Mathe für Nicht-Freaks: Summe und Produkt

Motivation

Wenn eine Summe viele Summanden hat, ist es unpraktikabel alle Summanden aufzuschreiben. Hier brauchst du eine abkürzende Schreibweise. Analoges gilt auch für Produkte, die viele Faktoren besitzen. Möglichkeiten solcher verkürzenden Summen- und Produktschreibweisen werden dir in diesem Kaptiel vorgestellt.

Eine Möglichkeit, Summen (und Produkte) abzukürzen, ist die Pünktchen-Schreibweise. Stell dir vor, du möchtest die Summe der Zahlen 1,2,3, ... 100 aufschreiben, etwa so:

$1+2+3+\ldots+100$

Diese Schreibweise hat den Vorteil, dass sie intuitiv ist. Du kannst sie verwenden, ohne sie dem Leser extra erklären zu müssen. Auch der Umgang mit ihr ist im Regelfall nicht schwer. Dies sind die Gründe, weswegen ich im Folgendem des Öfteren auf diese Schreibweise zurückgreifen werde. Jedoch hat sie einen entscheidenen Nachteil: Sie ist nicht eindeutig. Betrachte dazu folgendes Beispiel:

Beispiel: Wie lautet die Summe $1+2+\ldots+8$ ausgeschrieben?

Ein mögliches Ergebnis ist $1+2+3+4+5+6+7+8 = 36$ (Summe der ersten acht natürlichen Zahlen). Ein weiteres mögliches Ergebnis ist $1+2+4+8=2^0+2^1+2^2+2^3=15$ (Summe der ersten vier Potenzen von zwei). Da nicht eindeutig definiert ist, wie die Pünktchen in der obigen Summe zu ersetzen sind, könnte man auch $1+2+5+6+8=22$ und $1+2+20+(-3)+8=28$ als richtige Ergebnisse ansehen.

Wie das obige Beispiel zeigt, ist die Pünktchen-Schreibweise ungenau: Es ist nicht eindeutig definiert, wie die Pünktchen in dieser Schreibweise zu ersetzen sind. Deswegen ist sie in den Augen der Mathematik kein guter Kandidat, um sie als abkürzende Schreibweise für lange Summen und Produkte einzusetzen. Es gibt jedoch eine andere Schreibweise für Summen und Produkt, die das Problem der Ungenauigkeit nicht hat. Diese Schreibweise werde ich dir in den nächsten Abschnitten vorstellen.

Die Summenschreibweise

Hier ein Beispiel einer Summenschreibweise mit Hilfe des Summenzeichens:

$\sum_{k=1}^5 k^2$

Die Summenschreibweise

Diese Schreibweise besteht aus dem großen griechischen Buchstaben Σ ( Sigma). Dem Summenzeichen Σ folgt ein Funktionsterm (hier ist es $k^2$). Unter dem Summenzeichen steht eine neue, zuvor noch nicht benutzte Variable, die als Laufindex, Laufvariable oder Summationsvariable bezeichnet wird. Unter dem Summenzeichen steht außerdem der Startwert der Laufvariablen. Dies ist der kleinste Wert, den die Laufvariable annehmen kann und ist eine ganze Zahl. Über dem Summenzeichen steht der Endwert der Laufvariablen. Auch dieser Endwert ist eine ganze Zahl und steht für den größten Wert, den die Laufvariable annehmen kann. Der Laufindex läuft nun vom Start- zum Endwert und nimmt nacheinander jede ganze Zahl zwischen diesen beiden Werten an (daher der Name „Laufindex“ beziehungsweise „Laufvariable“). Für jeden der Werte, den die Laufvariable annimmt, wird ein Summand geschrieben. Der Funktionsterm nach dem Summenzeichen gibt dabei an, welcher Wert für diesen Summanden aufgeschrieben werden soll. Dazu wird der aktuelle Wert der Laufvariablen in den Funktionsterm eingesetzt und das Ergebnis als Summand notiert.

