Mathe für Nicht-Freaks: Mengenlehre: Verknüpfungen

Einleitendes Beispiel

Stell dir vor, du hast eine Grundmenge $M$ gegeben:

In dieser Grundmenge gibt es eine Menge $A$:

Und eine Menge $B$:

Insgesamt ergibt sich also folgendes Bild:

Stell dir nun vor, wir möchten die Menge aller Punkte beschreiben, die in genau einer der Mengen $A$ und $B$ enthalten sind:

Diese Menge wird symmetrische Differenz der Mengen $A$ und $B$ genannt. Man schreibt für diese symmetrische Differenz $A \, \triangle \, B$. Hier ist $\triangle$ eine Verknüpfung zwischen zwei Mengen. Der Operator $\triangle$ verknüpft nämlich zwei Mengen $A$ und $B$ zu der Menge $A\,\triangle\,B$ der Objekte, die in genau einer der Mengen $A$ und $B$ enthalten sind. Dass $\triangle$ eine Verknüpfung ist, ist analog dazu, dass + eine Verknüpfung ist, die zwei Zahlen $a$ und $b$ zu einer Zahl $a+b$ verknüpft.

Schauen wir uns noch ein weiteres Beispiel an: Stell dir vor, wir wollen alle Punkte der Grundmenge beschreiben, die nicht in $A$ enthalten sind:

Diese Menge aller Objekte der Grundmenge, die nicht in $A$ enthalten sind, wird Komplement von $A$ genannt. Für diese Menge schreibt man $A^{\rm C}$. Hier ist $\cdot^{\rm C}$ der Operator (im obigen Beispiel war $\triangle$ der Operator). Im Unterschied zum obigen Operator $\triangle$ wirkt $\cdot^{\rm C}$ auf nur einer Menge (während $\triangle$ zwei Mengen $A$ und $B$ zu einer neuen Menge $A\,\triangle\,B$ verknüpft, wirkt $\cdot^{\rm C}$ auf nur einer Menge).

Überblick

Name der Verknüpfung	Schreibweise	Aussprache	Diagramm	Definition
Durchschnitt	$A \cap B$	„$A$ geschnitten $B$“		$A \cap B$ - die Menge aller Objekte, die sowohl in der Menge $A$ als auch in der Menge $B$ enthalten sind
Vereinigung	$A\cup B$	„$A$ vereinigt $B$“		$A\cup B$ - die Menge aller Objekte, die in der Menge $A$ und/oder in der Menge $B$ enthalten sind
Differenz	$A \setminus B$	„$A$ ohne $B$“		$A \setminus B$ - die Menge aller Objekte, die in der Menge $A$ enthalten sind und keine Elemente der Menge $B$ sind
Symmetrische Differenz	$A\,\triangle\,B$	„symmetrische Differenz von $A$ und $B$“		$A\,\triangle\,B$ - die Menge aller Objekte, die in genau einer der Mengen $A$ und $B$ enthalten sind
Komplement	$A^{\rm C}$	„Komplement von $A$“		$A^{\rm C}$ - die Menge aller Objekte (der Grundmenge), die keine Elemente von $A$ sind

Die einzelnen Verknüpfungen

Durchschnitt

Schnittmenge zweier Mengen

Der Durchschnitt zweier Mengen $A$ und $B$ ist die Menge aller Objekte, die sowohl Elemente der Menge $A$ als auch der Menge $B$ sind. Ihr Symbol ist $\cap$. Die Schreibweise für den Schnitt zwischen zwei Mengen $A$ und $B$ ist $A\cap B$ und wird „$A$ geschnitten $B$“ ausgesprochen.

