Komplexe Zahlen: Anwendung

Aus Wikibooks

Wechseln zu: Navigation, Suche
Nuvola apps bookcase 1.svg Komplexe Zahlen

Anwendungen komplexer Zahlen in Physik und Technik

[Bearbeiten] Einfache Schwingungen

Komplexe Zahlen finden zahlreiche Anwendungen in Physik und Technik. Beispielsweise können wir die Position eines Masse-Punktes, der sich auf einer Kreisbahn bewegt, in jedem Augenblick t durch den „Vektor“ z = z(t)angeben. Ist die Bewegung gleichförmig, so ist die Winkelgeschwindigkeit ω konstant:

\frac{d\theta}{dt} = \omega = \text{konstant}

Der in der Zeit t überstrichene Winkel ist dann gegeben durch \theta = \omega t + \theta_0\!

θ0 ist der Winkel zur Zeit t = 0.

Diese Kreisbewegung wird dann vollständig beschrieben durch

z(t) = |z| \left[\cos{(\omega t +\theta_0)}+i\sin{(\omega t + \theta_0)}\right ]

oder

z(t)=|z|e^{i(\omega t+\theta_0)}

Die momentane Position ist also das Produkt zweier komplexer Zahlen:

z(t) = z_0e^{i\omega t} \quad \text{mit} \; z_0 = |z|e^{i\theta_0}; \quad |z_0| = |z|


Natürlich gilt außerdem e^{i\omega t} = \cos{\omega t}+i\sin{\omega t}\!

Man nennt z0 die komplexe Amplitude, sie gibt die Position zur Zeit t = 0 an.

Man kann die Kreisbewegung als Überlagerung der beiden Schwingungen

x = a\cos{(\omega t+\theta_0)}\!
y = a\cos{(\omega t+\theta_0 + \delta)}\!

auffassen. (Ob man eine Schwingung durch cos oder sin darstellt, ist Geschmacksache, denn mit \cos{\omega t} = \sin{(\omega t +\alpha)}\! kann man leicht von einer Darstellung zur anderen übergehen. Wir entscheiden uns für cos, weil dies dem Realteil der zugehörigen komplexen Zahl entspricht.) Die resultierende Schwingung ist einfach z = x + iy.

Für δ = π/2 ergibt sich eine rechtszirkulare Bewegung, für δ = 3π/2 erhalten wir den vorhin betrachteten Fall einer linkszirkularen Bewegung. Um das einzusehen, rechnen wir die Formeln einfach aus.

δ = π/2

z=a\left[\cos{(\omega t+\theta_0)}+i\cos{(\omega t+\theta_0+\pi/2)}\right], mit |z0| = a

Da \cos{(\alpha + \pi/2)} = -\sin{\alpha}\!, können wir schreiben:

z=a\left[\cos{(\omega t+\theta_0)}-i\sin{(\omega t+\theta_0)}\right]

oder

z = z_0 e^{-\omega t}\!

Dies ist eine rechtszirkulare Bewegung mit |z0| = a.


δ = 3π/2

Wegen \cos{(\alpha + 3\pi/2)} = +\sin{\alpha}\!, können wir schreiben z = z_0 e^{+i\omega t}\!.

Dies ist der vorhin betrachtete Fall einer linkszirkularen Bewegung.


Der Vorteil der komplexen Beschreibung von Bewegungsvorgängen zeigt sich vor allem bei der Überlagerung von Bewegungen (Schwingungen), da man dann die umständlichen Additionstheoreme umgeht. Wir wollen uns davon jetzt überzeugen.


Überlagerung von Schwingungen.


Um die Rechenvorteile der komplexen Rechnung auszunutzen, schreibt man auch lineare Schwingungen, wie x = a\cos{(\omega t +\theta_0)}\!, in komplexer Form.

