Mathe für Nicht-Freaks: Mengenlehre: Zusammenfassung

Mind Map

Verknüpfungen zwischen Mengen

Name der Verknüpfung	Schreibweise	Aussprache	Diagramm	Definition
Durchschnitt	$A \cap B$	„$A$ geschnitten $B$“		$A \cap B$ - die Menge aller Objekte, die sowohl in der Menge $A$ als auch in der Menge $B$ enthalten sind
Vereinigung	$A\cup B$	„$A$ vereinigt $B$“		$A\cup B$ - die Menge aller Objekte, die in der Menge $A$ und/oder in der Menge $B$ enthalten sind
Differenz	$A \setminus B$	„$A$ ohne $B$“		$A \setminus B$ - die Menge aller Objekte, die in der Menge $A$ enthalten sind und keine Elemente der Menge $B$ sind
Symmetrische Differenz	$A\,\triangle\,B$	„symmetrische Differenz von $A$ und $B$“		$A\,\triangle\,B$ - die Menge aller Objekte, die in genau einer der Mengen $A$ und $B$ enthalten sind
Komplement	$A^{\rm C}$	„Komplement von $A$“		$A^{\rm C}$ - die Menge aller Objekte (der Grundmenge), die keine Elemente von $A$ sind

Gesetzmäßigkeiten

Assoziativgesetze

• $\left(A\cup B\right) \cup C = A \cup \left(B \cup C \right)$
• $\left(A\cap B\right) \cap C = A \cap \left(B \cap C \right)$
• $\left(A\,\triangle\, B\right) \,\triangle\, C = A \,\triangle\, \left(B \,\triangle\, C \right)$

Kommutativgesetze

• $A \cup B = B \cup A$
• $A \cap B = B \cap A$
• $A \,\triangle\, B = B \,\triangle\, A$

Distributivgesetze

• $A \cap (B \cup C) = (A\cap B) \cup (A \cap C)$
• $A \cup (B \cap C) = (A\cup B) \cap (A \cup C)$
• $A \cap (B \,\triangle\, C) = (A\cap B) \,\triangle\,(A\cap C)$

Idempotenzgesetze

• $A \cap A = A$
• $A \cup A = A$

Absorptionsgesetze

• $A \cap (A \cup B) = A$
• $A \cup (A \cap B) = A$

De-Morgansche Regeln

• $(A \cap B)^{\rm C} = A^{\rm C} \cup B^{\rm C}$
• $(A \cup B)^{\rm C} = A^{\rm C} \cap B^{\rm C}$

Gesetzmäßigkeiten zur Differenz

• $(A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \cup C)$
• $A \setminus (B \setminus C) = (A \setminus B) \cup (A \cap C)$
• $(A \cap B) \setminus C = (A \setminus C) \cap (B \setminus C)$
• $(A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)$
• $A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$
• $A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$

Weitere Regeln

Im Folgenden sei $M$ die Grundmenge.

• $\left(A^{\rm C}\right)^{\rm C} = A$
• $M^{\rm C} = \emptyset$
• $\emptyset^{\rm C} = M$
• $A \cap A^{\rm C} = \emptyset$
• $A \cup A^{\rm C} = M$
• $A \cap M = A$
• $A \cup M = M$
• $A \cap \emptyset = \emptyset$
• $A \cup \emptyset = A$
• $A \,\triangle\, A = \emptyset$
• $A \,\triangle\, \emptyset = A$