Mathe für Nicht-Freaks: Abbildung

Definition

Abbildung $\begin{align} f & : \{1,2,3,4\} \rightarrow \{0,1,2\}\\ & : x \mapsto \text{Rest bei Division von }x\text{ mit }2\end{align}$

Ein zentrales Konzept der Mathematik ist die Abbildung, die auch Funktion genannt wird. Abbildungen sind eindeutige Zuordnungen zwischen zwei Mengen $D$ und $Z$. Dies bedeutet, dass jedem Element $x\in D$ durch die Abbildung $f$ genau ein Element $f(x)\in Z$ zugeordnet wird. Ein Beispiel hierfür ist die Quadratfunktion zwischen der Menge $\R$ in die Menge $\R^{+}_0$, die jeder reellen Zahl $x\in\R$ ihre Quadratzahl $x^2\in \R^{+}_0$ zuordnet.

Die Schreibweise für Abbildungen von $D$ nach $Z$ ist

$f: D \rightarrow Z: x \mapsto f(x)$

mit der Sprechweise

$\underbrace{f{\color{white}|}}_{\text{Abbildung }f} : \underbrace{D \rightarrow Z{\color{white}|}}_{\text{von }D\text{ nach }Z,} : \underbrace{x \mapsto f(x){\color{white}|}}_{\text{die } x\text{ auf }f(x)\text{ abbildet}}$

Dabei ist $D$ die Definitionsmenge und $Z$ die Zielmenge der Abbildung. Jedes Element $x\in D$ der Definitionsmenge wird Argument und jedes durch die Abbildung getroffene Element $f(x)\in Z$ wird Funktionswert zum Argument $x$ genannt:

$f : \overbrace{D{\color{white}|}}^\text{Definitionsbereich} \rightarrow \overbrace{Z{\color{white}|}}^\text{Zielmenge} : \overbrace{x{\color{white}|}}^\text{Argument} \mapsto \overbrace{f(x){\color{white}|}}^\text{Funktionswert}$

Definition (Abbildung):

Eine Abbildung $f: D\rightarrow Z$ ist eine eindeutige Zuordnung der Definitionsmenge $D$ in die Zielmenge $Z$, also eine Zuordnung, die jedem Argument $x\in D$ einen eindeutigen Funktionswert $f(x) \in Z$ zuordnet.

Verständnisfrage: Welche der folgenden Pfeildiagramme stellen Abbildungen zwischen den Mengen $X$ in die Menge $Y$ dar?

• 

  Pfeildiagramm 1

• 

  Pfeildiagramm 2

• 

  Pfeildiagramm 3

• 

  Pfeildiagramm 4

• Pfeildiagramm 1: Abbildung
• Pfeildiagramm 2: keine Abbildung (dem Objekt $1\in X$ wird kein Element aus $Y$ zugeordnet)
• Pfeildiagramm 3: keine Abbildung (dem Objekt $4\in X$ wird kein Element aus $Y$ zugeordnet; dem Element $3\in X$ werden mehrere Elemente aus $Y$ zugeordnet)
• Pfeildiagramm 4: Abbildung

Bild und Urbild

Bild und Urbild

Zwei wesentliche Begriffe im Zusammenhang mit Abbildungen ist der Begriff des Bildes und der Begriff des Urbilds:

Definition (Bild):

Das Bild $f(A)$ einer Abbildung $f: D \rightarrow Z$ und einer Menge $A\subseteq D$ ist die Menge aller Funktionswerte $f(x)$ mit $x\in A$:

$f(A) := \{ f(x)\,|\, x\in A\} = \{ y\,|\, \exists x\in A: y = f(x)\}$

Beispiel (Bild):

Sei $f:\R\rightarrow\R: x\mapsto x^2$. Es ist

• $f(\{1,2\}) = \{ 1, 4\}$
• $f(\{-3,-6, 2\}) = \{ 9, 36, 4\}$
• $f(\{-5,5\}) = \{ 25 \}$

Definition (Urbild):

Das Urbild $f^{-1}(B)$ einer Abbildung $f:D\rightarrow Z$ und einer Menge $B\subseteq Z$ ist die Menge aller Argumente $x\in D$, die durch $f$ in die Menge $B$ abgebildet werden:

$f^{-1}(B)=\{ x\in D\,|\, f(x) \in B\}$

Beachte, dass $B$ auch Elemente enthalten kann, die durch $f$ nicht getroffen werden. Betrachte dazu die Abbildung auf der rechten Skizze. Die Zahl 3 wird nicht getroffen und die Zahl 4 besitzt als Funktionswert nur das Argument 6. Dementsprechend ist das Urbild von $\{3,4\}$ gleich der einelementigen Menge $\{6\}$.

