Komplexe Zahlen: Übungen

Aus Wikibooks

Wechseln zu: Navigation, Suche
Nuvola apps bookcase 1.svg Komplexe Zahlen

Zur Selbstkontrolle will ich Ihnen einige Aufgaben anbieten, deren Lösungam Ende der Seite zu finden sind.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Die Aufgaben

[Bearbeiten] 1. Aufgabe

Zeige, dass

z=\frac{3i^{30}-i^{19}}{2i-1}=1+i

[Bearbeiten] 2. Aufgabe

Sei

z=-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i

Zeige, dass

(\bar{z})^4 = -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i

[Bearbeiten] 3. Aufgabe

Gegeben sin die beiden komplexen Zahlen

z_1 = 0-3i \;\text{und}\;z_2=7+3i.

Welche Form haben diese Zahlen in Polarkoordinaten?

[Bearbeiten] 4. Aufgabe

Berechne die dritten Wurzeln von

8\cdot(\cos 35^\circ+\mathrm i\sin35^\circ)

(Moivresche Formel!)

[Bearbeiten] Lösungen

Lösung der 1. Aufgabe
\begin{matrix} \frac{3i^{30}-i^{19}}{2i-1}&=&\frac{3(i^2)^{15}-(i^2)^9i}{2i-1}\\ &=&\frac{3(-1)^{15}-(-1)^9i}{-1+2i}\\ &=&\frac{-3+i}{-1+2i}\cdot \frac{-1-2i}{-1-2i}\\ &=&\frac{3+6i-i-2i^2}{1-4i^2}\\ &=&\frac{5+5i}{5}\\ &=& 1+i \end{matrix}


Lösung der 2. Aufgabe
\begin{matrix}(\bar{z})^4& = &\left(\;\overline {-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}\;\right)^4\\ &=&(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^4\\ &=&[(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2]^2\\ &=&[\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}i+\frac{3}{4}i^2]^2\\ &=&(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2\\ &=&\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}i+\frac{3}{4}i^2\\ &=&-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{matrix}


Lösung der 3. Aufgabe
z_1 = -3i; \quad r_1 = |0 -3i|=\sqrt{0+9}=3
\theta = 270^\circ=\frac{3\pi}{2}\;\text{Rad}
\Rightarrow \quad z_1 = 3\left(\cos{\frac{3\pi}{2}}+i\sin{\frac{3\pi}{2}}\right)


z_2 = 7 + 3i; \quad r_2 = \sqrt{49+9} = 7{,}62
\tan{\theta}=\frac{3}{7};\quad \theta = 23{,}1^\circ= 0{,}40\; \text{Rad}
\Rightarrow \quad z_2 = 7{,}62(\cos{0{,}40} + i \sin{0,40})


Lösung der 4. Aufgabe
\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{r}\cdot\left[\cos\left(\frac{\phi+2k\pi}3\right)+\mathrm i\sin\left(\frac{\phi+2k\pi}3\right)\right] für k = 0,1,2
=2\cdot\left[\cos\left(\frac{35^\circ+2k\pi}3\right)+\mathrm i\sin\left(\frac{35^\circ+2k\pi}3\right)\right]

Für k = 0:

2\cdot\left(\cos\frac{35^\circ}3+\mathrm i\sin\frac{35^\circ}3\right)

Für k = 1: (2\pi \text{ entsprechen }360^\circ)

2\cdot\left(\cos\frac{35^\circ+2\pi}3+\mathrm i\sin\frac{35^\circ+2\pi}3\right)=2\cdot\left(\cos\frac{35^\circ+360^\circ}3+\mathrm i\sin\frac{35^\circ+360^\circ}3\right)=2\cdot\left(\cos\frac{395^\circ}3+\mathrm i\sin\frac{395^\circ}3\right)

Für k = 2

2\cdot\left(\cos\frac{35^\circ+4\pi}3+\mathrm i\sin\frac{35^\circ+4\pi}3\right)=2\cdot\left(\cos\frac{755^\circ}3+\mathrm i\sin\frac{755^\circ}3\right)
Von „http://de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen:_%C3%9Cbungen“
Persönliche Werkzeuge