In unserem Beispiel ist die Laufvariable $k$. Diese läuft vom Startwert 1 bis zum Endwert 5 und nimmt dabei nacheinander die Werte $k=1,\ k=2,\ k=3,\ k=4$ und $k=5\!\,$ an. an. Der Funktionsterm, der angibt, welcher Summand aufgeschrieben werden soll, ist $k^2$. Wir erhalten für $k=1$ den Summanden $k^2=1^2=1$, für $k=2$ den Summanden $k^2=2^2=4$, für $k=3$ den Summanden $k^2=3^2=9$ und so weiter... Insgesamt erhalten wir so die Summe:

$\sum_{k=1}^5 k^2=1+4+9+16+25=55$

In der folgenden Animation siehst du nochmals die Funktionsweise der Summenschreibweise $\sum_{k=1}^5 k^2$:

Damit ergibt sich folgende Definition der Summe

Definition (Summenschreibweise):

$\sum_{k=n}^m a(k)$ ist eine Kurzschreibweise für die Summe $a(n)+a(n+1)+a(n+2)+\ldots+a(m-1)+a(m)$

Hinweis:

In der Literatur findest du häufig die Schreibweise $\sum_{k=n}^m a_k$ anstelle von $\sum_{k=n}^m a(k)$. Hier ist $a_k$ eine Kurzschreibweise für $a(k)$. Die Schreibweise $a_k$ meint wie $a(k)$ eine Zuordnungsvorschrift, die der Laufvariablen $k$ den Wert $a_k$ für den aktuellen Summanden zuordnet.

Übungsaufgabe/Beispiele: Wie lauten folgende Summen ausgeschrieben?

1. $\sum_{s=20}^{25} s$
2. $\sum_{k=0}^3 \frac{k^3 \cdot (k+1)}{2}$
3. $\sum_{l=-3}^0 2l$
4. $\sum_{n=-2}^2 \frac{n^2 \cdot k}{p}$
5. $\sum_{p=-10}^{-8} \lambda$

Wir erhalten folgende Summen:

1. $\sum_{s=20}^{25} s = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25$
2. $\sum_{k=0}^3 \frac{k^3 \cdot (k+1)}{2} = \frac{0^3 \cdot (0+1)}{2} + \frac{1^3 \cdot (1+1)}{2} + \frac{2^3 \cdot (2+1)}{2} + \frac{3^3 \cdot (3+1)}{2}$
3. $\sum_{l=-3}^0 2l = 2\cdot (-3) + 2\cdot (-2) + 2\cdot (-1) + 2\cdot 0$
4. $\sum_{n=-2}^2 \frac{n^2 \cdot k}{p} = \frac{(-2)^2 \cdot k}{p} + \frac{(-1)^2 \cdot k}{p} + \frac{0^2 \cdot k}{p} + \frac{1^2 \cdot k}{p} + \frac{2^2 \cdot k}{p}$
5. $\sum_{p=-10}^{-8} \lambda = \lambda + \lambda + \lambda$

Die Produktschreibweise

Die Produktschreibweise

Die Produktschreibweise funktioniert analog zur Summenschreibweise. Der Unterschied ist, dass anstatt summiert, multipliziert wird - insgesamt also anstatt einer Summe ein Produkt beschrieben wird. Anstelle des Sigmazeichens Σ wird ein großes Pi „Π“ verwendet. In der Produktschreibweise ist zum Beispiel:

$\prod_{k=1}^5 k^2 = 1 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 25$

In der folgenden Animation ist die Wirkungsweise der Produktschreibweise dargestellt, welche analog zur Summenschreibweise ist:

Definition (Produktschreibweise):

$\prod_{k=n}^m a(k)$ ist eine Kurzschreibweise für das Produkt $a(n)\cdot a(n+1)\cdot a(n+2)\cdot \ldots\cdot a(m-1)\cdot a(m)$

Auch hier findest du in der Literatur häufig die Schreibweise $\prod_{k=n}^m a_k$ an Stelle von $\prod_{k=n}^m a(k)$.

Übungsaufgabe/Beispiele: Wie lauten folgende Produkte ausgeschrieben?

1. $\prod_{k=1}^{5} k$
2. $\prod_{l=-3}^{-1} l^m$
3. $\prod_{n=-2}^2 (k+n)$

Wir erhalten folgende Produkte:

1. $\prod_{k=1}^{5} k=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5$
2. $\prod_{l=-3}^{-1} l^m = (-3)^m \cdot (-2)^m \cdot (-1)^m$
3. $\prod_{n=-2}^2 (k+n) = (k-2) \cdot (k-1) \cdot (k+0) \cdot (k+1) \cdot (k+2)$