Beispiel (Urbild):

Sei $f:\R\rightarrow\R: x\mapsto x^2$. Es ist

• $f^{-1}(\{1,2,\, -4,\, -36\}) = \{ 1,\, -1,\, \sqrt 2,\, -\sqrt 2 \}$
• $f^{-1}(\{0,\, -1\}) = \{ 0\}$
• $f^{-1}(\{25 \}) = \{ 5,\, -5 \}$

Warnung:

Es besteht Verwechslungsgefahr zwischen dem Urbild $f^{-1}(B)$, der Umkehrfunktion $f^{-1}$ und dem multiplikativen Inversen $f(x)^{-1} = \tfrac 1{f(x)}$.

Verständnisfrage: Sei

• $f: \R\setminus\{2\} \rightarrow \R: x\mapsto x^2$
• $g: \{ -1,\, 0,\, 1 \} \rightarrow \R: x \mapsto |x|$
• $h: \R \rightarrow \R: x \mapsto |x|$

Bestimme folgende Bilder und Urbilder (beachte die unterschiedlichen Definitions- und Zielmengen der Abbildungen!):

1. $f\left(\R\setminus\{2\}\right)$
2. $g\left(\{-1,\, 1\}\right)$
3. $h\left(\Z\right)$
4. $f\left(\emptyset\right)$
5. $f^{-1}\left(\{4,\, 6\}\right)$
6. $g^{-1}\left([0,5]\right)$
7. $h^{-1}\left([0,5]\right)$
8. $f^{-1}\left(\emptyset\right)$

1. $f\left(\R\setminus\{2\}\right) = \R^{+}_0$
2. $g\left(\{-1,\, 1\}\right)= \{1\}$
3. $h\left(\Z\right)=\N_0$
4. $f\left(\emptyset\right)=\emptyset$
5. $f^{-1}\left(\{4,\, 6\}\right)=\{-2,\, \sqrt 6,\,-\sqrt 6\}$
6. $g^{-1}\left([0,5]\right)=\{ -1,\, 0,\, 1 \}$
7. $h^{-1}\left([0,5]\right)=[-5,5]$
8. $f^{-1}\left(\emptyset\right)=\emptyset$

Definition durch Relationen

Eine Abbildung $f:D\rightarrow Z$ kann auch als Relation zwischen der Definitionsmenge $D$ und der Zielmenge $Z$ aufgefasst werden. Dabei fasst man eine Zuordnung zwischen einem Argument $x\in D$ und dem dazugehörigen Funktionswert $f(x)\in Z$ als Relation zwischen $x$ und $f(x)$ auf. Nach der Definition der Relation ist dann $f$ eine Teilmenge des kartesischen Produkts $D\times Z$.

Jedoch erfüllt nicht jede Relation zwischen $D$ und $Z$ die Eigenschaft der Abbildung, dass jedem Argument $x\in D$ genau ein Funktionswert $f(x)\in Z$ zugeordnet wird. Dementsprechend muss eine Relation $f\subseteq D\times Z$ folgende zusätzliche Eigenschaften erfüllen, um eine Abbildung zu sein:

1. Jedes Element $x$ des Definitionsbereichs $D$ muss in mindestens einer Relation zu einem Element $y\in Z$ der Zielmenge stehen.
2. Für jedes Element $x$ des Definitionsbereiches $D$ gibt es höchstens ein Element $y\in Z$ der Zielmenge, mit dem $x$ in Relation steht.

Frage: Wie lauten die obigen Aussagen in formaler, aussagenlogischer Schreibweise?

