Lineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme: Determinanten

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Inhaltsverzeichnis

1 Definition
- 1.1 Einführende Beispiele
2 Berechnung der Determinante
3 Definition der Determinante n-ter Ordnung
4 Anmerkungen
5 Einige Determinanteneigenschaften
6 Der Entwicklungssatz von LAPLACE
7 Abschliessende Anmerkungen

[Bearbeiten] Definition

[Bearbeiten] Einführende Beispiele

a) Das Spatprodukt.
Im Dreidimensionalen wird von den Vektoren a, b, c ein Spat, d.h. ein von 6 Parallelogrammflächen berandetes Prisma aufgespannt. Sein Volumen wird formal durch V =

$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$

= $c_1 \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} - c_2 \begin{vmatrix} a_3 & b_3 \\ a_1 & b_1 \end{vmatrix} + c_3 \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$

aufgeschrieben. Diese systematische Schreibweise war bisher ja eine Abkürzung für
c₁ (a₂b₃ - a₃b₂) - c₂ (a₃b₁ - a₁b₃) + c₃ (a₁b₂ - a₂b₁).
Man nennt
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$
die Determinante der quadratischen Matrix

$\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}$

und schreibt auch

det (A).

Also ist das Spatvolumen V = det (A) = det (a b c).
Übrigens sind

$\begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} , ...$

sogenannte Unterdeterminanten der "großen" Determinante, berechenbar als Differenz der (über Kreuz stehenden) Produkte a_ib_j.
Eine Determinante ist also eine Funktion, die einer gegebenen Matrix $A$ eine Zahl zuordnet, die mit $d e t (A)$ bezeichnet wird.
Eine Determinantenfunktion $\Delta : V^n \rightarrow K$ muss übrigens folgenden Forderungen genügen:

$Δ$ ist alternierend, d.h. $\Delta (x_1, \cdots , x_n) = 0 \Leftrightarrow x_i = x_j$ für $i \ne j$
$Δ$ ist mutilinear, d.h. linear in jedem Argument.

Mit der genannten Systematik läßt sich sehr schnell das Volumen eines n-dimensionalen Spats anschreiben, wobei wir jetzt a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₁₄, ..., a_1n für die Elemente der ersten Zeile ( i=1 ), a₂₁, a₂₂, a₂₃, a₂₄, ..., a_2n für die der zweiten Zeile ( i=2 ), usw. bis a_n1, a_n2, a_n3, a_n4, ..., a_nn für die der letzten, n-ten Zeile notieren.
Damit ist

V = det (A) =

$\begin{vmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} & a_{1 3} & ... & a_{1 n} \\ a_{2 1} & a_{2 2} & a_{2 3} & ... & a_{2 n} \\ a_{3 1} & a_{3 2} & a_{3 3} & ... & a_{3 n} \\ . & . & . & ... & . & \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & ... & a_{n n} \\ \end{vmatrix}$ .

Dabei bilden die waagrecht angeordneten a_ik die Zeilen, die senkrechten Reihen der Elemente a_ik die Spalten der n × n Determinante. Wir müssen jetzt nur noch erfahren, wie eine solche n × n - Determinante berechnet werden soll.

b) Gleichungssysteme.
Das lineare Gleichungssystem (LGS)

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + a₁₃ x₃ = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + a₂₃ x₃ = b₂

a₃₁ x₁ + a₃₂ x₂ + a₃₃ x₃ = b₃

ist zu lösen.
Um x₁ zu erhalten, multiplizieren wir die erste Gleichung des LGS mit dem Faktor ( a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂ ), die zweite Gleichung mit - ( a₁₂a₃₃ - a₁₃a₃₂ ) und die dritte mit ( a₁₂a₂₃ - a₁₃a₂₂ ). Dann addieren wir die so multiplizierten Gleichungen und erhalten zunächst

x₁ [ a₁₁ ( a₂₂a₂₃ - a₃₂a₂₃ ) +

a₂₁ ( a₂₂a₁₃ - a₁₂a₂₃ ) + a₃₁ ( a₁₂a₃₃ - a₂₂a₁₃ ) ]

= b₁ ( a₂₂a₂₃ - a₃₂a₂₃ ) +

b₂ ( a₂₂a₁₃ - a₁₂a₂₃ ) + b₃ ( a₁₂a₃₃ - a₂₂a₁₃ ),
d.h. wir erhalten für x₁ einen Bruch mit dem