Um das zu ermöglichen, ergänzt man sie mit y = a\sin{(\omega t +\theta_0)}\! zu einer linkszirkularen Schwingung:

z=x+iy=a\left[\cos{(\omega t+\theta_0)}+i\sin{(\omega t+\theta_0)}\right]= a e^{i(\omega t+\theta_0)},

wofür wir schreiben können z = z_0 e^{+i\omega t}\!.

Alle Rechnungen werden komplex durchgeführt, die resultierende Schwingung ist der Realteil des komplexen Resultates. (Meist überlagert man Schwingungen gleicher Frequenz. Es ist dann unnötig, stets den Zeitfaktor eiωt hinzuschreiben. Man rechnet demnach meist nur mit z0.)

Hier ist ein Beispiel:

z0 = 7 +3i und |z_0| = \sqrt{49+9} = 7{,}62.

\tan {\theta_0 = 3/7}\!
\theta_0 = \tan^{-1}{(3/7)} = 23{,}1^\circ = 0{,}40 \mathrm{rad}\!

Die durch z0 = 7 +3i dargestellte Schwingung lautet also

x = 7,62cos(ωt + 0,40)

Die Phase \theta_0\! muss stets im Bogenmaß angegeben werden, da \omega t \! dimensionslos ist.

Den wirklichen Vorteil der komplexen Rechnung werden wir jetzt sehen, wenn wir zwei Schwingungen von gleicher Frequenz und gleicher Richtung überlagern.

Die beiden Schwingungen lauten

x_1=a_1\cos{(\omega t + \theta_1)}\! und
x_2=a_2\cos{(\omega t + \theta_2)}\!

Die Summe x=x_1+x_2\! werden wir jetzt nicht umständlich mit Hilfe von Additionstheoremen berechnen. Wir rechnen komplex.

x_1 \to z_1=z_{0,1}e^{i\omega t}, \quad \text{mit}\; z_{0,1}=a_1e^{i\theta_1}
x_2 \to z_2=z_{0,2}e^{i\omega t}, \quad \text{mit}\; z_{0,2}=a_2e^{i\theta_2}

Die resultierende 'Schwingung lautet

z=z_1+z_2=(a_1e^{i\theta_1}+a_2e^{i\theta_2})\cdot e^{i\omega t}:=z_0 e^{i\omega t}

Hier ist z_0=a_1e^{i\theta_1} + a_2e^{i\theta_2}, was man auch sofort hätte anschreiben können.

Nun ist

a_1e^{i\theta_1}=a_1\cos{\theta_1}+ia_1\sin{\theta_1}\!, und
a_2e^{i\theta_2}=a_2\cos{\theta_2}+ia_2\sin{\theta_2}\!,

und das bedeutet:

z_0=(a_1\cos{\theta_1}+a_2\cos{\theta_2})+i(a_1\sin{\theta_1}+a_2\sin{\theta_2}):= C + i S\!

Die Amplitude der resultierenden Schwingung ist

|z_0|=\sqrt{C^2+S^2}

Hierin bedeuten (C für cos-Terme, S für sin-Terme):

C = a_1\cos{\theta_1}+a_2\cos{\theta_2}\!
S = a_1\sin{\theta_1}+a_2\sin{\theta_2}\!


Die Phase ergibt sich aus \tan{\theta_0}=\frac{S}{C}.

Die resultierende Schwingung x =|z_0|\cos{(\omega t +\theta_0)}\! hat dieselbe Richtung und dieselbe Frequenz wie die Ausgangsschwingungen.

