Mathe für Nicht-Freaks: Mengenlehre

Definition der Menge

Was ist eine Menge? Als Definition der Menge möchte ich die originale Definition von Georg Cantor, dem Begründer der Mengenlehre, verwenden:

Definition (Cantorsche Definition der Menge): Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.

Dabei müssen die Objekte, die gedanklich zu einer Menge zusammengefasst werden, keine gemeinsamen Eigenschaften besitzen. Sie können sehr unterschiedlich sein.

Zur Bezeichnung von Mengen werden in der Regel Großbuchstaben verwendet. Um aufzuschreiben, dass ein Objekt $x$ Element einer Menge $M$ ist, schreibt man $x\in M$ („$x$ ist ein Element von $M$“). Die Schreibweise, um deutlich zu machen, dass ein Objekt $y$ kein Element der Menge $M$ ist, ist $y\notin M$ („$y$ ist kein Element von $M$“).

Beispiele

Stell dir folgende Ansammlung von Objekten vor:

Aus dieser Ansammlung können wir die vier Elemente Trommel, Spielkarte, Digitalkamera und Gitarre gedanklich zu einer Menge zusammenfassen:

Wenn wir die gerade von uns in Gedanken gebildete Menge mit $M$ bezeichnen, so können wir aufschreiben:

• $\text{Trommel} \in M$ („Die Trommel ist ein Element der Menge $M$.“)
• $\text{Buch} \notin M$ („Das Buch ist kein Element der Menge $M$.“)

Ein weiteres Beispiel für eine Menge ist Menge der natürlichen Zahlen. Sie ist die gedankliche Zusammenfassung aller natürlicher Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, usw. zu einer Menge. Dieser Menge wird das Symbol $\N$ zugeordnet. Weitere wichtige Mengen von Zahlen sind:

Beispiel (wichtige Mengen von Zahlen): $\N$ - die Menge der natürlichen Zahlen $\Z$ - die Menge der ganzen Zahlen $\Q$ - die Menge der rationalen Zahlen $\R$ - die Menge der reellen Zahlen $\mathbb C$ - die Menge der komplexen Zahlen

Schreibweisen

Es gibt zwei mögliche Schreibweisen, um Mengen zu beschreiben: die aufzählende Mengenschreibweise und die beschreibende Mengenschreibweise.

Aufzählende Mengenschreibweise

Bei der aufzählenden Mengenschreibweise werden alle Objekte, die gedanklich zu dieser Menge zusammengefasst werden, aufgeschrieben. Dabei werden diese in geschweiften Klammern $\{\,\}$ gesetzt und durch Kommata „,“ oder Semikolons „;“ getrennt. Die obige Beispielmenge $B$ der Trommel, der Spielkarte, der Digitalkamera und der Gitarre schreiben wir in der aufzählenden Schreibweise so:

$B=\{ \text{Trommel, Spielkarte, Digitalkamera, Gitarre}\}$

Weitere Beispiele der aufzählenden Mengenschreibweise sind:

Beispiel (Beispiele für die aufzählende Mengenschreibweise): $C= \{ 1,\,2,\,3,\,4 \}$ (Menge der Zahlen 1, 2, 3 und 4) $D = \{ 25,\, -16,\, 9,\, \pi\}$ (Menge der Zahlen 25, -16, 9 und $\pi$) $E =\{ 0;\, 0,5;\, 0,75\}$ (Menge der Zahlen 0, 0,5 und 0,75)

Bei der aufzählenden Mengenschreibweise spielt die Reihenfolge, in der die Elemente der Menge aufgezählt werden, keine Rolle. Es gibt auch keine doppelten Elemente. Wenn ein Objekt öfters aufgezählt wird, so ist dies gleichbedeutend damit, als wenn dieses Objekt nur einmal aufgeschrieben sein würde:

