Mathe für Nicht-Freaks: Reelle Zahlen: Körperaxiome

Die Körperaxiome beschreiben die 4 Grundrechenarten der reellen Zahlen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Die Axiome sind folgende:

Die Körperaxiome

Auf der Menge der reellen Zahlen $\R$ sind 2 Verknüpfungen definiert:

• eine Verknüpfung der Addition: $+ : \R \times \R \rightarrow \R$
• eine Verknüpfung der Multiplikation: $\cdot : \R \times \R \rightarrow \R$

Diese Verknüpfungen genügen folgenden Eigenschaften (den so genannten Körperaxiomen):

Eigenschaften der Addition	Eigenschaften der Multiplikation
Assoziativgesetz der Addition: Für alle reellen Zahlen $x,y,z$ gilt $x+(y+z)=(x+y)+z$.	Assoziativgesetz der Multiplikation: Für alle reellen Zahlen $x,y,z$ gilt $x\cdot (y\cdot z) = (x\cdot y) \cdot z$.
Kommutativgesetz der Addition: Für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ gilt $x+y=y+x$	Kommutativgesetz der Multiplikation: Für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ gilt $x\cdot y=y\cdot x$
Existenz der Null: Es gibt mindestens eine reelle Zahl $0 \in \R$, für die $0+x=x$ für alle reellen Zahlen $x$ gilt.	Existenz der Eins: Es gibt mindestens eine reelle Zahl $1 \in \R$ mit $1\ne 0$, für die $1\cdot x=x$ für alle reellen Zahlen $x$ gilt.
Existenz des Negativen: Für jede reelle Zahl $x$ gibt es mindestens eine reelle Zahl $-x$ mit $x+(-x)=0$.	Existenz des Inversen: Für jede reelle Zahl $x \ne 0$ gibt es mindestens eine reelle Zahl $x^{-1}$ mit $x\cdot x^{-1}=1$.
Distributivgesetz: Für alle reellen Zahlen $x,y,z$ gilt $x\cdot(y+z) = x\cdot y + x\cdot z$.

Definitionen im Zusammenhang mit den Körperaxiomen

Definition (Körper):

Eine Menge, die wie die reellen Zahlen eine Addition und eine Multiplikation mit den obigen Eigenschaften besitzt, nennt man einen „Körper“.

So ist $\R$ ein Körper. Es gibt aber auch andere Körper, wie die Menge der rationalen Zahlen $\Q$. Für das Studium der reellen Analysis ist der Körperbegriff für dich nur insofern wichtig, als dass du wissen musst, dass die reellen Zahlen die Körperaxiome erfüllen ($\R$ also ein Körper ist). Ein genaues Studium von Körpern findest du in der Algebra.

Definition (Subtraktion und Division):

Die Subtraktion wird auf eine Addition und die Division auf eine Multiplikation zurückgeführt:

$\begin{align} + &: \R \times \R & \rightarrow \R : (x,y) \rightarrow x-y & := x+(-y) & \text{ (Subtraktion }\hat{=}\text{ Addition mit Negativen des Subtrahenden)} \\ \cdot &: \R \times \R \setminus \{0\} & \rightarrow \R : (x,y) \rightarrow x\div y & := x \cdot y^{-1} & \text{ (Division }\hat{=}\text{ Multiplikation mit Inversen des Divisors)} \\ \end{align}$

So entpuppt sich nach unserer Definition die Subtraktion als eine Addition und die Division als eine Multiplikation, so dass auch die Eigenschaften der Division und der Subtraktion durch die Körperaxiome beschrieben werden. In der Mathematik sagt man dementsprechend zu Differenzen oft Summen und zu Quotienten oft Produkte.

Wie du vielleicht bereits erkannt hast, ist die obige Definition nur dann sinnvoll, wenn das Negative und das Inverse einer reellen Zahl eindeutig bestimmt ist. Wenn zum Beispiel eine Zahl $y$ zwei Negative $y_1$ und $y_2$ hätte, so wäre die Differenz $x-y$ nicht eindeutig – es könnte $x+y_1$ oder $x+y_2$ gemeint sein. Zwar wissen wir bereits aus den Körperaxiomen, dass es für jede reelle Zahl ein Negatives und für jede reelle Zahl ungleich 0 ein Inverses gibt – jedoch wissen wir nicht, ob dieses Negative/Inverse eindeutig bestimmt ist (gibt es reelle Zahlen mit mehr als ein Negatives/Inverses?). Es lässt sich jedoch mit den obigen Körperaxiomen zeigen, dass das Negative und das Inverse eindeutig bestimmt sind, so dass die obige Definition zur Subtraktion bzw. Division gerechtfertigt ist.