Definition (Durchschnitt): Der Durchschnitt $A\cap B$ ist die Menge aller Objekte, die sowohl Elemente von $A$ als auch von $B$ sind: $A\cap B := \{x\,|\,x\in A \and x\in B\}$

Beispiel (Durchschnitt): $\{2, 4, 5, 9\} \cap \{1,3,5,7,12\} = \{ 5 \}$ $\{3, 12, 18\} \cap \{ 3,4,12,16,18\} =\{ 3,12,18\}$ $\{ x\,|\,\exists y\in\N:\, x=y^2\} \cap \{ x\,|\,\exists y\in\N:\,x=2y\} =\{ x\,|\,\left(\exists y\in\N:\,x=y^2\right) \and \left(\exists y\in\N:\,x=2y \right)\}$ $\{ x\,|\,\exists k\in\N:\,x=2k\} \cap \{ x\,|\,\exists k\in\N:\,x=2k-1\} = \emptyset$

Disjunkte Mengen

Die Mengen $A$ und $B$ sind disjunkt

Zwei Mengen $A$ und $B$, die keine gemeinsamen Elemente besitzen, nennt man disjunkt. Damit sind $A$ und $B$ dann und nur dann disjunkt, wenn $A\cap B=\emptyset$ ist.

Definition (disjunkte Menge): Zwei Mengen nennt man disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente besitzen: $A\text{ ist disjunkt zu }B \Leftrightarrow A \cap B = \emptyset$

Beispiele/Übungsaufgabe: Welche der folgenden Paare von Mengen sind disjunkt?

1. $\{1,\, \pi,\, -1\}$ und $\{2,\, 77,\, -1\}$
2. $\{1,\, \pi,\, -1\}$ und $\{2,\, 77 \}$
3. $\Z$ und $\Q$
4. $\emptyset$ und $\emptyset$
5. $\{ \emptyset \}$ und $\{ \emptyset \}$

Antwort:

1. $\{1,\, \pi,\, -1\}$ und $\{2,\, 77,\, -1\}$ sind nicht disjunkt, weil sie beide -1 als Element besitzen.
2. $\{1,\, \pi,\, -1\}$ und $\{2,\, 77 \}$ sind disjunkt, weil sie keine gemeinsamen Elemente besitzen.
3. $\Z$ und $\Q$ sind nicht disjunkt, weil sie zum Beispiel die Zahl 0 als gemeinsames Element besitzen.
4. $\emptyset$ und $\emptyset$ sind disjunkt, weil $\emptyset \cap \emptyset=\emptyset$ ist.
5. $\{ \emptyset \}$ und $\{ \emptyset \}$ sind nicht disjunkt, weil sie $\emptyset$ als gemeinsames Element besitzen.

Verständnisfrage: Mit welchen Mengen $M$ ist $\emptyset$ disjunkt?

$\emptyset$ ist mit jeder Menge $M$ disjunkt, weil $\emptyset \cap M = \emptyset$ ist.

Verständnisfrage: Wann ist eine Menge $A$ zu sich selbst disjunkt?

Eine Menge $A$ ist genau dann zu sich selbst disjunkt, wenn $A\cap A=\emptyset$ ist. Wegen $A\cap A= A$ ist dies genau dann der Fall, wenn $A=\emptyset$ ist:

$A\text{ ist zu sich selbst disjunkt} \Leftrightarrow A=\emptyset$

Vereinigung

Vereinigung zweier Mengen

Eine weitere wichtige Verknüpfung zwischen Mengen ist die Vereinigung. Die Vereinigung zweier Mengen ist diejenige Menge, die alle Elemente beider Mengen enthält. Ein Element $x$ ist also genau dann in der Vereinigung von $A$ und $B$, wenn $x$ in $A$ und/oder $x$ in $B$ ist. Die Vereinigung wird durch $A\cup B$ gekennzeichnet (ausgesprochen: „$A$ vereinigt $B$“).

Möchte ein Autor deutlich machen, dass die vereinigten Mengen disjunkt sind, so schreibt er in der Regel $A \dot{\cup} B$ (ausgesprochen: „$A$ disjunkt vereinigt mit $B$“). Der Operator $\dot{\cup}$ wird disjunkte Vereinigung genannt.

