Mathe für Nicht-Freaks: Folge: Eigenschaften reeller Folgen

Konstante Folge

Beispiel einer konstanten Folge: $a_n=2$

Eine Folge heißt konstant, wenn alle ihre Folgenglieder gleich sind. So ist die Folge $\left(a_n\right)_{n\in\N} = 2$, also $\left(a_n\right)=2,\,2,\,2,\,2,\,2,\,\ldots$ eine konstante Folge.

Arithmetische Folgen

Beispiel für eine arithmetische Folge: $\left(a_n\right)_{n\in\N} = n$

Arithmetische Folgen haben die Eigenschaft, dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. So ist die Folge der ungeraden, natürlichen Zahlen eine arithmetische Folge, da sie eine konstante Differenz zwischen 2 Folgengliedern besitzt (Differenz ist 2):

$\left(a_n\right) =1,\,3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,\ldots$

Ein weiteres Beispiel ist die Folge $a_n = n$ mit:

$\left(a_n\right) = 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,\ldots$

Frage: Wie lautet die allgemeine rekursive Formel der arithmetischen Folge?

Das erste Folgenglied $a_0$ ist beliebig (wir fangen jetzt bei $n=0$ an). Das nächste Folgenglied hat eine konstante Differenz zu $a_0$. Nennen wir diese Differenz $d$. Damit muss $a_1-a_0=d$ und somit $a_1=a_0+d$ sein. Analog ist wegen $a_2-a_1=d$ das Folgenglied $a_2=a_1+d$ und so weiter. Damit haben wir die rekursive Definition:

$a_0$ beliebig

$a_{n+1}=a_n+d$

Den Beweis dieses Bildungsgesetzes kannst du gut über vollständige Induktion führen. Versuche es mal!

Frage: Wie lautet die allgemeine explizite Formel der arithmetischen Folge?

Die rekursive Formel für die arithmetische Formel lautet $a_{n+1}=a_n+d$. Das heißt $a_1=a_0+d$ und $a_2=a_1+d$. Also ist $a_2=(a_0+d)+d = a_0 +2\cdot d$. Analog ist $a_3=a_2+d=(a_0+2\cdot d)+d= a_0 +3\cdot d$. Damit erhält man die explizite Formel (die du auch mit vollständiger Induktion beweisen kannst):

$a_{n}=n\cdot d+a_0$

Geometrische Folge

Beispiel einer geometrischen Folge: $a_n = 2^n$

Bei der geometrischen Folge ist das Verhältnis zweier, aufeinander folgender Folgenglieder konstant. Dabei darf kein Folgenglied 0 sein, da man sonst kein Verhältnis zum nächsten Folgenglied bilden könnte. Ein Beispiel hierfür ist die Zahlenfolge $a_n = 2^n$ mit dem konstantem Verhältnis 2:

$\left(a_n\right) = 2,\,4,\,8,\,16,\,32,\,64,\,\ldots$

Frage: Wie lautet die allgemeine rekursive Formel der geometrischen Folge?

Das erste Folgenglied $a_0 \ne 0$ ist beliebig. Das nächste Folgenglied steht im konstanten Verhältnis zu $a_0$. Nennen wir diese Verhältnis $q \ne 0$. Damit muss $a_1 : a_0=q$ und somit $a_1=a_0\cdot q$. Analog ist wegen $a_2:a_1=d$ das Folgenglied $a_2=a_1\cdot q$ und so weiter. Damit haben wir die rekursive Definition:

$a_0$ beliebig, aber ungleich 0

$a_{n+1}=a_n\cdot q$

Frage: Wie lautet die allgemeine explizite Formel der geometrischen Folge?

Die rekursive Formel für die arithmetische Formel lautet $a_{n+1}=a_n\cdot q$. Das heißt $a_1=a_0\cdot q$ und $a_2=a_1\cdot q$. Also ist $a_2=a_0\cdot q^2$. Analog ist $a_3= a_0\cdot q^3$. Damit lautet die explizite Formel einer geometrischen Folge:

$a_n=a_0\cdot q^n$

Auch die obigen beiden Formeln, kann man über vollständige Induktion beweisen.