Im Folgenden verwenden wir die aus der Schule bekannten Bezeichnungen:

$\overbrace{\underbrace{x}_\text{Summand} + \underbrace{y}_\text{Summand}}^\text{Summe}$	$\overbrace{\underbrace{x}_\text{Minuend} - \underbrace{y}_\text{Subtrahend}}^\text{Differenz}$
$\overbrace{\underbrace{x}_\text{Faktor} \cdot \underbrace{y}_\text{Faktor}}^\text{Produkt}$	$\overbrace{\underbrace{x}_\text{Dividend} \div \underbrace{y}_\text{Divisor}}^\text{Quotient}$

Anmerkungen zu den Körperaxiomen

Wie du bereits merkst, sind dir die Inhalte der Körperaxiome bereits aus der Schulzeit bekannt. Vielen Studienanfängern bereitet aber gerade dies Schwierigkeiten, da ihnen die Aussagen, die mit Hilfe der Körperaxiome bewiesen werden, selbstverständlich erscheinen (Wozu soll man etwas beweisen, was einem schon aus der Grundschule bekannt ist?!). Auch haben einige Probleme, die genaue Beweisstruktur zu erkennen. Deswegen gebe ich dir hier einige Anmerkungen zu den obigen Axiomen, damit du diese und ihre Bedeutung für die Theorie der reellen Zahlen besser verstehst.

Um den oben beschriebenen Schwierigkeiten aus dem Weg zu gehen, kannst du dir vorstellen, dass du gar nichts über die reellen Zahlen weißt. Stell dir einmal vor, du hättest noch nie in deinem Leben gerechnet und du wusstest nicht, was Zahlen sind. Nun kommt jemand zu dir und möchte dir erklären, was „reelle Zahlen“ sind. Dabei fängt er an, dir die Körperaxiome zu nennen. Was weißt du nun über die reellen Zahlen?

Nun, du weißt, dass es (mindestens) zwei Arten gibt, wie du reelle Zahlen miteinander verknüpfen kannst (Sprich: Es gibt (mindestens) zwei Rechenarten auf den reellen Zahlen). Es wird dir jedoch nicht erklärt, wie du diese durchführen kannst! Du weißt zwar, dass es möglich ist, $2+4$ oder $2\cdot4$ zu rechnen, aber du weißt nicht, dass $2+4=6$ und $2\cdot4=8$ ist. Auch weißt du noch nicht, dass das Produkt von 0 mit irgendeiner anderen reellen Zahl immer 0 ist. Jedoch ist es möglich, diese und andere dir bereits aus der Schule bekannte Tatsachen über Addition und Multiplikation allein aus den obigen Axiomen herzuleiten. Unsere Aufgabe besteht im nächsten Kapitel vor allem darin, solche dir bekannten Tatsachen mit Hilfe der Körperaxiome zu beweisen. Dabei dürfen zum Beweis nur Körperaxiome und bereits bewiesene Sätze verwendet werden!. Diese Beweise sind auch deswegen wichtig für dich, weil dir die dahinter stehenden Beweisideen noch häufig im Mathematikunterricht begegnen werden (zum Beispiel in der Algebra und in der Linearen Algebra).

Hier noch einige Anmerkungen zu den Axiomen:

Axiome	Anmerkung
Assoziativgesetz der Addition/Multiplikation	Dank des Assoziativgesetzes ist die Reihenfolge der Ausführung einer endlichen Addition/Multiplikation egal. Dementsprechend können Klammern in einer endlichen Summe/Produkt weggelassen werden. (Dies gilt nicht für unendliche Summen/Produkte!)
Kommutativgesetz der Addition/Multiplikation	Dank dieses Axiom ist die Reihenfolge der Terme in einer endlichen Summe/Produkt egal. (Dies gilt nicht für unendliche Summen/Produkte!)
Existenz der Null/Eins	Hier wird explizit nur die Existenz, nicht die Eindeutigkeit der Null/Eins definiert. (Die Eindeutigkeit folgt aber direkt aus der Anwendung der Axiome.) Weil nach Axiom Eins ungleich Null ist, muss ein Körper mindestens zwei Elemente besitzen (in der Algebra wirst du lernen, dass es einen Körper mit genau zwei Elementen gibt).
Existenz des Negativen/Inversen	Auch hier wird erstmal nur die Existenz des Negativen/Inversen gefordert. Wir werden aber im nächsten Abschnitt die Eindeutigkeit des Negativen/Inversen beweisen.
Distributivgesetz	Dieses Axiom stellt eine Verbindung zwischen Addition und Multiplikation her und ist deshalb ziemlich hilfreich.