$\{ 1,2,5\}=\{ 5,1,2\}$

$\{ 1,2,2,5,2 \} = \{ 1,2,5\}$

Der Nachteil der aufzählenden Mengenschreibweise ist, dass mit ihr nur Mengen mit einer endlichen Anzahl an Elementen eindeutig definiert werden können. Möchte man mit der aufzählenden Mengenschreibweise eine unendliche Menge definieren, so muss man zwangsläufig mit Pünktchen oder der Abkürzung „usw.“ den Leser dazu auffordern, die Aufzählung in Gedanken fortzuführen. So könnte man für die Menge $\Z$ der ganzen Zahlen schreiben:

$\Z = \{ \ldots,\, -2,\, -1,\, 0,\,1,\,2,\,\ldots \}$

Jedoch ist die aufzählende Schreibweise für unendliche Mengen nicht eindeutig. Insbesondere ist dann die aufzählende Mengenschreibweise problematisch, wenn zu wenig Elemente angegeben sind, als dass alle Leser intuitiv auf dieselbe Menge schließen. Dies illustriert folgendes Beispiel:

Frage: Welche Menge ist mit dem Ausdruck $\{1,\,2,\,\ldots\}$ gemeint?

Folgende Mengen sind für den Ausdruck $\{1,\,2,\,\ldots\}$ plausibel:

• die Menge der natürlichen Zahlen beginnend bei 1: $\{1,\,2,\,\ldots\} = \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,\ldots\}$
• die Menge der Potenzen von 2: $\{1,\,2,\,\ldots\} = \{1,\,2,\,4,\,8,\,16,\,\ldots\}$
• die Menge der Primzahlen zusammen mit der 1: $\{1,\,2,\,\ldots\} = \{1,\,2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,\ldots\}$

Durch den Ausdruck $\{1,\,2,\,\ldots\}$ kann also die vom Autor gemeinte Menge nicht eindeutig beschrieben werden.

Warnung: Es kommt manchmal zu Missverständnissen bei einelementigen Mengen. So ist $\{\N\} \ne \N$, denn $\{ \N \}$ ist die einelementige Menge, die die Menge der natürlichen enthält, und $\N$ ist die unendliche Menge der natürlichen Zahlen.

Beschreibende Mengenschreibweise

Es gibt eine zweite Möglichkeit eine Menge aufzuschreiben, die das Problem der Uneindeutigkeit nicht hat: die beschreibende Mengenschreibweise. Bei dieser Schreibweise wird eine Bedingung $A(x)$ in Abhängigkeit einer freien Variablen $x$ angegeben, die als Aussage formuliert ist. Die zu dieser Bedingung zugehörige Menge ist die Menge aller Objekte $x$, die die Eigenschaft $A(x)$ erfüllen. Die Variable und die Bedingung werden durch einen senkrechten Strich „$|$“ voneinander getrennt, der als „mit“ ausgesprochen wird. Eine Menge M ist also in beschreibender Mengenschreibweise notiert, wenn sie die Form $M=\{ x\,| A(x)\}$ hat. Wenn du diese Definition noch nicht verstanden hast, schau dir erst einmal folgende Beispiele an. Du solltest dann keine Probleme mehr haben.

Beispiel (Beispiele für die beschreibende Mengenschreibweise): Die Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen $F=\{ x\,|\,\exists k \in \N :x=2k-1\}$ mit Aussprache:$\underbrace{F=\{ }_{\text{F ist die Menge }} \underbrace{x|}_{\text{aller } x \text{ }} \underbrace{\exists k \in \N :x=2k-1\} }_{\text{f}\mathrm{\ddot u}\text{r die es ein } k \in \N \text{ gibt, sodass } x \text{ gleich } 2k-1 \text{ ist}}$ Die Menge aller ganzen Quadratzahlen $G=\{x\,|\,\exists y\in \Z : x=y^2\}$ mit Aussprache:$\underbrace{G=\{ }_{\text{G ist die Menge }} \underbrace{x|}_{\text{aller } x} \underbrace{\exists y\in \Z : x=y^2\} }_{\text{f}\mathrm{\ddot u}\text{r die es eine ganze Zahl } y \text{ gibt, sodass } x \text{ ist gleich } y^2}$ Die Menge aller irrationalen Zahlen $H=\{x\,|\,x\in\R \and x\notin \Q\}$ mit Aussprache:$\underbrace{H=\{ \underset{}{}}_{\text{H ist die Menge }} \underbrace{x|\underset{}{}}_{\text{aller } x \text{ mit }} \underbrace{x\in\R_{}\underset{}{}}_{x \text{ in } \R} \underbrace{\and\underset{}{} }_{\text{ und }} \underbrace{x\notin \Q\}\underset{}{}}_{x \text{ nicht in } \Q }$