Zähler:

b₁ ( a₂₂a₂₃ - a₃₂a₂₃ ) + b₂ ( a₂₂a₁₃ - a₁₂a₂₃ ) + b₃ ( a₁₂a₃₃ - a₂₂a₁₃ )

Nenner:

[ a₁₁ ( a₂₂a₂₃ - a₃₂a₂₃ ) + a₂₁ ( a₂₂a₁₃ - a₁₂a₂₃ ) + a₃₁ ( a₁₂a₃₃ - a₂₂a₁₃ ) ] .
Damit können folgende Feststellungen getroffen werden:

Die Faktoren von b_i im Zähler und a_ik (i,k = 1,2,3) im Zähler bzw im Nenner sind dieselben. Sie können wie im Beispiel a) (als Unterdeterminanten) geschrieben werden:

d₁₁ = $\begin{vmatrix} a_{2 2} & a_{2 3} \\ a_{3 2} & a_{3 3} \\ \end{vmatrix} , ...$

d₂₁ = - $\begin{vmatrix} a_{1 3} & a_{3 2} \\ a_{1 2} & a_{3 3} \\ \end{vmatrix} , ...$

d₃₁ = $\begin{vmatrix} a_{1 2} & a_{2 3} \\ a_{1 3} & a_{2 2} \\ \end{vmatrix} , ...$

Man kann den ganzen Nenner des Bruches als Determinante D der (quadratischen) Koeffizientenmatrix A (sie enthält nur die a_ik geschrieben werden.
Auch den Zähler kann man als Determinante D₁ einer quadratischen Matrix schreiben. Dabei streicht man die erste Spalte der zunächst rechteckförmigen Ausgangsmatrix (drei Spalten a_ik, vierte Spalte b_i) und an ihre Stelle notiert man die vierte Spalte. Dann haben wir

x₁ = D₁ / D.

Sinngemäß haben wir auch noch

x₂ = D₂ / D und

x₃ = D₃ / D

wo dann D₂ die Determinante derjenigen quadratischen Matrix ist, die man durch Streichen der zweiten Spalte und Ersetzen durch die vierte b_i Spalte bekommt. D ist die Determinante der a_ik und entsprechen bekommt man noch D₃. Diese Bestimmung der Lösungen x_i heißt CRAMER'sche Regel.

Auch jetzt ist eine Erweiterung von 3 Gleichungen auf n Gleichungen naheliegend

x₁ = D₁ / D,

x₂ = D₂ / D

x₃ = D₃ / D

. . . .

x_n = D_n / D.

Bleibt noch zu klären, wie wir die Determinante allgemein einer n × n - Matrix, einer sogenannten Determinante n-ter Ordnung zu berechnen haben.

[Bearbeiten] Berechnung der Determinante

Wir knüpfen an den vorigen Abschnitt an. Dort war

d₁₁ = $\begin{vmatrix} a_{2 2} & a_{2 3} \\ a_{3 2} & a_{3 3} \\ \end{vmatrix}$

d₂₁ = - $\begin{vmatrix} a_{1 3} & a_{3 2} \\ a_{1 2} & a_{3 3} \\ \end{vmatrix}$

d₃₁ = $\begin{vmatrix} a_{1 2} & a_{2 3} \\ a_{1 3} & a_{2 2} \\ \end{vmatrix}$ .

d₁₁ entsteht aus der (quadratischen) a_ik (i,k = 1,2,3) -Matrix, wenn dort die erste Zeile und die erste Spalte gestrichen wird, d₂₁, wenn die zweite Zeile und die erste Spalte gestrichen wird, das Vorzeichen ist hier ein Minus, d₃₁, wenn man die erste Spalte und die dritte Zeile streicht. Über das Vorzeichen entscheidet anscheinend das Vorzeichen der Summe i + k aus Zeilen- und Spaltenindex. Ist diese Summe gerade wie etwa im ersten Fall (i=1, k=1), so ist i + k = 2, gerade also, das Vorzeichen ist Plus. Wenn i = 2 und k = 1, so ist i+k = 3, das Vorzeichen ist Minus, usw. Wir können also schreiben

D_ik = ( -1 ) ^{i + k} d_ik

und nennen D_ik die (mit passendem Vorzeichen versehene) Unterdeterminante die Adjunkte (zum Element a_ik).
So ist beispielsweise bei der 3 × 3 - Matrix die Adjunkte

D₃₁ = ( -1 ) ³⁺¹ d₃₁ = ( -1 ) ⁴ $\begin{vmatrix} a_{1 2} & a_{2 3} \\ a_{1 3} & a_{2 2} \\ \end{vmatrix}$

= 1 ( a₁₂a₂₃ - a₁₃a₂₂ ).

