Mathe für Nicht-Freaks: Folge: Beispiele

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In diesem Abschnitt siehst du einige konkrete Beispiele für Folgen. Im nächsten Abschnitt (wenn die Eigenschaften reeller Zahlenfolgen behandelt werden), werden weitere Beispiele genannt.

Reelle Folgen[Bearbeiten]

Harmonische Folge[Bearbeiten]

Harmonische Folge.svg

Wie bereits im vorherigen Kapitel angesprochen wird die Folge a_n=\tfrac{1}{n}, also die Folge \left(a_n\right)_{n\in\N}=1,\,\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{3},\,\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{5},\,\ldots, harmonische Folge genannt. Diese Folge wird uns noch öfters beschäftigen.

Die Folge a_n=(-1)^n \cdot \tfrac{1}{n} bzw. b_n=(-1)^{n+1} \cdot \tfrac{1}{n}, also die Folge \left(a_n\right)_{n\in\N}=-1,\,\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{3},\,\tfrac{1}{4},\,-\tfrac{1}{5},\,\ldots bzw. \left(b_n\right)_{n\in\N}=1,\,-\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{3},\,-\tfrac{1}{4},\,+\tfrac{1}{5},\,\ldots, nennt man alternierende harmonische Folge.

Folge der Fibonacci-Zahlen[Bearbeiten]

Fibonacci-Folge.svg

Die Fibonacci-Folge ist eine in der Mathematik besonders populäre Folge, auf die 1202 der Mathematiker Leonardo Fibonacci stieß (dementsprechend der Name der Folge). Er untersuchte das Verhalten einer Kaninchenpopulation, für die er folgende Regeln aufstellte:

  1. Zu Beginn gibt es ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen.
  2. Jedes neugeborene Paar wird im zweiten Lebensmonat geschlechtsreif.
  3. Jedes geschlechtsreife Paar wirft pro Monat ein weiteres Paar.
  4. Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Lebensraum, so dass kein Tier die Population verlassen und keines von außen hinzukommen kann. Es stirbt auch kein Kaninchen.
Frage: Wie lautet die rekursive Definition der Fibonacci-Zahlen?

Die rekursive Definition lautet:

f_0 = 0
f_1 = 1
f_{n+2} = f_{n+1} + f_n

Dabei ist f_n die Anzahl der geschlechtsreifen Kaninchenpaare nach n Monaten.


Komplexe Folgen[Bearbeiten]

Wie bereits im vorherigen Kapitel angesprochen sind komplexe Folgen Folgen von komplexen Zahlen. So z. B. die Folge a_n=i^n mit den Folgenglieder \left(a_n\right)_{n\in\N} = 1,\,i,\,-1,\,-i,\,1,\,i,\,\ldots

Folgen von Mengen[Bearbeiten]

Es können aber auch Folgen anderer mathematischer Objekte betrachtet werden. So zum Beispiel Folgen von Mengen. Hier einige Beispiele

Bildungsgesetz erste Folgenglieder
M_n = \{k\in\N\,|\,k\le n\} \left(M_n\right)_{n\in\N} = \{1\},\,\{1,\,2\},\,\{1,\,2,\,3\},\,\{1,\,2,\,3,\,4\},\,\ldots
M_n = \left( -\tfrac{1}{n},\, \tfrac{1}{n}\right) \left(M_n\right)_{n\in\N} = \left( -1,\, 1\right),\,\left( -\tfrac{1}{2},\, \tfrac{1}{2}\right),\,\left( -\tfrac{1}{3},\, \tfrac{1}{3}\right),\,\left( -\tfrac{1}{4},\, \tfrac{1}{4}\right),\,\ldots


Illustration nested intervals.svg

In der Analysis werden uns noch Folgen von Intervallen begegnen, die immer kleiner werden und die sich ineinander enthalten, die also ineinander verschachtelt sind. Eine solche Folge von Intervallen wird Intervallschachtelung genannt. Rechts befindet sich ein Diagramm mit den ersten 4 Intervallen einer solchen Intervallschachtelung.

Folgen von Funktionen[Bearbeiten]

Family of parabolas.svg

Aber auch Folgen von Funktionen können auftreten. So sind rechts die Kurven der ersten 5 Glieder der Funktionenfolge f_n : x \rightarrow \tfrac{x^2}{n} eingezeichnet. Funktionenfolgen werden uns vor allem am Ende von Analysis 1 beschäftigen.