Folgerungen aus den Körperaxiomen

Wie bereits angesprochen, geht es in diesem Kapitel darum, viele dir bereits aus der Schule bekannte Tatsachen über reelle Zahlen allein aus den Körperaxiomen herzuleiten. Da, wie du der obigen Tabelle mit den Körperaxiomen entnehmen kannst, die ersten Axiome zur Addition und zur Multiplikation analog sind, sind auch die daraus herleitbaren Eigenschaften mit ihren Beweisen analog. Deswegen werde ich die entsprechenden analogen Eigenschaften von Addition und Multiplikation zusammen behandeln.

Eindeutigkeit der Null/Eins

Satz (Eindeutigkeit der Null/Eins):

Die Null und die Eins sind durch ihre Eigenschaften (für alle $x\in\R$ ist $x+0=x$ bzw. für alle $x\in\R$ ist $x\cdot1=x$) eindeutig bestimmt.

Zunächst werden wir die Eindeutigkeit der Null beweisen. Die Beweisidee ist dabei folgende: Wir zeigen, dass zwei reelle Zahlen $0_1$ und $0_2$ mit der Nulleigenschaft gleich sind.

Doch wie beweist dies die Eindeutigkeit der Null? Nun, nehmen wir an, dass die Null nicht eindeutig wäre. So gebe es mindestens zwei verschiedene reelle Zahlen $x_1$ und $x_2$, die die Nulleigenschaft besitzen. Da wir aber gerade gezeigt haben, dass zwei reelle Zahlen mit der Nulleigenschaft identisch sind, kann es keine 2 solche verschiedene reelle Zahlen $x_1$ und $x_2$ geben. Aus diesem Widerspruch folgt, dass es höchstens eine Null geben kann und damit die Null eindeutig ist. (Gehe diese Beweiskette Schritt für Schritt durch, bis du diese verstanden hast!)

Beweis (Eindeutigkeit der Null):

• Nehmen wir an, wir hätten zwei reelle Zahlen $0_1$ und $0_2$ mit der Nulleigenschaft. $0_1$ und $0_2$ erfüllen also für alle $x\in\R$ die Gleichung $x+0_1=x$ bzw. die Gleichung $x+0_2=x$. (Beachte, dass $0_1$ nicht zwangsläufig ungleich $0_2$ sein muss, sie könnten auch dieselbe reelle Zahl bezeichnen).
• Setzen wir in der ersten Gleichung $x+0_1=x$ für $x=0_2$ und in der zweiten Gleichung $x+0_2=x$ für $x=0_1$ ein, so erhalten wir $0_2+0_1=0_2$ und $0_1+0_2=0_1$.
• Wegen des Kommutativgesetzes der Addition ist $0_1+0_2=0_2+0_1$ und dementsprechend ist:

$0_1=0_1+0_2=0_2+0_1=0_2$

• Damit sind zwei reelle Zahlen mit der Nulleigenschaft nach der obigen Gleichung gleich.

Beweis (Eindeutigkeit der Eins):

Die Eindeutigkeit der Eins kannst du analog zum obigen Eindeutigkeitsbeweis der Null führen.

Verständnisaufgabe: Beweise die Eindeutigkeit der Eins

• Nehmen wir an, wir hätten zwei reelle Zahlen $1_1$ und $1_2$ mit der Einseigenschaft.
• Es gilt also für alle $x\in\R$ die Gleichung $x\cdot 1_1=x$ und die Gleichung $x\cdot 1_2=x$.
• Setzen wir in der ersten Gleichung $x=1_2$ und in der zweiten Gleichung $x=1_1$ so erhalten wir $1_2\cdot 1_1=1_2$ beziehungsweise $1_1\cdot 1_2=1_1$.
• Wegen des Kommutativgesetzes der Multiplikation ist $1_1\cdot 1_2=1_2 \cdot 1_1$ und damit:

$1_1=1_1\cdot 1_2=1_2\cdot 1_1=1_2$

• Damit sind zwei reelle Zahlen mit der Einseigenschaft gleich.