Leere Summe / Leeres Produkt

Doch was passiert, wenn man die Summe beziehungsweise das Produkt nicht auschreiben kann, weil der Startwert für die Laufvariable größer als der Endwert ist? Summen, die einen größeren Startwert als Endwert haben, nennt man leere Summe und Produkte mit größerem Start- als Endwert nennt man leeres Produkt (weil die Indexmenge „leer“ ist). Im Fall leerer Produkte und Summen gibt es in der Mathematik eine Konvention, die sich in ihrer Anwendung als sinnvoll erwiesen hat. Man ordnet einer Summe, bei der der Startwert größer dem Endwert ist, die Zahl 0 zu. Einem Produkt mit größerem Start- als Endwert wird die Zahl 1 zugeordnet. Du kannst dir hier als Eselsbrücke merken: Leeren Produkten/Summen wird eine solche Zahl zugeordnet, die das Ergebnis bei der entsprechenden Verknüpfung nicht verändert (Wenn man 0 auf eine Zahl addiert, ändert sich diese Zahl nicht und auch die Multiplikation mit 1 verändert eine Zahl nicht)

Definition (Leere Summe):

Eine Summe, deren Startwert für die Laufvariable größer dem Endwert ist, nennt man leere Summe. Ihr wird der Wert 0 zugeordnet.

Definition (Leeres Produkt):

Einem Produkt, dessen Startwert für die Laufvariable größer dem Endwert ist, nennt man leeres Produkt. Ihm wird der Wert 1 zugeordnet.

Beispiel:

• $\sum_{n=4}^3 n^3 = 0$ und $\sum_{k=-2}^{-6} \tfrac{k}{n} = 0$
• $\prod_{l=0}^{-1} l = 1$ und $\prod_{h=-10}^{-11} l = 1$

Doppelsumme und Doppelprodukt

Doppelsummen und -produkte entstehen, wenn in der Summe oder dem Produkt wieder eine Summe oder ein Produkt definiert ist. Diese kannst du auflösen, indem du von außen nach innen die einzelnen Summen und Produkte auflöst:

$\begin{align} & \sum_{k=4}^6 \sum_{l=4}^k l^k \\[3px] & \quad {\color{Black}\left\downarrow\ \ddot\mathrm a\mathrm u\beta \text{ere Summe aufl}\ddot\mathrm o\text{sen}\right.}\\[3px] = & \sum_{l=4}^4 l^4 + \sum_{l=4}^5 l^5 + \sum_{l=4}^6 l^6 \\ & \quad {\color{Black}\left\downarrow\ \text{innere Summen aufl}\ddot\mathrm o\text{sen}\right.}\\[3px] = & 4^4 + \left(4^5+5^5\right) + \left(4^6+5^6+6^6\right) \\ \end{align}$

Verständnisfrage: Schreibe folgende Doppelsummen und -produkte aus.

• $\sum_{k=1}^3 \prod_{l=1}^3 a_{kl}$
• $\prod_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 a_{kl}$
• $\sum_{k=1}^3 \sum_{l=0}^k a_l \cdot b_{k-l}$

• $\begin{align} \sum_{k=1}^3 \prod_{l=1}^3 a_{kl} & = \prod_{l=1}^3 a_{1l} + \prod_{l=1}^3 a_{2l} + \prod_{l=1}^3 a_{3l} \\ & = a_{11} \cdot a_{12} \cdot a_{13} + a_{21} \cdot a_{22} \cdot a_{23} + a_{31} \cdot a_{32} \cdot a_{33} \end{align}$
• $\begin{align} \prod_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 a_{kl} & = \left(\sum_{l=1}^3 a_{1l}\right) \cdot \left(\sum_{l=1}^3 a_{2l}\right) \cdot \left(\sum_{l=1}^3 a_{3l}\right) \\ & = \left(a_{11} + a_{12} + a_{13}\right) \cdot \left(a_{21} + a_{22} + a_{23}\right) \cdot \left(a_{31} + a_{32} + a_{33}\right) \end{align}$
• $\begin{align} \sum_{k=1}^3 \sum_{l=0}^k a_l \cdot b_{k-l} & = \sum_{l=0}^1 a_l \cdot b_{1-l} + \sum_{l=0}^2 a_l \cdot b_{2-l} + \sum_{l=0}^3 a_l \cdot b_{3-l} \\ & = \left( a_0\cdot b_1 + a_1 \cdot b_0\right) + \left( a_0 \cdot b_2 + a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_0\right) + \left( a_0 \cdot b_3 + a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_1 + a_3 \cdot b_0\right) \end{align}$

Rekursive Definition der Summe und des Produkts

Es gibt ein Problem mit den obigen Definitionen für Summen und Produkte, welches ich dir nicht verschweigen möchte. Wie dir vielleicht bereits aufgefallen ist, habe ich zur Definition der Summen- und Produktschreibweise die Pünktchen-Schreibweise verwendet, obwohl wir bereits festgestellt haben, dass sie ungenau ist. Um uns nun von dieser Ungenauigkeit befreien zu können, müssen wir eine Definition der Summen- und Produktschreibweise finden, die ohne Pünktchen-Schreibweise auskommt.