Alternierende Folgen

Beispiel einer alternierenden Folge: $\left(a_n\right)_{n\in\N} = (-1) ^n$

Bei einer alternierenden Folge ändert sich das Vorzeichen zwischen zwei Folgenglieder (Alternierend $\mathrel{\widehat{=}}$ Vorzeichenwechsel). So wechselt bei der Folge $\left(a_n\right)_{n\in\N} = (-1)^n$ der Wert immer zwischen 1 und -1, so dass diese Folge eine alternierende Folge ist. Ein weiteres Beispiel ist die Folge $\left(a_n\right)_{n\in\N} = (-1) ^{n+1} \cdot n$ mit $\left(a_n\right) = 1,\,-2,\,3,\,-4,\,5,\,-6,\,\ldots$. Allgemein lässt sich jede alternierende Folge in eine der folgenden Formen bringen:

1. $\left(a_n\right)_{n\in\N}=(-1)^n \cdot b_n$
2. $\left(a_n\right)_{n\in\N}=(-1)^{n+1} \cdot b_n$

wobei $b_n = |a_n|$ eine Folge nicht-negativer Zahlen ist.

Frage: Welche alternierende Folgen lassen sich in welche der 2 obigen Formen bringen?

Dies kommt darauf an, welches Vorzeichen das erste Folgenglied hat und bei welchem Index die Folge startet. Ist das erste Folgenglied positiv und der erste Index die 0 lautet die Form, $a_n=(-1)^n \cdot b_n$. Ist das erste Folgenglied negativ, lautet die Form $a_n=(-1)^{n+1} \cdot b_n$. Wenn der erste Index die 1 ist, ist es genau umgekehrt. Wenn das erste Folgenglied die 0 ist, muss man die nachfolgenden Glieder betrachten.

Beschränkte Folge

Ein Beispiel einer beschränkten Folge ($a_n = (-1)^{n+1} \cdot \tfrac{1}{n}$) mit einigen eingezeichneten Schranken.

Wenn du dir die obigen Beispiele für Folgen anschaust, gibt es Folgen deren Glieder unendlich groß (oder klein) werden und Folgen, die nach oben und/oder nach unten beschränkt sind. Eine Folge nennt man in der Mathematik nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die die Folgenglieder nie überschreiten ). Eine solche reelle Zahl wird obere Schranke der Folge genannt (diese Zahl schränkt die Folge nach oben hin ab).

Damit ergibt sich folgende Definition einer nach oben beschränkten Folge:

$\left( a_n \right)_{n\in\N} \mathrm{\ ist\ nach\ oben\ beschr\ddot ankt\ } \ :\Longleftrightarrow\ \exists S \in \R:\ \forall n \in \N:\ a_n \le S$

oder kommentiert:

$\left( a_n \right)_{n\in\N} \mathrm{\ ist\ nach\ oben\ beschr\ddot ankt\ } \ \underbrace{:\Longleftrightarrow}_{\mathrm{...\ ist\ definiert\ durch\ ...}}\quad \underbrace{\exists S \in \R:}_{\mathrm{es\ existiert\ eine\ obere\ Schranke\ } S} \quad \underbrace{\forall n \in \N}_{\mathrm{f\ddot ur\ alle\ Indizies\ } n}\quad \underbrace{a_n \le S}_{\mathrm{Folgenglied\ mit\ Index\ } n \mathrm{\ ist\ kleiner\ als\ } S}$

Analog ist eine Folge nach unten beschränkt, wenn sie eine untere Schranke besitzt, wenn es also eine reelle Zahl gibt, die die Folgenglieder nicht unterschreiten. Dementsprechend ist die untere Beschränktheit definiert mit:

$\left( a_n \right)_{n\in\N} \mathrm{\ ist\ nach\ unten\ beschr\ddot ankt\ } \ :\Longleftrightarrow\ \exists s \in \R:\ \forall n \in \N:\ a_n \ge s$

Frage: Was bedeutet es mathematisch, wenn man sagt, eine Folge ist nicht nach oben (bzw. nach unten) beschränkt?

Hier helfen dir die obigen Definitionen, die du schrittweise negierst (Siehe den Artikel „Aussagen negieren“). Du erhälst:

$\left( a_n \right)_{n\in\N} \mathrm{\ ist\ nicht\ nach\ oben\ beschr\ddot ankt\ } \ :\Longleftrightarrow\ \forall S \in \R:\ \exists n \in \N:\ a_n > S$

Dies heißt übersetzt: Für alle reellen Zahlen $S$ gibt es mindestens ein Folgenglied, das größer als diese Zahl $S$ ist. Analog ist:

$\left( a_n \right)_{n\in\N} \mathrm{\ ist\ nicht\ nach\ unten\ beschr\ddot ankt\ } \ :\Longleftrightarrow\ \forall s \in \R:\ \exists n \in \N:\ a_n < s$

Und damit: Für alle reellen Zahlen $s$ gibt es mindestens ein Folgenglied, das kleiner als diese Zahl $s$ ist.