Definition (Vereinigung): Die Vereinigung $A\cup B$ zweier Mengen $A$ und $B$ ist definiert durch: $A\cup B := \{x\,|\,x\in A \or x\in B\}$

Beispiel (Vereingung): $\{2, 4, 5, 9\} \cup \{1,3,5,7,12\} = \{ 1,2,3,4,5,7,9,12 \}$ $\{3, 12, 18\} \cup \{ 3,4,12,16,18\} =\{ 3,4,12,16,18\}$ $\{ x\,|\,\exists y:\,x=y^2\} \cup \{ x\,|\,\exists y:\,x=2y\} =\{ x\,|\,\left(\exists y:\,x=y^2\right) \or \left(\,\exists y:\,x=2y \right)\}$ $\{ x\,|\,\exists y:\,x=2k\} \cup \{ x\,|\,\exists y:\,x=2k-1\} = \N$

Differenz

Differenz zweier Mengen

Mit Hilfe der Differenz kannst du alle Elemente einer Menge $A$ bestimmen, die außerdem nicht in einer zweiten Menge $B$ liegen. Ein Objekt $x$ liegt genau dann in der Differenz von $A$ und $B$, wenn $x$ ein Element von $A$ aber kein Element von $B$ ist. Für die Differenz von $A$ und $B$ schreibt man $A \setminus B$ (ausgesprochen: „$A$ ohne $B$“). Seltener wird in der Literatur ein Minuszeichen verwendet: $A - B$.

Definition (Differenz): Die Differenz $A\setminus B$ zweier Mengen $A$ und $B$ ist definiert durch: $A\setminus B:= \{x\,|\,x\in A \and x\notin B\}$

Beispiel (Differenz): $\{2, 4, 5, 9\} \setminus\{1,3,5,7,12\} = \{ 2,4,9 \}$ $\{3, 12, 18\} \setminus \{1,5,7\} =\{ 3, 12 , 18 \}$ $\{ x\,|\,\exists k\in\N:\, x=2k\} \setminus \{ x\,|\,\exists k\in\N:\, x=2k-1\} = \{ x\,|\, \exists k \in\N:\, x=2k\}$

Symmetrische Differenz

symmterische Differenz zweier Mengen

Die Symmetrische Differenz zweier Mengen $A$ und $B$ ist die Menge aller Objekte, die in genau einer der Mengen $A$ und $B$ enthalten sind. Ist also $x$ ein Element aus der symmetrischen Differenz von $A$ und $B$, so ist entweder $x\in A$ oder $x\in B$ und $x$ kein gemeinsames Element der Mengen $A$ und $B$. Ihre Schreibweise ist $A\,\triangle\,B$ (ausgesprochen: „symmetrische Differenz von $A$ und $B$“).

Definition (symmetrische Differenz): Die symmetrische Differenz $A\,\triangle\,B$ ist die Menge aller Objekte, die Elemente genau einer der Mengen $A$ und $B$ sind: $A\,\triangle\,B := \{x\,|\,(x\in A \or x\in B) \and (x \in A \Rightarrow x\notin B)\}$

Verständnisfrage: Bilde die symmetrische Differenz folgender Mengen

1. $\{ 1, 2, 3\} \,\triangle\, \{2,3,4\} = ?$
2. $\{ 1, 2, 3\} \,\triangle\, \{1,2,3\} = ?$
3. $\{ 1, 2, 3\} \,\triangle\, \{4,5,6\} = ?$
4. $\Z \,\triangle\, \R = ?$
5. $\N \,\triangle\, \emptyset = ?$

Antwort:

1. $\{ 1, 2, 3\} \,\triangle\, \{2,3,4\} = \{ 1, 4\}$
2. $\{ 1, 2, 3\} \,\triangle\, \{1,2,3\} = \emptyset$
3. $\{ 1, 2, 3\} \,\triangle\, \{4,5,6\} = \{1,2,3,4,5,6\}$
4. $\Z \,\triangle\, \R = \R \setminus \Z = \left\{x\in\R\,|\,x\text{ ist keine ganze Zahl.}\right\}$
5. $\N \,\triangle\, \emptyset = \N$