Hier bietet sich die rekursive Definition an. Diese Definition vollzieht sich in zwei Schritten: dem Rekursionsschritt und dem Rekursionsanfang. Bevor ich dir erkläre, wie diese Definition funktioniert, nenne ich dir zunächst die rekursive Definition der Summe und des Produkts:

Definition:

Die Summe $\sum_{k=m}^n a(k)$ ist definiert durch:

• Rekursionsschritt: Für $n\ge m$ ist $\sum_{k=m}^n a(k) = \left(\sum_{k=m}^{n-1} a(k)\right) + a(n)$
• Rekursionsanfang: Für $n< m$ ist $\sum_{k=m}^n a(k) = 0$

Definition:

Das Produkt $\prod_{k=m}^n a(k)$ ist definiert durch:

• Rekursionsschritt: Für $n\ge m$ ist $\prod_{k=m}^n a(k) = \left(\prod_{k=m}^{n-1} a(k)\right) \cdot a(n)$
• Rekursionsanfang: Für $n< m$ ist $\prod_{k=m}^n a(k) = 1$

Zunächst fällt auf, dass die Definition des Rekursionsanfangs bei Summe und Produkt der obigen Definition der leeren Summe bzw. des leeren Produkts entspricht. Du siehst hier also eine erste Anwendung dieser Definition.

Um die rekursive Definition einer Summe (und eines Produkts) zu verstehen, kann man sich anschauen, wie mit Hilfe dieser Definition eine konkrete Summe ausgerechnet wird. Betrachten wir hierzu die Summe $\sum_{k=1}^3 k^3$. Nach dem, was wir im Abschnitt zur Summenschreibweise gelernt haben, erwarten wir für diese Summe das Ergebnis

$\sum_{k=1}^3 k^3 = 1^3+2^3+3^3$

Wie lässt sich diese Summe aus der rekursiven Definition der Summe gewinnen? Hierzu muss solange der Rekurionsschritt auf die Summe angewandt werden, bis der Rekursionsanfang verwendet werden kann. Dieses Vorgehen ist im Einzelnen in der folgenden Animation dargestellt:

Man sieht: Zunächst wird die Summe mit dem Endwert $3$ auf eine Summe mit dem Endwert $2$ zurückgeführt, indem die Definition $\sum_{k=1}^n a(k) = \left(\sum_{k=1}^{n-1} a(k)\right) + a(n)$ des Rekurionsschrittes angewandt wird (setze $n=3$ und $m=1$). Auf die verbleibende Summe mit Endwert $2$ wird nochmals der Rekurionsschritt angewandt und es entsteht eine Summe mit Endwert 1. Auf diese Summe wird nochmals der Rekursionsschritt angewandt. Die so entstandene Summe hat den Endwert 0, also einen kleineren Endwert als der Startwert 1. So ist die Bedingung für den Rekursionsanfang erfüllt und wir können die restliche Summe durch 0 ersetzen. Die Rekursion bricht ab.

Analog funktioniert die rekursive Definition des Produkts: Wenn wir ein Produkt gegeben haben, so wird mit Hilfe des Rekursionschritts das Produkt schrittweise auf ein Produkt mit immer kleinerem Endwert zurückgeführt. Irgendwann ist der Endwert des verbleibenden Produkts kleiner als der Startwert. Der Rekursionsanfang kann angewendet werden, womit die Rekursion abbricht.