Demnach ist: Det (A) = a₁₁ D₁₁ + a₂₁ D₂₁ + a₃₁ D₃₁ bei einer dreireihigen Matrix A. Man erhält also den Werte der Determinante (A), indem man die mit ihren Adjunkten multiplizierten Elemente a₁₁, a₁₂ und a₁₃ multipliziert. Man hat, so sagt man, die Determinante nach den Elementen der ersten Spalte entwickelt.

[Bearbeiten] Definition der Determinante n-ter Ordnung

Das Bisherige kann in weitgehender Verallgemeinerung zu folgender Definition führen:

Die Determinante einer quadratischen n × n - Matrix ist eine Funktion, die dieser Matrix eine Zahl zuordnet, welche mit det (A) bezeichnet wird. Diese Zahl berechnet man durch

(*) det (A) = a_1k D _1k + a_2k D _2k + a_3k D _3k + . . . . . + a_nk D _nk mit k = 1, ... n

und man sagt, man habe die Determinante nach der k-ten Spalte entwickelt, weil die a_ik die Elenente der k-ten Spalte sind. D _ik sind die zugehörigen Adjunkten:

D _ik = ( -1 )a ^i+k d_ik.

Beispiele

a) Eine 4 × 4 - Determinante wird nach der ersten Spalte entwickelt:

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 4 & 5 \\2 & 0 & 0 & 3 \\7 & 2 & 1 & 0 \\3 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}$

= $1 \begin{vmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 0 & 4 & 5 \\2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} + 7 \begin{vmatrix} 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 0 & 4 & 5 \\0 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

oder

= 1 ( 0 · 4 - 2 · 0 + 0 · 3)

- 2 ( 0 · 4 - 2 · 16 + 0 · ( -5 ))

+ 7 ( 0 · 0 - 0 · 16 + 0 · 12 )

- 3 ( 0 · ( -3 ) - 0 · ( -5 ) + 2 · 12 )

= 64 - 72 = - 8.

b) Eine dreireihige Determinante soll nach der ersten Spalte entwickelt werden.

= $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$

= a₁ ( b₂ c₃ - b₃ c₂ ) - a₂( b₁ c₃ - b₃ c₁ ) + a₃( b₁ c₂ - b₂ c₁ )

= a₁ b₂ c₃ - a₁ b₃ c₂ - a₂ b₁ c₃ + a₂ b₃ c₁ + a₃ b₁ c₂ -a₃ b₂ c₁.

Ordnet man nach c_i, erhält man

= c₁ ( a₂ b₃ - a₃ b₂ ) - c₂ ( a₁ b₃ - a₃ b₁ ) + c₃ ( a₁ b₂ - a₂ b₁ ) .

Das ist dasselbe Resultat wie im ersten einführenden Beispiel: Dort ist die Determinante nach der dritten Spalte entwickelt worden.

[Bearbeiten] Anmerkungen

Es ist zweckmäßig, eine Determinante nach derjenigen Spalte zu entwickeln, die die meisten Nullen enthält.
In der oben aufgezeigten Berechnung läßt sich feststellen, daß eine Determinanteberechnung auch als Summe aller Permutationen der a_rb_sc_tgelesen werden kann. Diese Definitionen einer Determinante geht auf G. F. LEIBNIZ (1646 - 1716) zurück. Demnach ist

$\begin{vmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} & . . . & a_{1 n} \\a_{2 1} & a_{2 2} & . . . & a_{2 n} \\ . & . & . . . & . \\a_{n 1} & a_{n 2} & . . . & a_{n n} \end{vmatrix} = \sum ( - 1 )^k a_{1 s_1}a_{1 s_2}a_{1 s_3} . . . a_{1 s_n}$

Dabei enthält das Produkt a_{1 s1} a_{1 s2} a_{1 s3} . . . a_{1 sn} genau ein Element aus einer Zeile und einer Spalte und ( s₁,s₂,s₃, . . . , s_n ) ist eine von den insgesamt n! "Vertauschungen". Wenn die betrachtete Permutation eine gerade Anzahl von Inversionen , das sind Umstellungen gegenüber der natürlichen Reihenfolge 1, 2, 3, . . n, hat, etwa k = 2, so ist das Vorzeichen dieser Permutation ein Plus, sonst ein Minus. Wie das gemeint ist, soll am Beispiel der Determinante