Eindeutigkeit des Negativen/Inversen

Satz (Eindeutigkeit des Negativen/Inversen):

Für jede reelle Zahl $x$ gibt es genau eine negative Zahl $y=:-x$ mit $x+y=x+(-x)=0$.

Für jede reelle Zahl $x\ne 0$ gibt es genau ein Inverses $z=:x^{-1}$ mit $x\cdot z=x\cdot x^{-1}=1$.

Die Beweisidee für diesen Satz ist dieselbe wie für den Eindeutigkeitsbeweis der Null/Eins. Nach den Körperaxiomen wissen wir bereits, dass es für alle $x\in\R$ mindestens ein Negatives und für alle $x\in\R$ mit $x\ne 0$ mindestens ein Inverses gibt. Es muss nur noch gezeigt werden, dass zwei Negative einer Zahl gleich sind (und analog, dass zwei Inverse einer Zahl ungleich 0 auch gleich sind).

Beweis (Eindeutigkeit des Negativen):

Sei $x$ eine beliebige reelle Zahl. Wir müssen zeigen, dass $x$ höchstens ein Negatives besitzt. Seien also $y_1$ und $y_2$ zwei Negative von $x$ – für die also $x+y_1=0$ und $x+y_2=0$ ist. Es ist:

$\begin{align} & y_1 &\quad& |\ { \color{Orange} \text{Eigenschaft der Null} }\\ =\,& y_1 + 0 && |\ { \color{Orange} {x+y_2 = 0} }\\ =\,& y_1 + (x + y_2) && |\ { \color{Orange} \text{Assoziativgesetz der Addition} }\\ =\,& (y_1 + x) + y_2 && |\ { \color{Orange} \text{Kommutativgesetz der Addition} }\\ =\,& (x+y_1) + y_2 && |\ { \color{Orange} {x+y_1 = 0} }\\ =\,& 0 + y_2 && | \ { \color{Orange} {0+y_2 = y_2+0=y_2} }\\ =\,& y_2 \\ \end{align}$

Damit ist $y_1 = y_2$ und somit gibt es für $x$ höchstens ein Negatives.

Die Eindeutigkeit des Inversen kannst du analog beweisen:

Beweis (Eindeutigkeit des Inversen):

Verständnisaufgabe: Beweise die Eindeutigkeit des Inversen für $x\ne 0$ analog zum obigen Beweis

Sei $x$ eine beliebige reelle Zahl ungleich 0. Sei außerdem $y_1$ und $y_2$ zwei Inverse von $x$ – es gilt also $x \cdot y_1=1$ und $x\cdot y_2=1$. Es ist:

$\begin{align} & y_1 &\quad& |\ { \color{Orange} \text{Eigenschaft der Eins} }\\ =\,& y_1 \cdot 1 && |\ { \color{Orange} {x \cdot y_2 = 1} }\\ =\,& y_1 \cdot (x \cdot y_2) && |\ { \color{Orange} \text{Assoziativgesetz der Multiplikation} }\\ =\,& (y_1 \cdot x) \cdot y_2 && |\ { \color{Orange} \text{Kommutativgesetz der Multiplikation} }\\ =\,& (x\cdot y_1) \cdot y_2 && |\ { \color{Orange} {x \cdot y_1 = 1} }\\ =\,& 1 \cdot y_2 && |\ { \color{Orange} {1 \cdot y_2 = y_2\cdot 1=y_2} }\\ =\,& y_2 \\ \end{align}$

Damit ist $y_1 = y_2$ und somit gibt es für $x$ höchstens ein Inverses.

