0 \right)$ Effektivwert: $U = \frac{1}{\sqrt{2}} \ \hat u \approx 0{,}707 \ \hat u$
Scheinleistung S	$S = U \cdot I$
Wirkleistung P	$P = U \cdot I \cdot \cos \varphi$
Blindleistung Q	$Q = U \cdot I \cdot \sin \varphi$

Widerstände im Wechselstromkreis

kapazitiver Widerstand

$X_C=\frac{1}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot C}$

$f\$ = Frequenz $C\$ = Kapazität

induktiver Widerstand

$X_L={2 \cdot \pi \cdot f \cdot L}$

$f\$ = Frequenz $L\$ = Induktivität

Transformator

$\frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2}$

$\frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1}$

$\frac{I_1}{I_2} = \frac{U_2}{U_1}$

---

$U_1$ = Spannung in der Primärspule
$U_2$ = Spannung in der Sekundärspule
$N_1$ = Windungen der Primärspule
$N_2$ = Windungen der Sekundärspule
$I_1$ = Stromstärke in der Primärspule
$I_2$ = Stromstärke in der Sekundärspule