Komplement

das Komplement einer Menge

Das Komplement $A^{\rm C}$ einer Menge $A$ ist die Menge aller Objekte der Grundmenge, die keine Elemente von $A$ sind. Ist in einem Text keine Grundmenge angegeben, so ergibt sich diese aus dem Kontext. So wird bei einem Text über die reelle Analysis die Grundmenge meistens die Menge der reellen Zahlen $\R$ sein. Die Schreibweise für das Komplement von $A$ ist $A^{\rm C}$ (ausgesprochen: „Komplement von $A$“).

Definition (Komplement): Das Komplement $A^{\rm C}$ der Menge $A$ ist die Menge aller Objekte, die nicht in $A$ enthalten sind.

Verständnisfrage: Die Grundmenge sei $\N_0$. Bilde folgende Komplemente:

1. $\{0,1,2,3\}^{\rm C} = ?$
2. $\left\{x\in\N_0\,|\,x\text{ ist gerade}\right\}^{\rm C}=?$
3. $\N_0^{\rm C} = ?$
4. $\emptyset^{\rm C} = ?$

Antwort:

1. $\{0,1,2,3\}^{\rm C} = \N_{\ge 4}$
2. $\left\{x\in\N_0\,|\,x\text{ ist gerade}\right\}^{\rm C}=\left\{x\in\N_0\,|\,x\text{ ist ungerade}\right\}$
3. $\N_0^{\rm C} = \emptyset$
4. $\emptyset^{\rm C} = \N_0$

Gesetzmäßigkeiten

Assoziativgesetze

• $\left(A\cup B\right) \cup C = A \cup \left(B \cup C \right)$
• $\left(A\cap B\right) \cap C = A \cap \left(B \cap C \right)$
• $\left(A\,\triangle\, B\right) \,\triangle\, C = A \,\triangle\, \left(B \,\triangle\, C \right)$

Kommutativgesetze

• $A \cup B = B \cup A$
• $A \cap B = B \cap A$
• $A \,\triangle\, B = B \,\triangle\, A$

Distributivgesetze

• $A \cap (B \cup C) = (A\cap B) \cup (A \cap C)$
• $A \cup (B \cap C) = (A\cup B) \cap (A \cup C)$
• $A \cap (B \,\triangle\, C) = (A\cap B) \,\triangle\,(A\cap C)$

Idempotenzgesetze

• $A \cap A = A$
• $A \cup A = A$

Absorptionsgesetze

• $A \cap (A \cup B) = A$
• $A \cup (A \cap B) = A$

De-Morgansche Regeln

• $(A \cap B)^{\rm C} = A^{\rm C} \cup B^{\rm C}$
• $(A \cup B)^{\rm C} = A^{\rm C} \cap B^{\rm C}$

Gesetzmäßigkeiten zur Differenz

• $(A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \cup C)$
• $A \setminus (B \setminus C) = (A \setminus B) \cup (A \cap C)$
• $(A \cap B) \setminus C = (A \setminus C) \cap (B \setminus C)$
• $(A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)$
• $A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$
• $A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$

Weitere Regeln

Im Folgenden sei $M$ die Grundmenge.

• $\left(A^{\rm C}\right)^{\rm C} = A$
• $M^{\rm C} = \emptyset$
• $\emptyset^{\rm C} = M$
• $A \cap A^{\rm C} = \emptyset$
• $A \cup A^{\rm C} = M$
• $A \cap M = A$
• $A \cup M = M$
• $A \cap \emptyset = \emptyset$
• $A \cup \emptyset = A$
• $A \,\triangle\, A = \emptyset$
• $A \,\triangle\, \emptyset = A$