Wenn eine Folge sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist, nennt man diese Folge beschränkt. Damit haben wir die Definitionen:

Definition (Beschränkte Folge): Eine Folge $\left(a_n\right)_{n\in\N}$ heißt nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl $S \in \R$ gibt, so dass alle Folgenglieder der Folge kleiner oder gleich $S$ sind. Die reelle Zahl $S$ nennt man eine obere Schranke der Folge. Eine reelle Folge $\left(a_n\right)_{n\in\N}$ heißt nach unten beschränkt, wenn es eine reelle Zahl $s \in \R$ gibt, so dass alle Folgenglieder der Folge größer oder gleich $s$ sind. Die reelle Zahl $s$ nennt man eine untere Schranke der Folge. Eine reelle Folge heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist.

Warnung: Eine obere Schranke muss nicht zwangsläufig die kleinstmögliche, obere Schranke sein und eine untere Schranke nicht unbedingt die größtmögliche! Wenn zum Beispiel eine Folge nach oben durch 1 beschränkt ist, ist sie auch durch 2; 502 und 44,123 nach oben beschränkt. Um zu zeigen, dass eine Folge nach oben beschränkt ist, reicht es irgendeine beliebige obere Schranke anzugeben (auch wenn sie noch so groß sein sollte).

Es gibt aber auch eine alternative Definition für Beschränktheit:

Definition (Alternative Definition der Beschränktheit): Eine Folge ist beschränkt, wenn es eine reelle Zahl $S' \ge 0$ gibt, so dass für alle Folgenglieder $a_n$ die Ungleichung $|a_n| \le S'$ gilt.

Frage: Wieso sind beide Definitionen einer beschränkten Folge gleichwertig?

Zu zeigen ist folgende Äquivalenz:

$\begin{align} (\exists S \in \R:\ \forall n \in \N:\ a_n \le S) &\ \and\ (\exists s \in \R:\ \forall n \in \N:\ a_n \ge s) \\ &\Longleftrightarrow \\ (\exists S' \in \R_{\ge 0}:\ \forall n& \in \N:\ |a_n| \le S') \\ \end{align}$

oder in der kommentierten Version:

$\begin{align} \overbrace{ \underbrace{ (\exists S \in \R:\ \forall n \in \N:\ a_n \le S) }_{a_n \mathrm{\ ist\ nach\ oben\ beschr\ddot ankt}} \ \and \underbrace{ (\exists s \in \R:\ \forall n \in \N:\ a_n \ge s) }_{a_n \mathrm{\ ist\ nach\ unten\ beschr\ddot ankt}} }^{\mathrm{erste\ Definition}} \\ \underbrace{\Longleftrightarrow}_{\mathrm{...\ ist\ gleichwertig\ mit\ ...}} \quad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ \underbrace{(\exists S' \in \R_{\ge 0}:\ \forall n \in \N:\ |a_n| \le S')}_{\mathrm{alternative\ Definition}} \qquad\qquad\qquad\\ \end{align}$

Wir müssen also eine Äquivalenz beweisen, was bedeutet, dass wir beide Richtungen des obigen Äquivalenzpfeils beweisen müssen. Nehmen wir zunächst die erste Richtung: Sei die erste Definition erfüllt; es gibt also reelle Zahlen $S,s\in\R$, so dass für alle Folgenglieder $s\le a_n\le S$ gilt. Dann ist für alle Folgenglieder $|a_n| \le \mathrm{max}\{|s|,\,|S|\}$. Damit ist die Existenz von $S'$ für die alternative Definition bewiesen ($S'$ kann jede positive, reelle Zahl größer gleich $\mathrm{max}\{|s|,\,|S|\}$ sein).

Und wie sieht es mit der anderen Richtung aus? Sei nun ein $S'\in\R_{>0}$ gegeben, mit $|a_n| < S'$ für alle Folgenglieder. Dann gilt für alle Folgenglieder die Ungleichung $-S' \le a_n \le S'$. Damit stellt $-S'$ eine untere Schranke und $S'$ eine obere Schranke für die Folge $\left(a_n\right)_{n\in\N}$ dar, so dass die Folge auch unter der ersten Definition beschränkt ist.

