Mathe für Nicht-Freaks: Abbildung: Zusammenfassung

Mind Map

Eigenschaften von Abbildungen

Die folgende Tabelle bezieht sich auf Abbildungen $f:D\rightarrow Z$.

Eigenschaft	Definition	Definition in formaler Schreibweise	Beispiel
injektiv	Verschiedene Argumente werden auf verschiedene Funktionswerte abgebildet. Jeder Funktionswert besitzt höchstens ein Urbild. Ist $f(x_1)=f(x_2)$, dann ist $x_1=x_2$	$\forall x_1, x_2 \in D: f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$ $\forall x_1, x_2 \in D: x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$
surjektiv	Jeder Funktionswert wird mindestens einmal durch die Abbildung getroffen. Jeder Funktionswert besitzt mindestens ein Urbild.	$\forall y\in Z: \exists x\in D: y=f(x)$
bijektiv bzw. umkehrbar	Die Abbildung ist surjektiv und injektiv. Jeder Funktionswert besitzt genau ein Urbild. Es gibt für die Funktion eine Umkehrfunktion.

Eigenschaften binärer Verknüpfungen

Die folgende Tabelle bezieht sich auf binäre Verknüpfungen auf der Grundmenge $A$.

Eigenschaft	Definition	Definition in formaler Schreibweise
assoziativ	Werden mehrere Verknüpfungen hintereinander ausgeführt, ist die Reihenfolge, in welcher die einzelnen Verknüpfungen ausgerechnet werden, für das Ergebnis egal	$\forall x,y,z\in A: (x \circ y)\circ z = x \circ (y \circ z)$
kommutativ	Für das Ergebnis ist die Reihenfolge der Operanden egal	$\forall x,y\in A: x\circ y = y \circ x$