[Bearbeiten] Wechselstromrechnungen

In der Wechselstromtechnik ist die Verwendung komplexer Größen schon sehr lange von besonderer Wichtigkeit. Schauen wir uns den Fall der komplexen Widerstände an. Eine Wechselspannung hat den reellen Momentanwert

u = U \cos(\omega t +\phi);\quad\; U = \text{Scheitelspannung}

Um die reellen von den komplexen Größen zu unterscheiden, bezeichnen wir letztere mit einem Vektorpfeil:\vec{u} usw. Die komplexe Form der Spannung ist also

\vec{u} = \vec {U} e^{i\omega t}\, \quad \text{mit}\; \vec{U} = Ue^{i\phi}

Ein Wechselstrom hat den reellen Momentanwert

j = J \cos(\omega t +\psi);\quad\; J = \text{Scheitelstrom}

Der komplexe Momentanwert ist

\vec{j} = \vec {J} e^{i\omega t}\, \quad \text{mit}\; \vec{J} = Je^{i\psi}

Wegen der Existenz der Phasen φ und ψ ist der Quotient

\frac{u}{j} = \frac {U}{J} \frac{\cos(\omega t + \phi)}{\cos(\omega t + \psi)}

i. a. zeitabhängig, d. h. das Ohmsche Gesetz des Gleichstroms gilt nicht mehr. Nur wenn φ = ψ ist, gilt

r:= \frac{u}{j} = \frac{U}{J}

Ein Widerstand, der auch bei Wechselstrom dem Ohmschen Gesetz genügt, heißt reeller Widerstand oder Ohmscher Widerstand. Bei Wechselstrom definiert man analog zum Ohmschen Gesetz des Gleichstroms einen komplexen Widerstand \vec{R}, der Impedanz genannt wird. Er ist definiert durch

\vec{R}=\frac{\vec{U}}{\vec{J}} = \frac{Ue^{i\phi}}{Je^{i\psi}}=\frac{U}{J}e^{i(\phi -\psi)}:= R e^{i(\phi-\psi)}

R = U/J = Quotient der Scheitelwerte heißt Scheinwiderstand.

(Messinstrumente sind auf Effektivwerte geeicht: U_\mathrm{eff} = \frac{U}{\sqrt{2}} \quad \text{und} \; J_\mathrm{eff}=\frac{J}{\sqrt{2}})

Offenbar ist

\vec{R} = Re^{i(\phi-\psi)} = R \left[\cos{(\phi - \psi)}+i\sin{(\phi -\psi)}\right]:= R_\mathrm{W} +i R_\mathrm{B}

Hierin bedeutet R_\mathrm{W} = R\cos{(\phi - \psi)}\! den Wirkwiderstand (Resistanz). Falls die Phasen übereinstimmen, wenn es also keine Phasenverschiebung gibt, gilt RW = R := r. R_\mathrm{B} = R\sin{(\phi - \psi)}\! ist der Blindwiderstand (Reaktanz.)

Der Betrag des Wechselstromwiderstandes ist gegeben durch R = \sqrt{{R_\mathrm{W}}^2 + {R_\mathrm{B}}^2}.

Für den Tangens der Phasenverschiebung ergibt sich \tan{(\phi - \psi)} := \tan{\Phi} = \frac{R_\mathrm{B}}{R_\mathrm{W}}


In einer idealen Spule eilt die Spannung dem Strom um π/2 voraus, d. h. Φ = π/2.

Bei einem idealen Kondensator hinkt die Spannung dem Strom um π/2 hinterher, d. h. Φ = -π/2.

Bei einer wirklichen Spule wird auch etwas Leistung verbraucht, daher ist Φ nicht gleich π/2, es gilt vielmehr Φ = π/2 - δL. Man nennt δL den Verlustwinkel (er wird gewöhnlich mit einer speziellen Wechselstrombrücke gemessen). Beim wirklichen Kondensator gilt Φ = -(π/2 - δC).


[Bearbeiten] Erzwungene Schwingungen

Die Grundgleichung für Resonanzprobleme in den verschiedensten Bereichen der Physik können wir von einem einfachen mechanischen Modell ableiten.

Ein Feder-Masse-System schwingt unter dem Einfluss einer periodisch erregenden Kraft auf einer horizontalen Unterlage.

Wir sehen in der Abbildung eine Masse m, die von einer äußeren Kraft zu erzwungenen Schwingungen angeregt wird. Die Reibungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit v, der Proportionalitätsfaktor b heißt Dämpfungskoeffizient. Der Faktor k ist die Federkonstante.