Frage: Welche der bisher betrachteten Folgen ist unter welchen Vorausetzungen beschränkt, nach oben beschränkt oder nach unten beschränkt?

Konstante Folge: beschränkt.

Arithmetische Folge: Für $d > 0$ ist die Folge nach unten durch $a_0$ beschränkt und nach oben unbeschränkt. Für $d < 0$ ist die Folge nach oben durch $a_0$ und nach unten unbeschränkt. Für $d = 0$ ist die Folge konstant und damit beschränkt.

Geometrische Folge: Für $|q| \le 1$ ist die Folge beschränkt. Für $q > 1$ und $a_0 > 0$ ist die Folge nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt (für $a_0 < 0$ ist es umgekehrt). Für $q < -1$ ist die Folge weder nach oben, noch nach unten beschränkt.

Harmonische und alternierende harmonische Folge: beschränkt.

Fibonacci-Folge: nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt.

Monotone Folgen

Folgen werden auch nach ihrem Wachstumsverhalten unterschieden: Wenn eine Folge mit jedem Folgenglied wächst (also jedes nachfolgende Folgenglied $a_{n+1}$ größer als $a_n$ ist), nennt man diese Folge eine streng monoton wachsende Folge. Analog heißt eine immer kleiner werdende Folge streng monoton fallende Folge. Wenn man bei diesen Begriffen auch zulassen möchte, dass eine Folge zwischen 2 Folgengliedern konstant sein darf, nennt man die Folge monoton wachsende Folge oder monoton fallende Folge (Merke dir: streng monoton bedeutet soviel, wie immer größer oder kleiner werdend und nur monoton, ohne das streng, bedeutet soviel, wie immer größer werdend oder konstant bleibend oder immer kleiner werdend oder konstant bleibend). Wir erhalten folgende Definition:

Definition (Monotone Folgen): Für eine reelle Folge $\left(a_n\right)_{n\in\N}$ gilt: $\begin{alignat}{2} & \left(a_n\right)_{n\in\N} \mathrm{w\ddot achst\ streng\ monoton}\ && :\Longleftrightarrow\ \forall n \in \N:\ a_{n+1} > a_n \\ & \left(a_n\right)_{n\in\N} \mathrm{w\ddot achst\ monoton}\ && :\Longleftrightarrow\ \forall n \in \N:\ a_{n+1} \ge a_n \\ & \left(a_n\right)_{n\in\N} \mathrm{f\ddot allt\ streng\ monoton}\ && :\Longleftrightarrow\ \forall n \in \N:\ a_{n+1} < a_n \\ & \left(a_n\right)_{n\in\N} \mathrm{f\ddot allt\ monoton}\ && :\Longleftrightarrow\ \forall n \in \N:\ a_{n+1} \le a_n \\ \end{alignat}$

Frage: Welche der bisher betrachteten Folgen ist unter welchen Vorrausetzungen monoton fallend und monoton steigend? Welche besitzen ein strenges Monotonieverhalten?

Konstante Folge: gleichzeitig monoton fallend und steigend, aber kein strenges Monotonieverhalten.

Arithmetische Folge: Für $d > 0$ ist die Folge streng monoton steigend. Für $d < 0$ ist die Folge streng monoton fallend. Für $d = 0$ ist die Folge konstant (siehe obige Antwort).

Geometrische Folge: Für $q > 1$ und $a_0 > 0$ streng monoton steigend und für $a_0<0$ streng monoton fallend. Für $0 < q < 1$ und $a_0 > 0$ streng monoton fallend und für $a_0<0$ streng monoton steigend. Für $q < 0$ ist die Folge weder monoton steigend noch fallend. Für $q=1$ ist die Folge konstant (siehe obige Antwort).

Harmonische Folge: streng monoton fallend.

Alternierende harmonische Folge: nichts.

Fibonacci-Folge: streng monoton wachsend.

Konvergente Folgen

Folgen werden auch dahingehend unterschieden, ob sie einen Grenzwert besitzen oder nicht. Man nennt sie dann konvergent beziehungsweise divergent. Diese Eigenschaft wird jedoch erst später im Abschnitt „Der Grenzwert“ behandelt. Diese Eigenschaft wurde hier nur zur Vollständigkeit genannt.