Das Negative der Null ist Null/Das Inverse der Eins ist Eins

Satz (Null ist sein eigenes Negative/Eins ist sein eigenes Inverse):

Es gilt $-0=0$ und $1^{-1}=1$ (in Worten: Null ist das eindeutig bestimmte Negative zur Zahl Null und Eins ist das eindeutig bestimmte Inverse zur Zahl Eins)

Zum Beweis dieses Satzes verwenden wir den gerade bewiesenen Satz zu Eindeutigkeit des Negativen/Inversen:

Beweis (Null ist sein eigenes Negative):

• $0$ erfüllt die Nulleigenschaft: Es gilt für alle $x\in\R$, dass $0+x=x$ ist. Setzen wir in diese Gleichung für $x=0$, so erhalten wir die Gleichung $0+0=0$.
• Diese Gleichung kann man so interpretieren: Die Zahl $0$ ist ein Negatives von $0$ (zur Erinnerung: Eine Zahl $b$ ist genau dann ein Negatives der Zahl $a$, wenn $a+b=0$ ist. Wenn man $a=0$ setzt, so sieht man, dass nach obig gefundener Gleichung $0+0=0$ die Zahl $b=0$ ein Negatives der Zahl $a=0$ ist.)
• Nun ist nach dem obigen Satz das Negative einer reellen Zahl eindeutig bestimmt (es kann nur genau ein Negatives einer Zahl geben). Da $0$ ein Negatives von $0$ ist, muss es damit das eindeutig bestimmte Negative von $0$ sein. (in Formeln ausgedrückt, bedeutet dies: $-0=0$)

Beweis (Eins ist sein eigenes Inverse):

Dies kannst du wieder analog zum obigen Beweis durchführen.

Verständnisaufgabe: Beweise, dass das Inverse von Eins Eins ist

• $1$ erfüllt die Einseigenschaft: Es gilt für alle $x\in\R$, dass $1\cdot x=x$ ist. Setzen wir in diese Gleichung für $x=1$, so erhalten wir die Gleichung $1\cdot 1 = 1$.
• Nach obiger Gleichung ist $1$ ein Inverses von $1$.
• Da das Inverse einer reellen Zahl ungleich $0$ eindeutig bestimmt ist, muss $1$ das eindeutig bestimmte Inverse $1^{-1}$ der Zahl $1$ sein. Es gilt also $1^{-1}=1$.

Weitere Eigenschaften für Negatives/Inverses

Satz:

$-(-x) = x$ (das Negative vom Negativen von $x$ ist $x$).

Für $x\ne 0$ ist $(x^{-1})^{-1}=x$ (das Inverse des Inversen von $x$ ist $x$).

Der Beweis zu diesem Satz ähnelt stark dem Beweis des obigen Satzes. Wenn du willst, kannst du versuchen, diesen Beweis selber zu finden.

Beweis:

Beweisschritt 1: Beweise, dass $-(-x)=x$ ist

• $-(-x)$ ist nach Definition das Negative der Zahl $(-x)$, also diejenige reelle Zahl $a$ mit $(-x)+a=0$.
• Nun ist $a=x$ eine solche Zahl, da $(-x)+x=x+(-x)=0$ ist. Also ist $x$ ein Negatives der Zahl $(-x)$.
• Da das Negative eindeutig bestimmt ist, ist $x$ das einzige Negative von $(-x)$ und somit $-(-x)=x$.

Beweisschritt 2: Beweise, dass $(x^{-1})^{-1}=x$ ist

• $(x^{-1})^{-1}$ ist nach Definition das Inverse der Zahl $(x^{-1})$, also diejenige reelle Zahl $a$ mit $(x^{-1})\cdot a=1$.
• Nun ist $a=x$ eine solche Zahl, da $(x^{-1})\cdot x=x\cdot (x^{-1})=1$ ist. Also ist $x$ ein Inverses der Zahl $(x^{-1})$.
• Da das Inverse einer Zahl ungleich 0 eindeutig bestimmt ist, ist $x$ das einzige Inverse von $(x^{-1})$ und somit $(x^{-1})^{-1}=x$.

Satz:

Das Negative von $x+y$ ist $-x-y$ (in einer Formel: $-(x+y)=-x-y$) und das Inverse von $x\cdot y$ für $y$ und $x$ ungleich Null ist $x^{-1}\cdot y^{-1}$ (in einer Formel: $(x\cdot y)^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}$).

Dies ist eine weitere Tatsache, die du aus der Schule kennst. Kannst du sie auch beweisen?

