Formelsammlung Physik: Thermodynamik 2

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[Bearbeiten] Definitionsgleichungen

$H = U + PV\,$

$G = H - TS\,$

$F = U - TS\,$

[Bearbeiten] Fundamentalgleichungen

$dU = T dS - P dV + \sum_{i=1}^{k} \mu_i dn_i$

$dH = T dS + V dP + \sum_{i=1}^{k} \mu_i dn_i$

$dG = -S dT + V dP + \sum_{i=1}^{k} \mu_i dn_i$

$dF = -S dT - P dV + \sum_{i=1}^{k} \mu_i dn_i$

[Bearbeiten] Kalorische Zustandsgröße

$C_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V$

$C_P = \left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_P$

[Bearbeiten] Maxwell-Beziehungen

$-\left( \frac{\partial P}{\partial S} \right)_V = \left( \frac{\partial T}{\partial V} \right)_S$

$\left( \frac{\partial V}{\partial S} \right)_P = \left( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_S$

$\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P = -\left( \frac{\partial S}{\partial P} \right)_T$

$\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T = \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V$

[Bearbeiten] Gibbs-Duhem-Gleichungen

Freie Enthalpie:

$0 = S dT - V dP + \sum_{i=1}^{k} \mu_i dn_i$

[Bearbeiten] Gleichgewicht und Stabilität

[Bearbeiten] Gibbs-Phasenregel

$\text{Freiheitsgrade} = \text{Komponenten}+ 2 - \text{Phasen} \,$

[Bearbeiten] Guggenheim-Quadrat

[Bearbeiten] Clausius-Clapeyron

$\frac{dP^{LV}}{dT} = \frac{\Delta S^{LV}}{\Delta V^{LV}} = \frac{\Delta H^{LV}}{T \Delta V^{LV}}$

[Bearbeiten] August-Gleichung

$\ln P^{LV} = A - \frac{B}{T}$

[Bearbeiten] Antoine-Gleichung

$\ln P^{LV} = A - \frac{B}{T + C}$

[Bearbeiten] Gibbs-Helmholtz-Gleichung

$\left( \frac{\partial \frac{G}{T}}{\partial T} \right)=-\frac{H}{T^2}$

[Bearbeiten] Fugazitätskoeffizient

Definition:

$\varphi_{0,i} = \frac{f_{0,i}(T,P)}{P}$ mit $\lim_{P\to\infty} f_{0,i}(T,P) = P$ und $\lim_{P\to\infty} \varphi_{0,i}(T,P) = 1$

Reine Komponenten:

$\ln \varphi_{0,i}(T,P) = \int_0^P \frac{z-1}{P} dP$

$\ln \varphi_{0,i}(T,P) = z - 1 - \ln z + \int_V^{\infty} \frac{z-1}{V} dV$

Mischungen:

$\ln \varphi_{i}(T,P) = \int_0^P \left( \frac{v_i}{RT} - \frac{1}{P} \right) dP$

$\ln \varphi_{i}(T,P) = \int_V^{\infty} \left( -\frac{1}{RT} \left( \frac{\partial P}{\partial n_i} \right)_{T,V,{n \neq j}} + \frac{1}{V} \right) dV - \ln z$

[Bearbeiten] Virialgleichung

Leidenform:

$z = \frac{Pv}{RT} = 1 + B(T) \rho + C(T) \rho^2 + ... = 1 + \frac{B(T)}{v} + \frac{C(T)}{v^2} + ...$

Berlinform:

$z = \frac{Pv}{RT} = 1 + B'(T) P + C'(T) P^2 + ...$

Umrechnungsformel:

$B'\approx\frac{B}{RT}$

$C'\approx\frac{C-B^2}{{(R_0 T)}^2}$

[Bearbeiten] Boyle-Temperatur

Bei Boyle-Temperatur ist das PVT-Verhalten ideal.

$B(T^B) = 0\,$

[Bearbeiten] van der Waals

Allgemein:

$\left( P + \frac{a}{v^2} \right) \left( v - b \right) = RT$

nach Druck P:

$P = \frac{RT}{v-b} - \frac{a}{v^2}$

nach z:

$z = \frac{Pv}{RT} = \frac{v}{v-b} - \frac{a}{vRT}$

Generalisierten Form:

$\left[ \frac{P}{P_{kr}} + 3 \left( \frac{v_{kr}}{v} \right)^2 \right] \left[ 3 \frac{v}{v_{kr}} - 1\right] = 8 \frac{T}{T_{kr}}$ mit $v_{kr} = 3b\,$ , $T_{kr}=\frac{8a}{27bR}$ und $P_{kr} = \frac{a}{27b^2}$

Reduzierte Form:

$\left( P_r + \frac{3}{v_r^2} \right) \left( 3 v_r - 1 \right) = 8 T_r$ mit $v_r = \frac{v}{v_{kr}}$ , $T_r = \frac{T}{T_{kr}}$ und $P_r = \frac{P}{P_{kr}}$