Sollen mehrere Bedingungen an die Elemente einer Menge gestellt werden, so ist es üblich diese Bedingungen mit Kommata zu trennen anstatt sie mit der Konjunktion $\and$ zu verknüpfen. Möchtest du also, dass die Menge $M$ die Menge aller Objekte $x$ ist, die die Bedingungen $A_1(x)$, $A_2(x)$ bis $A_n(x)$ erfüllen, so kannst du schreiben $M= \{ x \,|\, A_1(x),\, A_2(x),\, \ldots ,\, A_n(x) \}$. Diese Schreibweise ist gleichbedeutend mit $M= \{ x \,|\, A_1(x) \and A_2(x) \and \ldots \and A_n(x) \}$.

Möchtest du die Grundmenge explizit angeben, aus der die Elemente der Menge stammen, so kannst du die Schreibweise $M=\{ x\in G\,|\, A(x)\}$ verwenden. Durch diese Schreibweise wird die Menge aller Objekte $x$ der Menge $G$ beschrieben, die die Eigenschaft $A(x)$ erfüllen. Diese Schreibweise ist eine Kurzschreibweise für $M= \{x\,|\, x\in G \and A(x) \}$. Beispielsweise kann die obige Menge $H=\{x|x\in\R \and x\notin \Q\}$ der Menge der irrationalen Zahlen auch durch die Schreibweise $H=\{x\in \R\,|\,x\notin \Q\}$ beschrieben werden.

Begriffe der Mengenlehre

Teilmenge

$A \subseteq B$

Die Menge {Trommel, Spielkarte} ist eine echte Teilmenge der Menge {Gitarre, Spielkarte, Digitalkamera, Trommel}

Wenn alle Elemente einer Menge $A$ auch Elemente einer Menge $B$ sind, so wird $A$ eine Teilmenge der Menge $B$ genannt. Hierfür schreibt man $A\subseteq B$. Weitere Sprechweisen für $A\subseteq B$ sind: „$A$ ist Untermenge von $B$“ und „$B$ ist Obermenge von $A$“. Insbesondere ist jede Menge $M$ Teilmenge von sich selbst ($M\subseteq M$). Möchtest du deutlich machen, dass $A$ keine Teilmenge der Menge $B$, so kannst du $A \nsubseteq B$ schreiben.

Definition (Teilmenge): Die Menge $A$ ist eine Teilmenge der Menge $B$ genau dann, wenn alle Elemente der Menge $A$ auch Elemente der Menge $B$ sind (Schreibweise: $A\subseteq B$).

Beispiel (Teilmenge): $\{5,\, \pi \} \subseteq \{ 4,\, \pi,\, -1,\, 5\}$ $\{5,\, \pi \} \nsubseteq \{ 4,\, \pi,\, -1\}$ $\N \subseteq \Z \subseteq \Q \subseteq \R \subseteq \mathbb C$ $\{5,\, -1\} \nsubseteq \{z\in \Z\,|\, z < 0 \}$ $\{ \pi,\, 3,\, 0\} \subseteq \{ \pi,\, 3,\, 0\}$

Ist eine Menge $A$ eine Teilmenge der Menge $B$ und $A\ne B$, so nennt man $A$ eine echte Teilmenge der Menge $B$. Um deutlich zu machen, dass $A$ eine echte Teilmenge der Menge $B$, schreibt man $A \subsetneq B$.

