Komplexe Zahlen: Darstellung

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Wir haben gesehen, dass es für die quadratischen Gleichungen sinnvoll wurde, Wurzeln negativer Zahlen zu definieren. Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit weiteren Darstellungen und grundlegenden Rechnungen mit den komplexen Zahlen.

Inhaltsverzeichnis

1 Darstellung komplexer Zahlen
2 Rechnen mit komplexen Zahlen

[Bearbeiten] Darstellung komplexer Zahlen

Die Zahl z = x + y i ist vollständig bestimmt, wenn wir x und y kennen. Wir können also z = (x, y) schreiben, wenn wir vereinbaren, darunter die komplexe Zahl z = x + y i zu verstehen. Zur Veranschaulichung des Zahlenpaares z = (x, y), das unsere komplexe Zahl z = x + y i darstellt, wählen wir ein kartesisches Koordinatensystem.

Die komplexe Zahl z = (x,y) wird als Pfeil dargestellt.

Die Koordinaten des Pfeiles sind:

$x=r\cos{ \theta},\; y=r\sin {\theta}$ . r = |z|.

Wir reden entweder vom Punkt (x, y) oder vom Vektor z. Man hat sich angewöhnt, den Betrag oder Modul von z mit r zu bezeichnen, also |z| = r. Die Darstellung als geordnetes Zahlenpaar nimmt z das „Imaginäre“, da wir nur reelle Zahlen verwenden.

Eine andere eindeutige Bestimmung von z ist durch die Angabe von Winkel θ und Modul r möglich, d. h.:

z = (r,θ)

Wir müssen aber vorsichtig sein. Damit die Zuordnung eindeutig ist, müssen wir dem Winkel eine Orientierung geben. Wir sprechen daher lieber von Phase oder Argument, wenn wir θ meinen. Außerdem nennt man z = (r,θ) eine Darstellung von z in Polarkoordinaten.

Der Pfeil (Vektor) z erreicht dieselbe Lage für

θ ± 2π, θ ± 4π, θ ± 6π... allgemein:

(r,θ)= (r, θ + 2kπ), k = 0, ± 1, ± 2 ...

Eine Verbindung zwischen beiden Darstellungen erhalten wir mit Hilfe der beiden Gleichungen

$x=r\cos{\theta}\!$

$y=r\sin{\theta}\!$

also:

$z=x+yi=r(\cos{\theta}+ i \sin{\theta})\!$

[Bearbeiten] Beispiele

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Wir wollen z = -1 -i in Polarform ausdrücken. Damit wir eine Vorstellung von θ erhalten, fertigen wir folgende Zeichnung an:

Darstellung der komplexen Zahl z = -1 -i

Wir haben x = -1, y = -1 und $r = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$

$\tan {\theta} = \frac{y}{x} = 1$ liefert die Werte θ = π/4 und θ = 5π/4.

Aus der Zeichnung ersehen wir, dass nur θ = 5π/4 als Argument in Frage kommt. Wir haben demnach

$z=-1-i = \sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right)\right]$

oder wenn wir uns auf den Hauptwert θ beschränken

$z=-1-i = \sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)+i\sin \left(\frac{5\pi}{4}\right)\right]$

Hier sind noch einige Beispiele:

$z = 2 + 2\sqrt{3}i$ ;

$|z| = r = |2 + 2\sqrt{3}i| = \sqrt{4+12} = 4$

Phase:

$\theta = \sin^{-1}{\frac{y}{r}} = \sin^{-1}{\frac{2\sqrt{3}}{4}} = \sin^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

Es ergibt sich also

$z = 4\left(\cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}}\right)$

Die geometrische Darstellung der Zahl z ist also ein Pfeil der Länge 4 unter 60º im ersten Quadranten.