$\begin{vmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} & a_{1 3} a_{1 4} \\a_{2 1} & a_{2 2} & a_{2 3} a_{2 4} \\a_{3 1} & a_{3 2} & a_{3 3} a_{3 4} \\a_{4 1} & a_{4 2} & a_{4 3} a_{4 4} \end{vmatrix}$

gezeigt werden. Es gibt n ! = 4 ! = 24 Permutationen. So sind etwa

a₁₁ a₂₂ a₃₃a₄₄ oder

a₃₁ a₁₂ a₂₃a₄₄ oder

a₄₁ a₃₂ a₂₃a₁₄ oder

a₁₃ a₂₁ a₃₄a₄₂

vier dieser Permutationen. Dabei ist das Vorzeichen der erstgenannten oder zweiten Permuatation positiv, da dort keine Inversion auftritt. Bei der vierten Permutation ist das Vorzeichen negativ, weil (s₁,s₂,s₃, s₄ = ( 3, 1, 4, 2 ) die drei Inversionen (3 1), (3 2) und (4,2) besitzt. Schließlich hat die dritte Permutation (4, 3, 2, 1) die Inversionen (4 3), (4 2), (4 1), (3 2), (3 1) und (2 1), also sechs insgesamt und das Vorzeichen muß also positiv sein.

Zur Berechnung von dreireihigen Determinanten ( und nur für diese ! ) kann die Regel von SARRUS ( 1798 - 1861 ) verwendet werden. Man schreibt die erste und zweite Spalte der Determinante rechts neben diese noch einmal und addiert die dreifaktorigen nach rechts unten bzw nach rechts oben verlaufenden "schrägen" Produkte. Dabei bekommen a₁₁ a₂₂ a₃₃, a₁₂ a₂₃ a₃₁ und a₁₃ a₂₁ a₃₂ positives Vorzeichen, die anderen, also a₃₁ a₂₂ a₁₃, a₃₂ a₂₃ a₃₃ und a₃₃ a₂₁ a₁₂ erhalten negatives Vorzeichen. Das SARRUS-Schema ist in folgendem Bild skizziert:

[Bearbeiten] Einige Determinanteneigenschaften

Macht man die Spalten einer Determinante zu Zeilen und die Zeilen zu Spalten - man sagt dann, man habe die Matrix A zur Matrix A^T transponiert -, dann gilt

det (A) = det (A^T).

BEISPIEL:

Es ist

= $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 5 \\2 & 6 & 7 \\3 & 8 & 9 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\4 & 6 & 8 \\5 & 7 & 9 \end{vmatrix}$

Werden zwei Zeilen oder zwei Spalten einer Determinante vertauscht, so wechselt die Determinante ihr Vorzeichen.
Ein gemeinsamer Faktor, der in den Elementen einer Zeile oder Spalte steckt, kann als Faktor vor die Determinante gezogen werden.
Sind zwei Zeilen oder Spalten gleich, so hat die Determinante den Wert 0.
Wenn zu einer Zeile (oder Spalte) einer Determinante ein Vielfaches einer anderen Zeile bzw Spalte addiert wird, ändert sich der Wert der Determinante nicht. So haben

$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\5 & 6 \end{vmatrix}$ und $\begin{vmatrix} 3 & 4 \\5 + 2 mal 3 & 6 + 2 mal 4 \end{vmatrix}$

denselben Wert - 2.

Enthält eine Determinante unterhalb oder oberhalb der Hauptdiagonalen a₁₁, a₂₂, a₃₃, . . . a_nn lauter Nullen - die zugehörige Matrix ist dann eine sog. Dreiecksmatrix -, so ist der Wert dieser Determinanten gleich dem Produkt der Hauptdiagonalglieder:

det (A) = a₁₁ a₂₂ a₃₃ . . . a_nn.

Der Nachweis dieser Behauptung ist einfach: Wenn die Determinante oberhalb der Hauptdiagonalen lauter Nullen aufweist, so kann a₁₁, das einzige Element ungleich Null in dieser ersten Zeile, als Faktor vor die Determinante gezogen werden. Die erste Zeile lautet dann 1, 0, 0, 0, . . . 0. Entwickelt man nach dieser "1", so bleibt eine Unterdeterminante, bei der man entsprechen verfahren kann ( a₂₂ ) herausziehen, usw).