Beweis:

Beweisschritt 1: Beweis, dass $-(x+y)=-x-y$ ist

• $-x-y$ ist ein Negatives der Zahl $x+y$, denn es gilt:

$\begin{align} & (x+y) + (-x-y) &\quad& |\ { \color{Orange} -x-y = (-x)+(-y) } \\ =\ & (x+y) + ((-x)+(-y)) && |\ { \color{Orange} \text{Kommutativgesetz} } \\ =\ & (x+y) + ((-y)+(-x)) && |\ { \color{Orange} \text{Assoziativgesetz} } \\ =\ & x + ((y + (-y)) + (-x)) && |\ { \color{Orange} y + (-y) = 0 } \\ =\ & x + (0 + (-x)) && |\ { \color{Orange} 0 + (-x) = (-x) } \\ =\ & x + (-x) && |\ { \color{Orange} x + (-x) = 0 } \\ =\ & 0 && \\ \end{align}$

• Da das Negative von $x+y$ eindeutig bestimmt ist, ist $-(x+y)=-x-y$.

Beweisschritt 1: Beweis, dass $(x\cdot y)^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}$ ist.

• $x^{-1}\cdot y^{-1}$ ist ein Inverses der Zahl $x\cdot y$, denn es gilt:

$\begin{align} & (x\cdot y) \cdot (x^{-1}\cdot y^{-1}) &\quad& |\ { \color{Orange} \text{Kommutativgesetz} } \\ =\ & (x\cdot y) \cdot (y^{-1}\cdot x^{-1}) && |\ { \color{Orange} \text{Assoziativgesetz} } \\ =\ & x \cdot ((y \cdot y^{-1}) \cdot x^{-1}) && |\ { \color{Orange} y \cdot y^{-1} = 1 } \\ =\ & x \cdot (1 \cdot x^{-1}) && |\ { \color{Orange} 1 \cdot x^{-1} = x^{-1} } \\ =\ & x \cdot x^{-1} && |\ { \color{Orange} x \cdot x^{-1} = 1 } \\ =\ & 1 && \\ \end{align}$

• Da das Inverse von $x\cdot y$ eindeutig bestimmt ist, ist $(x\cdot y)^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}$.

Umformungen von Gleichungen

Wir interessieren uns nun für die Umformung von Gleichungen der Form $a+x=b$, wobei $a$ und $b$ zwei beliebige, reelle Zahlen sind. Aus der Schule wissen wir, dass diese Gleichung die eindeutig bestimmte Lösung $x=b-a$ besitzt. Doch können wir dies auch aus den Körperaxiomen und den bisher bewiesenen Sätzen herleiten?

Satz (Lösung der Gleichung $a+x=b$):

Die Gleichung $a+x=b$ besitzt die eindeutig bestimmte Lösung $x=b-a$

Beweis:

Wir müssen zwei Dinge zeigen (Beachte, dass beide Schritte notwendig sind):

1. $x=b-a$ ist eine Lösung von $a+x=b$. (Dieser Schritt beweist nur die Existenz, aber nicht die Eindeutigkeit einer Lösung für alle Fälle von $a$ und $b$)
2. Wenn $a+x=b$ ist, so ist $x=b-a$. (Dieser Schritt beweist nur die Eindeutigkeit, aber nicht die Existenz einer Lösung für alle Fälle von $a$ und $b$)

Beweisschritt 1: Zeige, dass $x=b-a$ eine Lösung von $a+x=b$ ist

Um zu zeigen, dass $x=b-a$ eine Lösung von $a+x=b$ ist, müssen wir für $x$ den Term $b-a$ in den Term $a+x$ einsetzen und schauen, dass sich dann der Term unter Anwendung der Körperaxiome zu $b$ vereinfachen lässt:

$\begin{align} & a + x &\quad& |\ { \color{Orange} \text{Setze } x=b-a } \\ =\ & a + (b-a) && |\ { \color{Orange} b-a=b+(-a) \text{ nach Definition} } \\ =\ & a + (b+ (-a)) && |\ { \color{Orange} \text{Kommutativgesetz} } \\ =\ & a + ((-a) + b ) && |\ { \color{Orange} \text{Assoziativgesetz} } \\ =\ & (a+ (-a)) + b && |\ { \color{Orange} a+(-a)=0 } \\ =\ & 0 + b && |\ { \color{Orange} 0+b=b } \\ =\ & b && \\ \end{align}$

Beweisschritt 2: Zeige, dass wenn $a+x=b$ ist, $x=b-a$ sein muss.

