Ing Mathematik: Aussagen und Aussagenverknüpfung

Aus Wikibooks

Wechseln zu: Navigation, Suche

Zurück zu Einleitung |

Hoch zu Gesamtinhaltsverzeichnis |

Vor zu Logisches Schließen

[Bearbeiten] Aussagen

Aussage: Eine Aussage ist ein Satz in einer natürlicher oder artifiziellen Sprache, der von seinem Inhalt her entweder wahr oder falsch ist.

Beispiele für Aussagen:

München ist die Hauptstadt von Polen.
Die Zahl 4 ist durch 2 teilbar.
Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper.

Keine Aussagen sind:

Dubbl Dibbl Dum. (kein Satz, sinnlose Wortzusammenstellung)
Regnet es jetzt? (Frage)
Mathematik ist sinnlos. (individuelle Meinungsäußerung)
Der Barbier von Sevilla rasiert alle Männer von Sevilla, nur nicht die, die sich selbst rasieren. (Antinomie, Widerspruch)

W (wahr) und F (falsch) werden als Wahrheitswerte einer Aussage bezeichnet. Wahrheitswerte sind logische Konstanten.

[Bearbeiten] Aussageform

Aussageform: Der Ausdruck $A\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)$ heißt Aussageform, wenn bei jeder Substitution der Variablen $x_{1},\ldots,x_{n}$ durch Aussagen $A_{1},\ldots,A_{n}$ der Ausdruck A in eine Aussage, egal ob wahr oder falsch, übergeht.

[Bearbeiten] Aussagenverknüpfung

Es seien A und B Aussagen.

[Bearbeiten] Negation

Die Negation wird auch als Komplement, logisches NICHT oder non bezeichnet.

Schreibweise: $\neg A$

Bedeutung: NICHT A

Wahrheitstafel:

A	$\neg$ A
W	F
F	W

Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

$\neg A$ : 4 ist keine Primzahl. (W)

[Bearbeiten] Konjunktion

Die Konjunktion wird auch als logisches Produkt, logisches UND oder et bezeichnet.

Schreibweise: $A\wedge B$

Bedeutung: A UND B

Wahrheitstafel:

A	B	A $\wedge$ B
W	W	W
W	F	F
F	W	F
F	F	F

Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

$A\wedge B$ : 4 ist eine Primzahl und durch 2 teilbar. (F)

Übung: Stellen sie die Wahrheitstafel für die Aussageverknüpfung $A\wedge(\neg B)$ auf.

[Bearbeiten] Disjunktion

Die Disjunktion wird auch als Alternative, logische Addition, logisches ODER oder vel bezeichnet.

Schreibweise: $A\vee B$

Bedeutung: A ODER B

Wahrheitstafel:

A	B	A $\vee$ B
W	W	W
W	F	W
F	W	W
F	F	F

Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

$A\vee B$ : 4 ist eine Primzahl oder 4 ist durch 2 teilbar. (W)

Übung: Stellen sie die Wahrheitstafel für die Aussageverknüpfung $A\wedge(A\vee B)$ auf.

[Bearbeiten] Antivalenz

Die Antivalenz wird auch als ausschließendes ODER, exklusives ODER oder aut bezeichnet.

Schreibweise: $A\oplus B$

Bedeutung: ENTWEDER A ODER B

Wahrheitstafel:

A	B	A $\oplus$ B
W	W	F
W	F	W
F	W	W
F	F	F

Beispiel:

A: 3 ist eine Primzahl. (W)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

$A\oplus B$ : Entweder ist 3 eine Primzahl oder 4 ist durch 2 teilbar. (F)

[Bearbeiten] Subjunktion

Schreibweise: $A\rightarrow B$

Bedeutung: WENN A DANN B

Wahrheitstafel:

A	B	A $\rightarrow$ B
W	W	W
W	F	F
F	W	W
F	F	W

Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

$A\rightarrow B$ : Wenn 4 eine Primzahl ist, dann ist 4 durch 2 teilbar. (W)

Übung: Stellen sie die Wahrheitstafel für die Aussageverknüpfung $\neg(A\rightarrow B)$ auf.

[Bearbeiten] Bijunktion

Schreibweise: $A \leftrightarrow B$

Bedeutung: A GENAU DANN, WENN B

Wahrheitstafel:

A	B	A $\leftrightarrow$ B
W	W	W
W	F	F
F	W	F
F	F	W

Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

$A\leftrightarrow B$ : 4 ist genau dann eine Primzahl, wenn 4 durch 2 teilbar ist. (F)

Übung: Stellen sie die Wahrheitstafel für die Aussageverknüpfung $\neg(A\leftrightarrow B)\wedge A$ auf.

[Bearbeiten] Wichtige Rechenregeln

[Bearbeiten] Prioritätsregeln

$\neg$ bindet stärker als $\vee$ und $\wedge$
$\vee$ und $\wedge$ sind gleichberechtigt und binden stärker als $\rightarrow$
$\rightarrow$ bindet stärker als $\leftrightarrow$

