Komplexe Zahlen: Einführung

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Dieses Kapitel soll darstellen, wie man auf die Idee kommt, komplexe Zahlen zu definieren und erläutert ansatzweise, wie man mit ihnen umgeht.

Inhaltsverzeichnis 1 Quadratische Gleichungen 1.1 Neue Zahlen 1.2 Die neuen Zahlen sind komplex 2 1. Aufgabe 2.1 Lösung 3 2. Aufgabe 3.1 Lösung 4 3. Aufgabe 4.1 Lösung 5 4. Aufgabe 5.1 Lösung

[Bearbeiten] Quadratische Gleichungen

Wir wollen uns zunächst die formale Lösung einer quadratischen Gleichung anschauen, denn dies liefert uns einen unmittelbaren Zugang zu den komplexen Zahlen.

a, b, c seien gegebene reelle Zahlen mit a ≠ 0. Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet:

Wir subtrahieren von der Gleichung die Formvariable c und dividieren sie (die Gleichung) durch a und erhalten:

Nun fügen wir die quadratische Ergänzung hinzu:

Nach Ausklammern des linken Terms mittels binomischer Formel ergibt sich:

Wir ziehen auf beiden Seiten die Wurzel und erhalten schließlich die Lösung

Falls die Diskriminante D = b² − 4ac > 0 ist, können wir sie durch n² ersetzen, wobei ist. Damit erhalten wir als Lösungen (Wurzeln) die beiden Werte

oder

Ist nun D = 0, so gilt . Wenn wir wollen, können wir sagen, dass die Gleichung

nur eine Lösung besitzt, nämlich .

Man sagt jedoch aus Gründen der Symmetrie (auch der späteren Anwendungen wegen), dass die Gleichung zwei gleiche Wurzeln oder eine Doppelwurzel habe.

Ist die Diskriminante nun kleiner als Null, so gibt es für die Gleichung keine Lösung in der Grundmenge , denn das Quadrat jeder reellen Zahl ist stets nichtnegativ.

[Bearbeiten] Neue Zahlen

Wir können nun sagen:

• Es gibt keinen x-Wert, der die gemischtquadratische Gleichung befriedigt, oder

• Wir müssen eine neue Zahlenart erfinden, deren Quadrat eine negative Zahl ist.

Bis ins 16. Jahrhundert hinein wusste man nichts mit den neuen Zahlen anzufangen, und man entschied sich im Wesentlichen für die erste Variante. Es ist übrigens interessant zu sehen, dass die Geschichte der komplexen Zahlen nicht mit einer Diskussion von gewissen quadratischen Gleichungen begann, sondern entwickelte sich im Zusammenhang mit Lösungsversuchen für kubische Gleichungen. 1539 erhielt der Italiener CARDANO von TARTAGLIA die Lösung der kubischen Gleichung in der Form

(Diese Formel scheint aber auch FERRO schon einige Jahre vorher gekannt zu haben. Nach der Gepflogenheit jener Zeit hielt er sein Wissen jedoch geheim.)

Hat nämlich die kubische Gleichung 3 reelle Lösungen (z. B. für a=-1, b=0 mit den Lösungen x=0,1,-1), so ist trotzdem in der Lösungsformel die Quadratwurzel einer negativen Zahl zu bilden.

Wir entschließen uns für die zweite erwähnte Möglichkeit und erfinden neue Zahlen. Wir betrachten die einfachste quadratische Gleichung

und behaupten kühn, dass eine „Zahl“ i existiert, deren Quadrat gleich -1 ist:

.

Da wir mit dieser Zahl „ganz normal“ rechnen wollen, verlangen wir außerdem, dass sie mit den uns vertrauten reellen Zahlen verknüpft werden kann und dass die üblichen Rechenregeln gelten, z. B.

usw.

[Bearbeiten] Die neuen Zahlen sind komplex

Die neuen Zahlen blieben jahrhundertelang eingebildet, imaginär, und wir nennen das Produkt ai heute noch eine imaginäre Zahl, a ist dabei reell.