[Bearbeiten] Der Entwicklungssatz von LAPLACE

Nach unserer ursprünglichen Definition einer Determinante kann man eine Determinante nach ihrer ersten Spalte entwickeln: es werden die Elemente a₁₁, a₁₂, . . . a_1n verwendet und mit den Adjunkten multipliziert. Der nachstehende Satz, der Entwicklungssatz von LAPLACE zeigt, daß man eine Determinante nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln kann:

det (A) = ∑ ( -1 ) ^{i + k} a _ik d_ik

Dabei läuft die Summe von i = 1 bis n und k, der Spaltenindex k ist eine der Zahlen 1, 2, . . . n.

oder

det (A) = ∑ ( -1 ) ^{i + k} a _ik d_ik

Dabei läuft die Summe jetzt von k = 1 bis n und k, der Zeilenindex i ist eine der Zahlen 1, 2, . . . n. d_ik sind die Unterdeminanten, die man durch Streichen der i-ten Zeile und k-ten Spalte aus der ursprünglichen Determinante erhält.

[Bearbeiten] Abschliessende Anmerkungen

Das Spatprodukt und die LGS hatten uns zur Definition der Determinante geführt. Es zeigt sich darüber hinaus, daß solche Anordnungen und Berechnungen recht oft in der Mathematik und in den Naturwissenschaften brauchbar sind. So spielen die Determinanten bei den Abbildungen (s. entsprechendes Kapitel) eine Rolle. Es ist a ^-1 die zu A inverse Matrix, die nur dann existiert, wenn ( im R²) die Determinante von A, also a₁₁ a₂₂ - a₁₂a₂₁ nicht Null ist.

Gleichungssysteme, bei denen die rechten Seiten alle Null sind, heißen homogene Gleichungssysteme, die mit einer Matrix A' und dem Vektor x kurz so angegeben werde können:

A x = 0

Ein solches LGS hat stets eine Lösung, mindestens die triviale x₁ = x₂ = x₃ = . . . x_n = 0. Vorausgesetzt, es liegt eine quadratische Matrix vor, das heißt es gibt genau gleich viele Gleichungen wie Unbekannte, so folgt aus der CRAMERschen Regel

x det (A) = 0.

Damit ist x genau dann ein nichttrivialer Lösungsvektor, wenn det (A) = 0. Geht man von

A x = λ x, wo λ ein Parameter ist.

Mit der "Einheitsmatrix" I, die in der Hauptdiagonalen lauter Einsen aufweist, sonst Nullen, kann die letzte Gleichung auch so formuliert werden:

( A - λ I ) x = 0.

Damit nun dieses Gleichungssystem eine nichttriviale Lösung hat, muß

det ( A - λ I ) = 0

sein. Diese Bedingung ist nun aber nur für bestimmte λ , das sind die sog. Eigenwerte , die zur Matrix A gehören, erfüllt. Die Gleichung, der diese Eigenwerte genügen müssen, heißt charakteristische Gleichung oder auch Eigenwertgleichung. Schließlich heißt die zu einem Eigenwert λ gehörende (nichttriviale) Lösung von ( A - λ I ) x = 0 ein Eigenvektor der Matrix A. Diesbezügliche Überlegungen stellt man in der nichtlinearen Dynamik bei Stabilitätsfragen an. Auch bei linearen Differentialgleichungssystemen wird man auf charakteristische Gleichungen geführt.

Und noch etwas: Determinantenberechnungen erfordern großen Rechenaufwand, vorallem wenn n etwas größer ist. Übergibt man solche Determinantenrechnungen einem Computer, so sind wegen deren endlicher Zahlendarstellung Rundefehler möglich. Das wird plausibel, wenn wir folgendes Zahlenbeispiel betrachten: Das LGS

2,6251 x₁ + 0,3114 x₂ = 4,9388

1,3021 x₁ + 0,1551 x₂ = 2,4491

hat die beiden exakten Lösungen 2 und - 1. Schneiden wir von den vier Nachkommaziffern die beiden letzten ab, so erhält man gerundet

2,63 x₁ + 0,31 x₂ = 4,94

1,30 x₁ + 0,16 x₂ = 2,45.

Die Lösungen dieses Systems sind aber x₁ = 1,736 und x₂ = 1,2, also ganz andere Werte als die bei dem nicht gerundeten System.

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