Beispiele/Übungsaufgaben: Wende die rekursive Definition auf folgende Summen/Produkte an:

• $\prod_{l=-1}^0 (l-1)$
• $\sum_{n=1}^{-1} n^2$
• $\prod_{m=5}^5 (m-n)^k$

Beim ersten Produkt erhält man:

$\begin{align} &\prod_{l=-1}^0 (l-1) &\quad& \left|\ \prod_{l=-1}^0 (l-1) = \left(\prod_{l=-1}^{-1} (l-1)\right) \cdot (0-1) \text{ (Rekursionsschritt)} \right.\\ =\ & \left(\prod_{l=-1}^{-1} (l-1)\right) \cdot (0-1) && \left|\ \prod_{l=-1}^{-1} (l-1) = \left(\prod_{l=-1}^{-2} (l-1)\right) \cdot (-1-1) \text{ (Rekursionsschritt)} \right.\\ =\ & \left(\prod_{l=-1}^{-2} (l-1)\right) \cdot (-1-1) \cdot (0-1) && \left|\ \prod_{l=-1}^{-2} (l-1) = 1 \text{ (Rekursionsanfang)} \right.\\ =\ & 1 \cdot (-1-1) \cdot (0-1) && \\ =\ & 1 \cdot (-2) \cdot (-1) = 2 && \\ \end{align}$

Die Summe ist bereits leer und du erhälst:

$\sum_{n=1}^{-1} n^2 = 0 \left| \text{ (Rekursionsanfang - leere Summe)}\right.$

Und beim letzten Produkt ist das Ergebnis:

$\begin{align} & \prod_{m=5}^5 (m-n)^k &\quad& \left|\ \prod_{m=5}^5 (m-n)^k = \left(\prod_{m=5}^4 (m-n)^k\right)\cdot (5-n)^k \text{ (Rekursionsschritt) } \right.\\ =\ & \left(\prod_{m=5}^4 (m-n)^k\right)\cdot (5-n)^k && \left|\ \prod_{m=5}^4 (m-n)^k = 1 \text{ (Rekursionsanfang) } \right.\\ =\ & 1 \cdot (5-n)^k && \\ =\ & (5-n)^k && \\ \end{align}$

Alternative Summen-/Produktschreibweise

Die alternative Summenschreibweise

Es gibt auch eine alternative Schreibweise für Summen und Produkte, die mächtiger ist, als die oben vorgestellte Schreibweise. Auf die Nennung des Start- und Endwertes wird bei dieser Schreibweise verzichtet. Stattdessen definiert man unter der Summe eine Bedingung, welche als (mathematische) Aussage formuliert wird. Als Laufvariable dient in dieser Schreibweise diejenige Variable, die in der Bedingung neu eingeführt wird (demzufolge muss in der Bedingungsaussage genau eine Variable neu eingeführt werden). Die Laufvariable nimmt nun in einer beliebigen Reihenfolge alle ganzzahligen Werte an, die die gestellte Bedingung erfüllen. Nun wird wie in der oben definierten Summen-/Produktschreibweise für jeden Wert der Laufvariablen ein Summand aufgeschrieben. Auch hier gibt der Funktionsterm bzw. die Zuordnungsvorschrift nach der Summe an, welcher Wert als Summand für welchen Wert der Laufvariable aufgeschrieben wird.

Es ist auch möglich, dass in der alternativen Summen-/Produktschreibweise über mehrere Variablen summiert wird. Betrachte hierzu das Beispiel

$\sum_{k+l=3} k\cdot l$

In dieser Summe wird über alle Paare $(k,l)$ natürlicher Zahlen summiert, für die Aussage $k+l=3$ erfüllt ist. Dies trifft genau auf die Paare $k=0$ und $l=3$, $k=1$ und $l=2$, $k=2$ und $l=1$ sowie $k=3$ und $l=0$ zu. Damit ergibt sich obige Summe zu

$\begin{align} \sum_{k+l=3} k\cdot l & = 0\cdot 3 + 1\cdot 2 + 2\cdot 1 + 3\cdot 0 \\ & = 0 + 2 + 2 + 0 \\ & = 4 \end{align}$

Verständnisfrage: Was ist $\sum_{i+j+k=4} i \cdot j + k$?

Die Variablen $(i,j,k)$ können folgende Werte annehmen:

$\begin{align} \begin{array}{l} (0,0,4), (0,1,3), (0,2,2), (0,3,1), (0,4,0), \\ (1,0,3), (1,1,2), (1,2,1), (1,3,0), \\ (2,0,2), (2,1,1), (2,2,0), \\ (3,0,1), (3,1,0), \\ (4,0,0) \\ \end{array} \end{align}$

Damit erhält man für die Summe

$\begin{align} \sum_{i+j+k=4} i \cdot j + k & = \quad (0\cdot 0 + 4) + (0\cdot 1 + 3) + (0\cdot 2 + 2) + (0\cdot 3 + 1) + (0\cdot 4 + 0) \\ & \quad + (1\cdot 0 + 3) + (1\cdot 1 + 2) + (1\cdot 2 + 1) + (1\cdot 3 + 0) \\ & \quad + (2\cdot 0 + 2) + (2\cdot 1 + 1) + (2\cdot 2 + 0) \\ & \quad + (3\cdot 0 + 1) + (3\cdot 1 + 0) \\ & \quad + (4\cdot 0 + 0) \\ & = 4+3+2+1+0+3+3+3+3+2+3+4+1+3+0 \\ & = 35 \end{align}$