1. $\forall x\in D: \exists y\in Z: (x,y)\in f$
2. $\forall x\in D: \forall y_1, y_2 \in Z: (x,y_1)\in f \and (x,y_2)\in f \Rightarrow y_1=y_2$

Definition (Definition von Abbildungen durch Relationen):

Eine Abbildung $f:D\rightarrow Z$ ist eine Relation $f\subseteq D\times Z$ zwischen den Mengen $D$ und $Z$, welche folgende Eigenschaften erfüllt:

1. Jedes Element $x$ des Definitionsbereichs $D$ muss in mindestens einer Relation zu einem Element $y\in Z$ der Zielmenge stehen.
2. Für jedes Element $x$ des Definitionsbereiches $D$ gibt es höchstens ein Element $y\in Z$ der Zielmenge, mit dem $x$ in Relation steht.

Eigenschaften von Abbildungen

Eigenschaft	Definition	Definition in formaler Schreibweise	Beispiel
injektiv	Verschiedene Argumente werden auf verschiedene Funktionswerte abgebildet. Jeder Funktionswert besitzt höchstens ein Urbild. Ist $f(x_1)=f(x_2)$, dann ist $x_1=x_2$	$\forall x_1, x_2 \in D: f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$ oder äquivalent: $\forall x_1, x_2 \in D: x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$
surjektiv	Jeder Funktionswert wird mindestens einmal durch die Abbildung getroffen. Jeder Funktionswert besitzt mindestens ein Urbild.	$\forall y\in Z: \exists x\in D: y=f(x)$
bijektiv bzw. umkehrbar	Die Abbildung ist surjektiv und injektiv. Jeder Funktionswert besitzt genau ein Urbild. Es gibt für die Funktion eine Umkehrfunktion.

Wieso sind Abbildungen mit obigen Eigenschaften cool?

Bildung der Umkehrfunktion

injektiv: Injektive Abbildungen $f$ haben die schöne Eigenschaft, dass aus der Gleichung $f(a)=f(b)$ automatisch $a=b$ folgt. Dies ist insbesondere bei der Umformung von Gleichungen hilfreich.

bijektiv: Bijektive Abbildungen $f:D\rightarrow Z$ sind umkehrbar. Dies bedeutet, dass man eine neue Abbildung $f^{-1} : Z\rightarrow D$ von der ursprünglichen Zielmenge in die ursprüngliche Definitionsmenge definieren kann, so dass $f^{-1}\left( f(x) \right) = x$ für alle $x\in D$ ist.

Identität von Abbildungen

Wann sind zwei Abbildungen identisch? Intuitiv könnte man antworten, dass zwei Abbildungen genau dann identisch sind, wenn sie dieselbe Zuordnungsvorschrift besitzen. Die Identität der Zuordnungsvorschrift ist aber nicht ausreichend. Dies werde ich dir an folgendem Beispiel zeigen:

Frage: Welche der folgenden Funktionen sind injektiv und welche sind surjektiv?

• $f_1: \R \rightarrow \R: x\mapsto x^2$
• $f_2: \R^{+}_0 \rightarrow \R: x\mapsto x^2$
• $f_3: \R \rightarrow \R^{+}_0: x\mapsto x^2$
• $f_4: \R^{+}_0 \rightarrow \R^{+}_0: x\mapsto x^2$

• weder injektiv noch surjektiv
• injektiv aber nicht surjektiv
• nicht injektiv aber surjektiv
• injektiv und surjektiv

Am obigen Beispiel erkennst du, dass die Abbildungen $f_1$ bis $f_4$ zwar dieselbe Zuordnungsvorschrift $x\mapsto x^2$, aber dennoch unterschiedliche Eigenschaften besitzen, da sie unterschiedliche Definitions- und Zielmengen haben. Dementsprechend können $f_1$ bis $f_4$ nicht identisch sein, da identische Abbildungen auch identische Eigenschaften haben sollten.