Betrachten wir nun die Zahl z = -5 +5i. Ihr Modul ist r = 5(2^½)

$\theta=180^\circ-45^\circ=135^\circ=\frac{3{\pi}}{4}$

Ergebnis:

$z=5\sqrt{2}\left(\cos{135^\circ}+i\sin{135^\circ}\right)$

Der zu z gehörende Vektorpfeil liegt im 2. Quadranten.

Die komplexe Zahl $z =-\sqrt{6}-i\sqrt{2}$ liegt im 3. Quadranten und hat die Polarform

$z=2\sqrt{2}\left(\cos{210^\circ}+i\sin{210^\circ}\right)$

Für z = 0 -3i ergibt sich r = 3 und $\theta =270^\circ=\frac{3{\pi}}{2}$ .

Die Polarform ist

$z=-3i=3\left(\cos{\frac{3{\pi}}{2}}+i\sin{\frac{3{\pi}}{2}}\right)$

Der zugehörige Pfeil liegt auf der negativen y-Achse.

[Bearbeiten] Konjugation

Die zu $z = a + b i$ konjugiert komplexe Zahl ist $\bar z =a-bi$ .

[Bearbeiten] Drehungen

Die Zahl z₁ = 1 + 0i = (1,0) hat den Winkel Θ = 0. Der zu z₁ gehörende Vektor ist der Einheitsvektor auf der x-Achse.

Zu z₂ = 0 + 1i = (0,1) gehört Θ = π/2.

Zu z₃ = -1 + 0i = (-1,0) gehört Θ = π.

Zu z₄ = 0 + (-1)i = (0,-1) gehört Θ = 3π/2.

Die Vektoren zu z₂, z₃ und z₄ sind Vektoren der Länge 1 auf den Achsen y, -x und -y, sie entstehen alle aus z₁ durch aufeinanderfolgende Drehungen um jeweils Θ = π/2.

Da aber

z₂ = z₁ · i = (1 + 0·i) · i = i + 0·i²= 0 + 1·i = (0,1)

z₃ = z₂ · i = (0 + 1·i) · i = 0·i + 1·i² = (-1,0)

z₄ = z₃ · i = (-1 + 0·i) · i = -1·i + 0·i² = (0,-1)

erhalten wir als wichtiges Ergebnis (zunächst für die Zahlen z₁, z₂, z₃ und z₄)

Die Multiplikation mit i bedeutet eine positive Drehung um 90º.

Dies gilt aber nicht nur für diese speziellen Zahlen. Wir zeigen nämlich folgendes:

Wenn $z = a + bi = r\left(\cos{\theta}+ i \sin{\theta}\right)$ eine beliebige komplexe Zahl ist, so gilt

$z \cdot i = r\left(\cos{\theta'}+ i \sin{\theta'}\right)$ mit $\theta' = \theta + \pi/2\!$

Beweis

$z \cdot i =-b +ai = r\left(-\sin{\theta}+ i \cos{\theta}\right)$

Der Vektor $z \cdot i =-b +ai$ muss im 2. Quadranten liegen, wenn z im ersten lag. Lag z im 2. Quadranten, d. h. war a < 0 und b > 0, so liegt $z \cdot i$ im 3. Quadranten, da dann -b < 0 und a <0; usw.

Wir führen noch die folgenden Substitutionen durch

$\cos{\theta}=\sin{\left(\frac{\pi}{2} \pm \theta\right)}$

$-\sin{\theta}=\cos{\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)}$

und erhalten

$z \cdot i = r\left[\cos{\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}+ \sin{\left(\frac{\pi}{2} \pm \theta\right)}i\right]$

Das Minus-Zeichen kann nicht zugelassen werden, da es den Vektor im 1. Quadranten belassen würde.

[Bearbeiten] Rechnen mit komplexen Zahlen

[Bearbeiten] Wiederholung: Summe und Produkt

$(a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i$

[Bearbeiten] Produkt und Quotient

Statt nur z·i zu berechnen, hätten wir gleich zwei „volle“ komplexe Zahlen z₁ und z₂ miteinander multiplizieren können.