Sind a, b reelle Zahlen, so nennt man die Summe z =a + bi eine komplexe Zahl (complexus(lat.) = umfassend).

So wie man die natürlichen Zahlen mit , die ganzen mit , die rationalen mit und die reellen Zahlen mit bezeichnet, führte man für die Menge aller komplexen Zahlen das Symbol ein.

Eine komplexe Zahl besteht also aus zwei Gliedern, dem „Realteil“ a und dem „Imaginärteil“ b. Wann sind nun zwei komplexe Zahlen z₁ = a + bi und z₂ = c + di, a, b, c, d reell, einander gleich? Offenbar nur dann, wenn a = c und b = d. Man nennt übrigens = a - bi die zu z =a + bi konjugiert komplexe Zahl. Der Betrag oder Modul der komplexen Zahl z ist die positive reelle Zahl

Man bestätigt leicht, dass gilt

Am einfachsten gewöhnt man sich an die komplexen Zahlen, indem man mit ihnen umgeht, d. h. rechnet. Wir werden uns daher nun mit einer Aufgabe beschäftigen.

[Bearbeiten] 1. Aufgabe

Beweise, dass

1. die Summe,
2. die Differenz,
3. das Produkt und
4. der Quotient

der beiden komplexen Zahlen 3 + i und 2 - 3i wieder komplexe Zahlen sind. Beweise diese Aussage anschließend für beliebige komplexe Zahlen a + b i und c + d i.

[Bearbeiten] Lösung

1. Summe

(3 + i) + (2 - 3i) = (3 + 2) + i(1 - 3) = 5 - 2i

2. Differenz

(3 + i) - (2 - 3i) = (3 - 2) + i(1 + 3) = 1 + 4i

3. Produkt

(3 + i)(2 - 3i) = (3 × 2 - 1 × (-3)) + i(3 × (-3) + 1 × 2) = 9 - 7i

4. Quotient

Beliebige komplexe Zahlen

Wir berechnen Produkt und Quotient:

Produkt

Quotient

[Bearbeiten] 2. Aufgabe

Wie lautet eine (von vielen) quadratische Gleichung, deren Wurzeln (2 + 3i) und (2 - 3i) lauten?

[Bearbeiten] Lösung

Wir gehen von der Normalform aus (= allgem. Form geteilt durch a ): x² + p x + q = 0.

Sind die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung (mit im Fall D = 0), dann gilt:

also

(Formeln von Vieta.)

Wir setzen die gegebenen Lösungen in die Formeln von Vieta ein und erhalten p = -4 und q = 13. Die gesuchte Gleichung lautet demnach x² - 4 x + 13 = 0.

[Bearbeiten] 3. Aufgabe

Beweise, dass

1. (1 + i)² = 2i
2. (1 + i)³ = - 2(1 - i)
3. (1 + i)⁴ = - 4

ist.

[Bearbeiten] Lösung

1. (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i

2. (1 + i)³ = 1 + 3i + 3i² + i³ = 1 + 3i - 3 - i = - 2 + 2i

3. (1 + i)⁴ = 1 + 4i + 6i² + 4i³ + i⁴ = 1 - 6 + 1 = - 4

Wegen i² = -1 haben wir Eigenschaften, die recht seltsam erscheinen, wie z. B. i⁵ = i

[Bearbeiten] 4. Aufgabe

Es sind reelle Zahlen a und b so zu bestimmen, dass

gilt.

[Bearbeiten] Lösung

Wir vergleichen Real- und Imaginärteil und erhalten:

oder

Daraus folgt:

Wir erhalten a² = 4 und a² = -1. Da a reell sein soll, können wir die Lösung a² = -1 nicht gebrauchen. Ergebnis: a = ± 2. Für a = 2 ergibt sich b = 1, und für a = -2 erhalten wir b = -1.