Die Zuordnungsvorschrift ist für die Identität zweier Abbildungen ein zu schwaches Kriterium. Es zeigt sich, dass für die Identität zweier Abbildungen neben der Zuordnungsvorschrift auch die Definitions- und die Zielmenge beider Abbildungen gleich sein müssen:

Definition (Identität von Abbildungen):

Zwei Abbildungen $f:A\rightarrow B$ und $g: C\rightarrow D$ sind genau dann identisch, wenn $A=C$, $B=D$ und $f(x)=g(x)$ für alle $x\in A=C$ ist.

Funktionskomposition

Die Funktionskomposition

Seien zwei Abbildungen $f:A\rightarrow B$ und $g: B\rightarrow C$ gegeben. Die Komposition $g\circ f$ dieser beiden Abbildungen ist diejenige Abbildung von $A\rightarrow C$, die jedes $x\in A$ auf $g(f(x))$ abbildet:

Definition (Komposition von Abbildungen):

Die Komposition zweier Abbildungen $f:A\rightarrow B$ und $g: B\rightarrow C$ ist definiert durch

$g\circ f: A\rightarrow C: x\mapsto (g\circ f)(x) := g(f(x))$

Hinweis:

Beachte dass in der Schreibweise für die Funktionskomposition $g\circ f$ diejenige Funktion, die zuerst angewandt wird, rechts steht (Hier musst du also „von rechts nach links“ lesen)

Ich möchte dir gerne noch den Unterschied in der Schreibweise $(g\circ f)(x)$ und $g(f(x))$ erklären. In der Schreibweise $(g\circ f)(x)$ wird zunächst die Abbildung $f$ mit der Abbildung $g$ verknüpft. Es entsteht eine neue Abbildung $g\circ f$. Diese Abbildung $g\circ f$ wird dann beim Argument $x$ ausgewertet und man erhält den Funktionswert $(g\circ f)(x)$.

Beim Ausdruck $g(f(x))$ wird zunächst die Funktion $f$ an der Stelle $x$ ausgewertet und man erhält den Funktionswert $f(x)$. Dieser Funktionswert $f(x)$ wird dann als Argument in der Abbildung $g$ verwendet und man erhält den Funktionswert $g(f(x))$.

Die Gleichung $(g\circ f)(x) := g(f(x))$ der obigen Definition in kommentierter Version lautet dann:

$\underbrace{\underbrace{(\underbrace{g}_{\text{Funktion }B\rightarrow C}\circ \underbrace{f}_{\text{Funktion }A\rightarrow B})}_{\text{Funktion }A\rightarrow C}(\underbrace{x}_{\text{Objekt aus }A})}_{\text{Objekt aus }C} \quad \underbrace{:=}_\text{ist definiert durch} \quad \underbrace{\underbrace{g}_{\text{Funktion }B\rightarrow C}(\underbrace{\underbrace{f}_{\text{Funktion }A\rightarrow B}(\underbrace{x}_{\text{Objekt aus }A})}_{\text{Objekt aus }B})}_{\text{Objekt aus }C}$

Verständnisfrage: Sei $f:\R\rightarrow \R: x\mapsto |x|$ und $g:\R\rightarrow \R:x\mapsto x-2$. Berechne

• $(f\circ g)(3) = ?$
• $(g\circ f)(3) = ?$
• $(f\circ g)(-3) = ?$
• $(g\circ f)(-3) = ?$

• $(f\circ g)(3) = |3-2| = 1$
• $(g\circ f)(3) = |3|-2 = 1$
• $(f\circ g)(-3) = |-3-2| = 5$
• $(g\circ f)(-3) = |-3|-2 = 1$

Verständnisfrage: Seien $f$ und $g$ zwei Abbildungen von $\R$ nach $\R$. Gilt dann $f\circ g= g\circ f$? Wieso?

Nein, dies ist nicht der Fall. Sei zum Beispiel $f: \R \rightarrow \R: x \mapsto x^2$ und $g: \R \rightarrow \R: x \mapsto x+1$. Dann ist nämlich

$f\circ g : \R \rightarrow \R: x \mapsto (x+1)^2$

und

$g\circ f : \R \rightarrow \R: x \mapsto x^2+1$

Hier sieht man, dass $f\circ g \ne g\circ f$ ist. Beispielsweise ist $(f\circ g)(1) = (1+1)^2 = 4 \ne 2 = 1^2+1 = (g\circ f)(1)$.