Wendet man das 2. Newtonsche Gesetz auf den Oszillator an, so kann man schreiben

m \ddot x + k x + b \dot x = F_0\cos{\omega t}\qquad (1)

Gesucht ist demnach eine Funktion x(t), die diese Gleichung erfüllt. Der hier anzuwendende Trick besteht darin, zunächst anstelle von x eine komplexe Funktion z(t) = x(t) + i y(t) einzuführen. Das bedeutet, wir benutzen eine Hilfsgleichung mit y(t), multiplizieren sie mit i und addieren sie zu Gleichung (1). Also:

m \ddot y + k y + b \dot y = F_0\sin{\omega t}\qquad (2),

was uns zu der folgenden Gleichung für z(t) führt

m \ddot z + k z + b \dot z = F_0 e^{i\omega t} \qquad (3)

Wir werden also zunächst nicht Gl. (1) lösen, sondern Gl. (3), was i.a. leichter ist. Zum Schluss nehmen wir dann den Realteil der gefundenen Lösung, denn der ist das, was uns interessiert.

(Wenn die Kraft in der Form F_0 = \cos{(\omega t + \alpha)}\! gegeben ist, haben wir auf der rechten Seite von Gl.(3) zu schreiben: \hat F_0 e^{i \omega t}, worin die komplexe Amplitude durch \hat F_0 = F_0 e^{i \alpha} gegeben ist.)

Wir nehmen jetzt an, was, wie man zeigen kann, ein vernünftiger Ansatz ist, dass die Lösung von Gl. (3) folgendermaßen aussieht:

z = z_0 e^{i \omega t}\qquad (4)

Diesen Ansatz setzen wir in Gl. (3) ein, und wir erhalten

z_0 = \frac{F_0}{(k-m {\omega}^2 + i b\omega)}= \frac{F_0}{(m({\omega_0}^2-{\omega}^2) + ib\omega)}\qquad (5)

(Die Ableitung von z=z_0 e^{i\omega t}\! ist \frac{dz}{dt} =i \omega z_0 e^{i \omega t}, die zweite Ableitung ist \frac{d^2 z}{dt^2}=-\omega^2 z_0 e^{i\omega t})

Den Nenner von z0 können wir wie jede komplexe Größe in Exponentialform ausdrücken

m(\omega_0^2-\omega^2)+ib\omega={\sqrt{m^2(\omega_0^2-\omega^2)^2+b^2\omega^2}}\,e^{i\theta} \qquad (6)

mit

\theta = \arctan{\frac{b\omega}{(\omega_0^2-\omega^2)}}\qquad (7)

Wir erhalten damit die Amplitude

A_0=\frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega_0^2-\omega^2)^2+b^2\omega^2}} \qquad (8)

Mit diesem Resultat können wir dann schreiben

z_0 = A_0 e^{-i\theta}\qquad (9)

und Gleichung (4) wird zu

z =A_0 e^{i(\omega t -\theta)} \qquad (10)

Die Lösung, an der wir interessiert sind, ist der Realteil von (10), d.h.

x= A_0 \cos{(\omega t - \theta)} \qquad (11)

Um die allgemeine Lösung von Gleichung (1) zu finden, müssen wir zu Gleichung (11) die allgemeine Lösung von

m \ddot x + k x + b \dot x = 0\!

hinzufügen. An dieser Lösung ist man i.a. jedoch nicht interessiert, denn mit ihrer Hilfe beschreibt man einen Einschwingvorgang, der meist schnell vorübergeht. Die von Gleichung (11) dargestellte Schwingung beschreibt den sogenannten stationären Schwingungszustand, d.h. die Schwingung, die übrig bleibt, wenn er Einschwingvorgang abgeklungen ist.

Von „http://de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen:_Anwendung“
Persönliche Werkzeuge