Seien

$z_1 =r_1(\cos{\theta_1} +i \sin{\theta_1})\!$

$z_2 =r_2(\cos{\theta_2} +i \sin{\theta_2})\!$

zwei beliebige komplexe Zahlen. Ihr Produkt berechnen wir „straight forward“:

$\begin{matrix}z_1\cdot z_2&=& r_1 r_2(\cos{\theta_1} +i \sin{\theta_1})(\cos{\theta_2} +i \sin{\theta_2})\\ &=&r_1 r_2[(\cos{\theta_1}\cos{\theta_2} - \sin{\theta_1}\sin{\theta_2})+i(\sin{\theta_1}\cos{\theta_2} + \cos{\theta_1}\sin{\theta_2})] \end{matrix}$

Ausgerechnet ergibt das

$z_1\cdot z_2 = r_1 r_2[\cos{(\theta_1+\theta_2)} +i \sin{(\theta_1+\theta_2)}]$

oder

$z_1\cdot z_2 = (r_1 r_2,\theta_1+\theta_2)\quad \text{mit} \; z_1 =(r_1,\theta_1),\;z_2 =(r_2,\theta_2)$

Wir halten fest:

Produkt:

Man multipliziert zwei komplexe Zahlen, indem man die Module multipliziert und die Argumente addiert.

Angewandt auf z·i ergibt sich

$z\cdot i = \left(r,\theta\right)\left(1,\frac{\pi}{2}\right) = \left(r\cdot 1, \theta + \frac{\pi}{2}\right) = \left(r, \theta + \frac{\pi}{2}\right)$

Aber dieses Ergebnis kennen wir ja bereits.

Produkt zweier komplexer Zahlen als Drehstreckung eines Vektors

Wenn wir den Vektor z₁ der Länge r₁ im Maßstab r₂:1 strecken, erhalten wir einen Vektor r₂z₁ mit der Länge r₁r₂; der Winkel (Argument) θ₁ bleibt erhalten. Drehen wir jetzt r₂z₁ um den Winkel θ₂, so liegt eine Drehstreckung vor, deren Ergebnis der neue Vektor z₁z₂ = (r₁r₂, θ₁ +θ₂) ist.

Um eine Formel für den Quotienten zu erhalten, verfahren wir wie oben in 1.6, 3. Aufgabe. Wir haben die komplexen Zahlen lediglich in ihre trigonometrischen Formen überzuführen. Im Einzelnen sieht das folgendermaßen aus:

$\begin{matrix}\frac{z_1}{z_2} &=& \frac{r_1 (\cos{\theta_1}+i\sin{\theta_1})} {r_2(\cos{\theta_2}+i \sin{\theta_2})} \cdot \frac{(\cos{\theta_2}-i\sin{\theta_2})} {(\cos{\theta_2}-i \sin{\theta_2})} \\&=& \frac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)) \end{matrix}$

oder

$\frac{z_1}{z_2}=\left(\frac{r_1}{r_2}, \theta_1-\theta_2 \right)$

Quotient:

Man dividiert zwei komplexe Zahlen, indem man die Module dividiert und die Argumente subtrahiert.

Beachten Sie, dass wir bei der Division komplexer Zahlen letztlich nur zwei reelle Zahlen dividieren, nämlich die beiden Module. Das hatten wir ja bereits oben in der 1. Aufgabe (vgl. 1.6) gesehen. Überzeugen Sie sich davon nochmals, indem Sie z₁ = 3 + 4i durch z₂ = 2 + 2i dividieren. Sie erhalten 14/8 + 2i/8 = 7/4 + i/4, dividieren also letztlich durch 4.

