Mathe für Nicht-Freaks: Logik

Warum Logik für die Mathematik wichtig ist

Logik ist als Lehre des vernünftigen Schlussfolgerns die Sprache der Mathematik. In dieser Sprache werden mathematische Sätze formuliert und Beweise geführt. Sie genügt der Anforderung der Mathematik, dass alle in ihr formulierten Ausdrücke eine klare, scharf definierte Bedeutung haben. Dabei ist das richtige Schließen aus logischen Ausdrücken nicht immer so einfach, wie man zunächst glaubt. Oftmals verführt uns unsere Intuition zu Schlüssen, die sich beim genaueren Hinschauen als falsch herausstellen. Der richtige Umgang mit logischen Ausdrücken ist einer der Schlüssel, um Mathematik zu verstehen und zu beherrschen. Deswegen beschäftigen wir uns in diesem Kapitel mit logischen Ausdrücken und wie man mit ihnen umgeht.

Mehrdeutigkeit natürlicher Sprachen

Zunächst möchte ich dir an einigen Beispielen zeigen, warum die Deutsche Sprache (oder andere natürliche Sprachen) nicht geeignet sind, um sich allein in ihr über mathematische Problemstellungen zu unterhalten.

Frage: Welche Bedeutung haben die folgenden Aussagen?

Aussage: Elisabeth hat 2 Kinder.

a) Elisabeth hat genau 2 Kinder.

b) Elisabeth hat mindestens 2 Kinder.

c) Elisabeth hat höchstens 2 Kinder.

Aussage: Ich trinke Wein oder gehe ins Kino.

a) Ich trinke Wein und/oder gehe ins Kino.

b) Ich trinke entweder Wein oder ich gehe ins Kino.

Aussage: Ich sehe auf dem Dach Robert mit dem Fernglas.

a) Ich bin auf dem Dach und sehe durch mein Fernglas Robert.

b) Ich bin auf dem Dach und sehe Robert, der ein Fernglas hat.

c) Ich sehe durch mein Fernglas Robert, der auf dem Dach ist.

d) Ich sehe Robert, der auf dem Dach ist und ein Fernglas hat.

Du siehst, dass viele Sätze unserer Alltagssprache (beabsichtigt oder unbeabsichtigt) mehrdeutig sind. Sicherlich kennst du noch weitere Beispiele für Sätze, die mehrdeutig sind. Überlege, wie oft es dir schon passiert ist, dass dich jemand missverstanden hat.

Wegen diesen Mehrdeutigkeiten kann eine natürlichen Sprache in der Mathematik zur Kommunikation nicht verwendet werden. Stell dir vor, Mathematiker würden eine unterschiedliche Auffassung über mathematische Objekte haben, weil die ihnen zugrunde liegende Definition auf unterschiedliche Weisen verstanden werden kann. Ein sinnvolles mathematisches Arbeiten ist dann schlicht nicht möglich! Deswegen ist es wichtig, einen Werkzeugsatz zu haben, mit dem ganz klar definierte Aussagen formuliert werden können und in welchem es klare Regeln gibt, wie man aus bestehenden Aussagen neue herleitet. Dieses System ist für die Mathematik die Logik, die ich dir in diesem Kapitel vorstellen werde.

Hinweis:

Es wurden bisher mehrere logische Systeme entwickelt. Das System, welches ich dir im Folgenden vorstelle, wird Klassische Logik genannt.

Grundlegende Begriffe der Aussagenlogik

Der kleinste Baustein der Logik ist die Aussage

Der grundlegende Begriff der Aussagenlogik ist die Aussage. Eine Aussage ist ein aus Wörtern und/oder mathematischen Zeichen aufgebauter Ausdruck, bei dem es sinnvoll ist zu sagen, ob dieser Ausdruck wahr oder falsch ist. Aussagen sind damit Ausdrücke, denen man sinnvoll einen Wahrheitswert zuordnen kann. Man kann sie also für die Punkte im folgendem Satzfragment einsetzen:

Ist es wahr, dass gilt: ... ?