Definition (echte Teilmenge): Die Menge $A$ ist eine echte Teilmenge der Menge $B$ genau dann, wenn $A$ eine Teilmenge der Menge $B$ und $A$ nicht identisch mit $B$ ist (Schreibweise: $A\subsetneq B$).

Beispiel (echte Teilmenge): $\{5,\, \pi \} \subsetneq \{ 4,\, \pi,\, -1,\, 5\}$ $\{5,\, \pi \}$ ist keine echte Teilmenge der Menge $\{ 4,\, \pi,\, -1\}$ $\N \subsetneq \Z \subsetneq \Q \subsetneq \R \subsetneq \mathbb C$ $\{ \pi,\, 3,\, 0\}$ ist keine echte Teilmenge der Menge $\{ \pi,\, 3,\, 0\}$

Hinweis: In mathematischer Literatur findest du auch die Schreibweise $A\subset B$. Jedoch wird diese Schreibweise nicht in einer einheitlichen Definition gebraucht. So verwenden einige Autoren diese Schreibweise in der Bedeutung „$A$ ist eine Teilmenge von $B$“ und andere in der Bedeutung „$A$ ist eine echte Teilmenge von $B$“.

Eine häufig genutzte Methode, um zu zeigen, dass zwei Mengen $A$ und $B$ identisch sind, ist zu zeigen, dass $A$ eine Teilmenge von $B$ $(A\subseteq B)$ und $B$ eine Teilmenge von $A$ $(B\subseteq A)$ ist. Denn für zwei Mengen $A$ und $B$ gilt folgende Äquivalenz:

$A=B\ \Leftrightarrow A\subseteq B \and B \subseteq A$

Definition (Identität von Mengen): Zwei Mengen $A$ und $B$ sind genau dann äquivalent, wenn $A$ eine Teilmenge von $B$ und $B$ eine Teilmenge von $A$ ist.

Verständnisfrage: Es ist $A\Rightarrow B$. Ist dann $\{ x\,|\, A(x)\} \subseteq \{ x\,|\, B(x)\}$ oder $\{ x\,|\, B(x)\} \subseteq \{ x\,|\, A(x)\}$?

Aus $A \Rightarrow B$ folgt, dass jedes Objekt $x$, welches die Eigenschaft $A(x)$ erfüllt, auch die Eigenschaft $B(x)$ erfüllt. Damit ist $\{ x\,|\, A(x)\} \subseteq \{ x\,|\, B(x)\}$.

Wenn du also mal zeigen möchtest, dass für zwei Mengen $\{ x\,|\, A(x)\}$ und $\{ x\,|\, B(x)\}$ die Beziehung $\{ x\,|\, A(x)\} \subseteq \{ x\,|\, B(x)\}$ erfüllt ist, so kannst du zeigen, dass $A\Rightarrow B$ ist.

Leere Menge

Die leere Menge ist diejenige Menge, die keine Elemente enthält. Für die leere Menge wird das Symbol $\emptyset$ oder die Schreibweise $\{\}$ verwendet.

Definition (leere Menge): Die leere Menge $\emptyset$ ist die Menge, die 0 Elemente enthält.

Beispiel (leere Menge): $\{ x \,|\, x\ne x \} = \emptyset$ $\{ x\in \R \,|\, x^2 + 1 = 0 \} = \emptyset$ (Die Nullstellenmenge der Polynomfunktion $f(x) = x^2+1$ ist leer) $\{\emptyset\} \ne \emptyset$ (Die Menge $\{\emptyset\}$ ist die einelementige Menge der leeren Menge und $\emptyset$ besitzt keine Elemente)

Die leere Menge hat folgende Eigenschaften:

• Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, das heißt für jede Menge $M$ ist $\emptyset \subseteq M$.
• Die einzige Teilmenge der leeren Menge ist die leere Menge: $A\subseteq \emptyset \Leftrightarrow A = \emptyset$.
• Jede Existenzaussage über der leeren Menge ist falsch. Dies bedeutet, dass jede Aussage der Form $\exists x \in \emptyset:\, A(x)$ und der Form $\exists! x \in \emptyset:\, A(x)$ falsch ist.
• Jede Allaussage über der leeren Menge ist wahr. Dies bedeutet, dass jede Aussage der Form $\forall x \in \emptyset:\, A(x)$ wahr ist.