[Bearbeiten] Wurzeln: Satz von MOIVRE

Für den Fall, dass wir ein Produkt von n komplexen Zahlen haben, erhalten wir:

$z_1z_2 \dots z_n = r_1r_2 \dots r_n(\cos(\theta_1 + \dots +\theta_n) + i \sin(\theta_1 + \dots + \theta_n))\!$

oder mit Produkt- und Summenzeichen:

$\prod_{i=1}^n z_i =\left(\prod_{i=1}^n r_i, \sum_{i=1}^n \theta_i \right)$

Wenn alle Faktoren gleich sind, d. h. wenn z₁=z₂ = ... = z_n:= z,

erhalten wir den folgenden Satz, der nach Abraham de Moivre (1667-1754) benannt ist

$z^n = \left[r(\cos{\theta} + i \sin{\theta})\right]^n = r^n(\cos{n\theta} + i \sin{n\theta})$

Wir beweisen den Satz durch vollständige Induktion. (Der Satz gilt zunächst nur für ganze positive Exponenten. Setzt man n = -m, so kann man zeigen, dass er auch für negative ganze Exponenten gilt. Selbst bei gebrochenen Exponenten, also Wurzeln, versagt er nicht. Soll man aus einer komplexen Zahl eine Wurzel ziehen, so ist man auf den Moivreschen Satz allein angewiesen. Potenzen einer komplexen Zahl kann man auch mit dem binomischen Lehrsatz berechnen.)

Beweis:

Für irgend eine positive ganze Zahl wollen wir zeigen, dass gilt:

$(\cos{\theta}+i\sin{\theta})^n= \cos{n\theta}+i\sin{n\theta}\!$

Wir nehmen an, dass diese Gleichung für ein bestimmtes positives ganzes k gilt:

$(\cos{\theta}+i\sin{\theta})^k= \cos{k\theta}+i\sin{k\theta}\!$

Wir multiplizieren mit

$\cos{\theta}+i\sin{\theta}\!$

und verwenden

$z_1z_2=(r_1r_2,\theta_1+\theta_2)\!$ :

$\begin{matrix}(\cos{\theta}+i\sin{\theta})^{k+1}&=&(\cos{k\theta}+i\sin{k\theta})(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\\&=&\cos{(k+1)\theta}+i\sin{(k+1)\theta}\end{matrix}$

Wenn die Gleichung also für n = k gilt, so gilt sie auch für n = k+1. Nun gilt sie aber tatsächlich für k = 1 (und für k = 2 und 3, wie man leicht ausrechnen kann), also gilt sie auch für k = 1 + 1 = 2 usw. Also gilt sie auch für alle positiven ganzen Zahlen.

Besonders wichtig ist die Tatsache, dass der Moivresche Satz auch für gebrochene Exponenten gilt, d.h. dass gilt

$\left[r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\right]^{\frac{m}{n}}= r^{\frac{m}{n}}\left(\cos{\frac{m}{n}\theta}+i\sin{\frac{m}{n}\theta}\right)$

Der Beweis ist leicht durchzuführen: Wir nehmen an, dass wir

$z=\sqrt[n]{r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})}$

berechnen wollen. Wir potenzieren mit n und ersetzen θ durch θ = nα Es ergibt sich zunächst

$z^n = r(\cos{n\alpha}+i\sin{n\alpha})\!$

wofür wir schreiben können

$z^n=r(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})^n\!$

Wir ziehen auf beiden Seiten die n-te Wurzel und kehren wieder zum Argument θ zurück:

$z=r^{\frac{1}{n}}\left(\cos{\frac{\theta}{n}}+i\sin{\frac{\theta}{n}}\right)$

Merke:

Will man die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl ziehen, so zieht man die n-te Wurzel aus dem absoluten Betrag (Modul) und dividiert das Argument durch n.

Wir brauchen jetzt nur noch beide Seiten der letzten Gleichung mit m zu potenzieren, um die vorhin angegebene allgemeine Gleichung mit gebrochenen Exponenten zu erhalten.

Jede trigonometrische Funktion behält nun aber ihren Wert bei, wenn man den Winkel um irgendein ganzes Vielfaches von 360^o = 2π vermehrt. Wir können daher in den Winkelfunktionen θ ersetzen durch θ + k·2π. Die "Wurzelformel" heißt z.B.