So ist der Ausdruck „5 ist eine Primzahl.“ eine Aussage, da die Frage „Ist es wahr, dass gilt: 5 ist eine Primzahl?“ sinnvoll gestellt und beantwortet werden kann. Demgegenüber ist die Frage „Ist 5 eine Primzahl?“ keine Aussage, da der Ausdruck „Ist es wahr, dass gilt: Ist 5 eine Primzahl? ?“ keine sinnvolle Frage ist (Beachte das doppelte Fragezeichen). Damit folgt, dass Fragen, Satzfragmente und Befehle keine Aussagen sind, da ihnen nicht sinnvoll ein Wahrheitswert zugeordnet werden kann. Auch sprachliche Gebilde wie „$x\ge 5$“, die freie Variablen besitzen, sind keine Aussagen. Dies liegt daran, dass bei solchen Ausdrücken der Wahrheitswert von der Belegung der Variablen abhängt. So ist „$x\ge 5$“ für die Belegung $x=42$ wahr und für $x=1$ falsch und es kann deshalb nicht eindeutig entschieden werden, ob dieser Ausdruck wahr oder falsch ist.

Eine Aussage kann nur genau einen der sogenannten Wahrheitswerte „wahr“ oder „falsch“ besitzen (dies wird auch das „ Prinzip der Zweiwertigkeit“ genannt). Dabei nutzt man für den Wahrheitswert „wahr“ oftmals das Symbol $\mathrm W, w$ oder $1$ und für „falsch“ $\mathrm F, f$ oder $0$.

Ausdruck	Ist der Ausdruck eine Aussage?	Ist die Aussage wahr oder falsch?
10 ist eine gerade Zahl.	Aussage	wahr
5 ist durch 3 teilbar.	Aussage	falsch
Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge.	Aussage	Bis heute weiß man nicht, ob diese Aussage wahr ist oder falsch.
Schläfst du schon?	keine Aussage	-
Geh in die Schule!	keine Aussage	-
$5+4-7x$	keine Aussage	-
$x>0$ oder $x=0$ oder $x<0$	keine Aussage	-
Boah, Alter, geil mann...	keine Aussage	-

Aussagen begegnen dir überall in der Mathematik. Alle Sätze, Hilfesätze und Axiome sind als wahre Aussagen formuliert. Wenn du dir einen Beweis anschaust, so ist dieser eine Folge von Aussagen, welche aufeinander aufbauen und in (logischen) Beziehungen zueinander stehen (zum Beispiel kann eine Aussage eine Schlussfolgerung aus einer anderen Aussage sein). Dementsprechend ist es für dich als Mathematikstudent oder -interessierten wichtig, dass du mit Aussagen richtig umgehen kannst, also zum Beispiel die innere Struktur einer Aussage erkennst und sie richtig negieren kannst sowie häufige Fehler im logischen Schlussfolgern vermeidest.

Verständnisfrage: Welche der folgenden Ausdrücke sind Aussagen?

1. Alle Raben sind weiß.
2. $5 + 7$
3. $5 \ge 7$
4. $5+7=6$
5. Ist $5+7=12$?

Antwort:

1. Aussage
2. keine Aussage
3. Aussage
4. Aussage
5. keine Aussage

Unentscheidbare Ausdrücke

Aber Vorsicht: Es gibt Ausdrücke, die auf dem ersten Blick wie eine Aussage aussehen, denen aber kein Wahrheitswert zugeordnet werden kann. Einer diese Ausdrücke ist „Dieser Satz ist falsch“. Du kannst zwar sinnvoll fragen, ob dieser Ausdruck wahr oder falsch ist - du kannst dies aber nicht sinnvoll entscheiden. Egal welchen Wahrheitswert du dieser Aussage zurechnest, du landest immer bei einem Widerspruch (Probier es aus!). Dementsprechend handelt es sich bei diesem Ausdruck um keine Aussage.

Unentscheidbare Ausdrücke können insbesondere dann auftreten, wenn diese einen Selbstbezug aufweisen. Dieser Selbstbezug ist bereits im obigen Beispiel „Dieser Satz ist falsch.“ vorhanden.

Ein weiteres Beispiel für einen unentscheidbaren Ausdruck ist: „Der nächste Satz ist wahr. Der vorherige Satz ist falsch.“

Frage: Warum ist der Ausdruck „Der nächste Satz ist wahr. Der vorherige Satz ist falsch.“ unentscheidbar?

Wenn der erste Satz wahr ist, so wäre der zweite Satz wahr und damit der erste falsch ↯. Wenn der erste Satz falsch ist, wäre der zweite Satz falsch und damit der erste Satz wahr ↯.

In den folgenden Kapiteln werden wir aber nicht auf solche unentscheidbaren Ausdrücke stoßen. Du solltest dir aber dieses Phänomens bewusst sein.