Potenzmenge

Die Potenzmenge der Menge $\{ x,\, y,\, z\}$

Die Potenzmenge $\mathcal P(M)$ einer Menge $M$ ist die Menge aller Teilmengen der Menge $M$. Es ist also $\mathcal P(M) := \{ U \,|\, U \subseteq M \}$. Neben $\mathcal P(M)$ sind noch die Schreibweisen $2^M$ und $\mathrm{Pot} (M)$ gebräuchlich.

Definition (Potenzmenge): Die Potenzmenge $\mathcal P(M)$ einer Menge $M$ ist die Menge aller Teilmengen dieser Menge: $\mathcal P(M) := \{ U \,|\, U \subseteq M\}$

Beispiel (Potenzmenge): $\mathcal P(\{ 1,\, 2\}) = \{\ \emptyset,\ \{ 1\},\ \{2\},\ \{ 1,\, 2\}\ \}$ $\mathcal P(\{a\}) = \{\ \emptyset,\, \{a\}\ \}$ $\mathcal P(\emptyset) = \{\, \emptyset\, \}$

In der folgenden Animation ist die Erstellung der Potenzmenge $\mathcal P(\{x,\, y,\, z\})$ dargestellt:

Im Abschnitt „Folgerungen aus dem binomischen Lehrsatz“ werde ich dir zeigen, dass die Potenzmenge einer endlichen Menge mit $m$ Elementen genau $2^m$ Elemente besitzt.

Grenzen der Mengenbildung

Wie schon Georg Cantor, dem Begründer der Mengenlehre bekannt war, definiert nicht jeder sprachliche Ausdruck sinnvoll eine Menge, auch wenn wir dies intuitiv erwarten würden. Es gibt Ausdrücke, die zu keiner sinnvoll definierten Menge führen. Ein Beispiel für einen solchen Ausdruck ist Russells Antinomie:

Beispiel (Russells Antinomie): Durch die Ausdrücke „$R$ ist die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten.“ beziehungsweise $R=\{ x\,|\,x\notin x\}$ wird keine sinnvolle Menge definiert.

Frage: Wieso definiert $R=\{ x\,|\,x\notin x\}$ keine sinnvolle Menge?

Stell dir vor, es gäbe eine Menge $R$, die alle Mengen enthält, die sich nicht selbst enthalten. Ist dann $R\in R$? Wäre $R$ ein Element von sich selbst, dann ist gerade nach Definition, $R$ kein Element von sich selbst ↯. Ist $R\notin R$, dann ist nach Definition von $R$ gerade $R\in R$ ↯. Wir erhalten also sowohl für $R\in R$ als auch für $R\notin R$ einen Widerspruch.

Analog kannst du so argumentieren: Für die Menge $R$ gilt:

$x\in R \Leftrightarrow x\notin x$

Ersetzen wir im obigen Ausdruck die Variable $x$ durch $R$, dann erhalten wir den Widerspruch:

$R\in R \Leftrightarrow R\notin R$

Welche Auswege gibt aus dieser Misere? Der Ausweg liegt darin, die Möglichkeiten der Mengenbildung einzuschränken. Eine in der Mathematik oft benutzte Mengenlehre, die Widersprüche wie Russells Antinomie vermeidet, ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Sie ist jedoch zu kompliziert, um sie an dieser Stelle einzuführen (die „Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre“ begegnet einem Mathematikstudenten in der Regel erst im Hauptstudium). In den folgenden Kapiteln werden wir jedoch noch nicht an die Grenzen der Mengenbildung stoßen.