Hier müssen wir zeigen, dass wenn $a+x=b$, dass dann $x=b-a$ ist. Sein nun also $a+x=b$. Wenn wir beide Seiten von rechts mit $(-a)$ addieren, so erhalten wir $(a+x)+(-a)=b+(-a)$ (Wegen dem Kommutativgesetz ist es zwar egal, von welcher Seite wir $(-a)$ addieren, dir werden aber später in der Mathematik Fälle von Strukturen begegnen, die nicht kommutativ sind, wo es also relevant ist, von welcher Seite du etwas verknüpft). Für die linke Seite der Gleichung erhalten wir $(a+x)+(-a)=(x+a)+(-a)=x+(a+(-a))=x$ und für die rechte Seite der Gleichung erhalten wir $b+(-a)=b-a$. Also ist $x=b-a$.

Man kann diesen Beweisschritt auch so aufschreiben:

$\begin{align} & a+x = b &\quad& |\ { \color{Orange} +(-a) } \\ \Rightarrow\ & (a+x)+(-a) = b+(-a) && |\ { \color{Orange} b+(-a)=b-a } \\ \Rightarrow\ & (a+x)+(-a) = b-a && |\ { \color{Orange} \text{Kommutativgesetz} } \\ \Rightarrow\ & (x+a)+(-a) = b-a && |\ { \color{Orange} \text{Assoziativgesetz} } \\ \Rightarrow\ & x+(a+(-a)) = b-a && |\ { \color{Orange} a+(-a) = 0 } \\ \Rightarrow\ & x+0 = b-a && |\ { \color{Orange} x+0=x } \\ \Rightarrow\ & x = b-a && \\ \end{align}$

Wenn du möchtest, kannst du versuchen, folgenden Satz zu beweisen:

Satz (Lösung der Gleichung $a\cdot x=b$ für $a\ne 0$):

Die Gleichung $a\cdot x=b$ mit $a\ne 0$ besitzt die eindeutig bestimmte Lösung $x=\tfrac ba$

Beweis:

Verständnisaufgabe: Beweise den obigen Satz

Hier sind folgende zwei Schritte zu beweisen:

1. $x=\tfrac ba$ mit $a\ne 0$ ist eine Lösung von $a\cdot x=b$.
2. Wenn $a\cdot x=b$ mit $a\ne 0$ ist, so ist $x=\tfrac ba$.

Beweisschritt 1: Zeige, dass $x=\tfrac ba$ mit $a\ne 0$ eine Lösung von $a\cdot x=b$ ist

Es ist

$\begin{align} & a \cdot x &\quad& |\ { \color{Orange} \text{Setze } x = \tfrac ba } \\ =\ & a \cdot \tfrac ba && |\ { \color{Orange} \tfrac ba= b \cdot a^{-1} } \\ =\ & a \cdot (b \cdot a^{-1}) && |\ { \color{Orange} \text{Kommutativgesetz} } \\ =\ & a \cdot (a^{-1} \cdot b) && |\ { \color{Orange} \text{Assoziativgesetz} } \\ =\ & (a \cdot a^{-1}) \cdot b && |\ { \color{Orange} a \cdot a^{-1}=1 } \\ =\ & 1 \cdot b && |\ { \color{Orange} 1 \cdot b=b } \\ =\ & b && \\ \end{align}$

Beweisschritt 2: Zeige, dass wenn $a\cdot x=b$ mit $a\ne 0$ ist, $x=\tfrac ba$ sein muss.

$\begin{align} & a\cdot x = b &\quad& |\ { \color{Orange} \cdot\, a^{-1} } \\ \Rightarrow\ & (a\cdot x)\cdot a^{-1} = b\cdot a^{-1} && |\ { \color{Orange} b\cdot a^{-1}=\tfrac ba } \\ \Rightarrow\ & (a\cdot x)\cdot a^{-1} = \tfrac ba && |\ { \color{Orange} \text{Kommutativgesetz} } \\ \Rightarrow\ & (x\cdot a)\cdot a^{-1} = \tfrac ba && |\ { \color{Orange} \text{Assoziativgesetz} } \\ \Rightarrow\ & x\cdot (a\cdot a^{-1}) = \tfrac ba && |\ { \color{Orange} a\cdot a^{-1} = 1 } \\ \Rightarrow\ & x\cdot 1 = \tfrac ba && |\ { \color{Orange} x\cdot 1=x } \\ \Rightarrow\ & x = \tfrac ba && \\ \end{align}$