$\left[r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})\right]^{\frac{1}{n}}= r^{\frac{1}{n}}\left(\cos{\frac{\theta+k \cdot2\pi}{n}}+i\sin{\frac{\theta+k\cdot2\pi}{n}}\right)$

[Bearbeiten] Beispiele

Als Anwendung der Moivreschen Formel wollen wir zunächst die Lösungen (Wurzeln) der Gleichung z⁴ = 3 - 4i berechnen.

Es handelt sich um eine Gleichung 4. Grades, und wir müssen daher 4 Wurzeln erhalten. Um diese zu finden, bringen wir die rechte Seite der Gleichung auf ihre trigonometrische Form:

$z^4=5(\cos 306{,}88^\circ + i\sin 306{,}88^\circ)$

Die „Wurzelformel“ lautet

$z = \sqrt[4]{5}\left(\cos{\frac{306{,}88^\circ + k \cdot 360^\circ}{4}} + i \sin{\frac{306{,}88^\circ + k\cdot 360^\circ}{4}}\right)$

Die 4 Wurzelwerte erhalten wir mit den Einsetzungen k = 0, k = 1, k = 2 und k = 3. (k = 4 liefert wieder die 1. Wurzel, k = 5 die zweite, usw.)

Die numerischen Ergebnisse sind

$\begin{matrix} z_1 & = & +0{,}3434 + 1{,}455 i, \quad k = 0 \\ z_2 & = & -1{,}455 + 0{,}3434 i, \quad k = 1 \\ z_3 & = & -0{,}3434 - 1{,}455 i, \quad k = 2 \\ z_4 & = & +1{,}455 - 0{,}3434 i, \quad k = 3 \end{matrix}$

Sollten Sie das CAS - System (Computer-Algebra-System) MuPAD besitzen, so erhalten Sie die 4 Lösungen unserer Gleichung blitzschnell mit den Anweisungen

solve(z⁴ = 3 -4*I,z)

float(%)

Neben MuPAD gibt es noch andere CAS - Systeme, z. B. MAPLE, Mathematica, ...

Bei einer Potenz-Aufgabe, z.B. (3+4i)⁵, können wir den binomischen Lehrsatz benutzen, aber auch den Moivreschen Satz.

Binomischer Satz:

$(a+b)^n = a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + \ldots + {n \choose {n-1}}ab^{n-1} + b^n$

Die Binomialkoeffizienten sind Brüche. Die Zahl, die oben steht, gibt an, mit welcher Zahl der Zähler beginnt; die Zahl, die unten steht, sagt, wie viele Faktoren der Zähler bzw. der Nenner hat. Der Nenner beginnt stets mit dem Faktor 1. So bedeutet z.B. ${9 \choose 4}$ den Bruch

$\frac{9\cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}.$

Statt $1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4$ schreibt man 4! (gelesen 4 Fakultät).

Wenden wir nun den binomischen Satz auf (3+4i)⁵ an, so erhalten wir (3+4i)⁵ = -237 - 3116i.

Moivrescher Satz:

Wir führen die gegebene Zahl zunächst in ihre trigonometrische Form über :

3 + 4i = 5(cos 53,12^o + i sin 53,12^o)

Wir erhalten nun der Reihe nach:

$\begin{matrix}(3 + 4i)^5 & = & 3125(\cos{265{,}6^\circ} + i\cdot \sin{265{,}6^\circ})\\ & = & 3125(-\cos{85{,}6^\circ} - i\cdot \sin{85{,}6^\circ})\\ & = & 3125(-0{,}0767 - i\cdot 0{,}9971)\\ & = & -239{,}7 - i\cdot 3116 \end{matrix}$

Das Ergebnis, das wir mit dem binomischen Satz gewonnen haben, ist genau, während das zweite Ergebnis infolge der Rundungen eine kleine Ungenauigkeit aufweist.

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