[Bearbeiten] Doppelte Negation

$\neg\neg A = A$

[Bearbeiten] Assoziativgesetze

$A\wedge\left(B\wedge C\right)=\left(A\wedge B\right)\wedge C$

$A\vee\left(B\vee C\right)=\left(A\vee B\right)\vee C$

[Bearbeiten] Kommutativgesetze

$A\wedge B=B\wedge A$

$A\vee B=B\vee A$

[Bearbeiten] Distributivgesetze

$A\wedge\left(B\vee C\right)=\left(A\wedge B\right)\vee\left(A\wedge C\right)$

$A\vee\left(B\wedge C\right)=\left(A\vee B\right)\wedge\left(A\vee C\right)$

[Bearbeiten] Idempotenzgesetze

$A\wedge A=A$

$A\vee A=A$

[Bearbeiten] Absorptionsgesetze

$A\wedge\left(A\vee B\right)=A$

$A\vee\left(A\wedge B\right)=A$

[Bearbeiten] De Morgansche Regeln

$\neg\left(A\wedge B\right)=\neg A\vee\neg B$

$\neg\left(A\vee B\right)=\neg A\wedge\neg B$

[Bearbeiten] Kontraposition

$A\rightarrow B=\neg B\rightarrow\neg A$

[Bearbeiten] Weitere Regeln

$A\rightarrow B=\neg A\vee B$

$A\leftrightarrow B=\left(A\rightarrow B\right)\wedge\left(B\rightarrow A\right)$

Übungen:

Beweisen Sie das Kontrapositionsgesetz mit Hilfe der Wahrheitstafel.
Beweisen Sie eines der Absorptionsgesetze mit Hilfe der Wahrheitstafel.
Vereinfachen Sie schrittweise $\neg(\neg a\wedge\neg b)$ zu $a\vee b$
Wie lässt sich die Bijunktion allein durch Negation und Disjunktion ausdrücken?

[Bearbeiten] Anti-Konjunktion

Die Anti-Konjunktion wird auch als Sheffersche Funktion oder NAND bezeichnet.

Schreibweise: $A\mid B$

Bedeutung: NICHT (A UND B)

Wahrheitstafel:

A	B	A $\mid$ B
W	W	F
W	F	W
F	W	W
F	F	W

Übung: Zeigen Sie, dass sich die Negation und die Konjunktion allein durch die Anti-Konjunktion darstellen lassen.

[Bearbeiten] Anti-Disjunktion

Die Anti-Disjunktion wird auch als Nicodsche Funktion oder NOR bezeichnet.

Schreibweise: $A\downarrow B$

Bedeutung: NICHT (A ODER B)

Wahrheitstafel:

A	B	A $\downarrow$ B
W	W	F
W	F	F
F	W	F
F	F	W

Übung: Zeigen sie, dass sich die Negation und die Disjunktion allein durch die Anti-Disjunktion darstellen lassen.

[Bearbeiten] Tautologie und Kontradiktion

Tautologie und Kontradiktion: Ein aussagenlogischer Ausdruck heißt allgemeingültig oder Tautologie, wenn er für jede Variablenbelegung mit Wahrheitswerten wahr ist. Man nennt ihn ungültig oder Kontradiktion, wenn er für jede Variablenbelegung falsch ist.

Beispiel 1:

$A\vee\neg A$

A	$\neg$ A	A $\vee\neg$ A
W	F	W
F	W	W

Der aussagenlogische Ausdruck $A\vee\neg A$ ist für jede Belegung seiner Variablen immer wahr, der Ausdruck ist eine Tautologie.

Beispiel 2:

$A\wedge\neg A$

A	$\neg$ A	A $\wedge\neg$ A
W	F	F
F	W	F

Der aussagenlogische Ausdruck $A\wedge\neg A$ ist für jede Belegung seiner Variablen immer falsch, der Ausdruck ist also eine Kontradiktion.

[Bearbeiten] Implikation

Ist die Subjunktion A $\rightarrow$ B eine Tautologie, so nennen wir sie Implikation oder Folgerung.

Schreibweise: $A\Rightarrow B$

Bedeutung: A IMPLIZIERT B oder AUS A FOLGT B

[Bearbeiten] Äquivalenz

Ist die Bijunktion A $\leftrightarrow$ B eine Tautologie, so nennen wir sie Äquivalenz.

Schreibweise: $A\Leftrightarrow B$

Bedeutung: A IST ÄQUIVALENT ZU B

A und B sind dann äquivalent, wenn sie die gleichen Wahrheitswerte liefern.

[Bearbeiten] Normalformen

[Bearbeiten] Konjunktive Normalform

[Bearbeiten] Disjunktive Normalform

Zurück zu Einleitung |

Hoch zu Gesamtinhaltsverzeichnis |

Vor zu Logisches Schließen

Ing Mathematik: Aussagen und Aussagenverknüpfung

Aus Wikibooks

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Aussagen

[Bearbeiten] Aussageform

[Bearbeiten] Aussagenverknüpfung

[Bearbeiten] Negation

[Bearbeiten] Konjunktion

[Bearbeiten] Disjunktion

[Bearbeiten] Antivalenz

[Bearbeiten] Subjunktion

[Bearbeiten] Bijunktion

[Bearbeiten] Wichtige Rechenregeln

[Bearbeiten] Prioritätsregeln

[Bearbeiten] Doppelte Negation

[Bearbeiten] Assoziativgesetze

[Bearbeiten] Kommutativgesetze

[Bearbeiten] Distributivgesetze

[Bearbeiten] Idempotenzgesetze

[Bearbeiten] Absorptionsgesetze

[Bearbeiten] De Morgansche Regeln

[Bearbeiten] Kontraposition

[Bearbeiten] Weitere Regeln

[Bearbeiten] Anti-Konjunktion

[Bearbeiten] Anti-Disjunktion

[Bearbeiten] Tautologie und Kontradiktion

[Bearbeiten] Implikation

[Bearbeiten] Äquivalenz

[Bearbeiten] Normalformen

[Bearbeiten] Konjunktive Normalform

[Bearbeiten] Disjunktive Normalform

Ansichten

Persönliche Werkzeuge

Navigation

Suche

Mitmachen

Werkzeuge

Drucken/exportieren