Wichtige Summenformeln

Nachdem ich dir die Summen- und Produktschreibweise vorgestellt habe, möchte ich dir hier Summenformeln zeigen, die dir in der Mathematik häufiger über den Weg laufen werden. Dies ist die gaußsche und die geometrische Summenformel.

Gaußsche Summenformel

Die Gaußsche Summenformel (auch Kleiner Gauß genannt) ist eine Formel für die Summe $\sum_{k=1}^n k= 1+2+3+\ldots+n$, der ersten $n$ natürlichen Zahlen. Wie Gauß nach Anekdote im zarten Alter von 9 Jahren selbst herausgefunden hat, lässt sich diese Summe vereinfachen zu $\sum_{k=1}^n k=\frac{n\cdot(n+1)}2$. Eine Möglichkeit, diese Formel zu beweisen, ist die vollständige Induktion (einen Beweis dazu findest du in der einführenden Beispielaufgabe zur vollständigen Induktion). Ich möchte dir in diesen Abschnitt einen weiteren Beweis dieser Summenformel vorstellen. Einen geometrischen Beweis zur gaußschen Summenformel findest du im Video Der kleine Gauß auf Vimeo.

Satz (Gaußsche Summenformel):

Für die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen gilt $\sum_{k=1}^n k = \frac{n\cdot (n+1)}2$

Beweis (Gaußsche Summenformel):

Um die gaußsche Summenformel zu beweisen betrachten wir zunächst zwei Summen $\sum_{k=1}^n k$:

$\begin{array}{lll} 2 \cdot \sum_{k=1}^n k &=\ {\color{OliveGreen} \sum_{k=1}^n k} + {\color{RedOrange} \sum_{k=1}^n k} & \\[5px] &=\ {\color{OliveGreen} 1+2+\ldots+(n-1)+n} + {\color{RedOrange} 1+2+\ldots+(n-1)+n} & \left|\ \text{Summe umsortieren}\right. \\[5px] &=\ \underbrace{({\color{OliveGreen} 1}+{\color{RedOrange} n})}_{=\ n+1} + \underbrace{({\color{OliveGreen} 2}+{\color{RedOrange} n-1})}_{=\ n+1} + \ldots + \underbrace{({\color{OliveGreen} n-1}+{\color{RedOrange} 2})}_{=\ n+1} + \underbrace{({\color{OliveGreen} n}+{\color{RedOrange} 1})}_{=\ n+1} \\[10px] &=\ \underbrace{(n+1)+(n+1)+\ldots+(n+1)+(n+1)}_{n\text{-mal }n+1} \\[5px] &=n\cdot (n+1) \end{array}$

Damit ist $2\cdot\sum_{k=1}^n k=n\cdot(n+1)$ und somit (nach Division auf beiden Seiten mit 2) $\sum_{k=1}^n k=\frac{n\cdot(n+1)}2$.

Geometrische Summenformel

Eine weitere wichtige Summenformel ist die geometrische Summenformel. Sie lautet: $\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$, wobei $q$ eine beliebige reelle Zahl ungleich 1 ist.

Satz (Geometrische Summenformel):

Für alle reellen $q\ne 1$ ist $\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Beweis (Geometrische Summenformel):

Es ist

$\begin{array}{llll} & \sum_{k=0}^n q^k & =\ 1+q+q^2+\ldots+q^n & \left|\ {}\cdot q\right.\\[5px] \Rightarrow\ & q\cdot \sum_{k=0}^n q^k & =\ q+q^2+q^3+\ldots+q^{n+1} & \\[5px] \Rightarrow\ & \sum_{k=0}^n q^k - q\cdot \sum_{k=0}^n q^k & =\ (1+q+q^2+\ldots+q^n)-(q+q^2+q^3+\ldots+q^{n+1})=1-q^{n+1} & \left|\ \sum_{k=0}^n q^k \text{ ausklammern}\right.\\[5px] \Rightarrow\ & (1 - q) \cdot \sum_{k=0}^n q^k & =\ 1-q^{n+1} & \left|\ {}\cdot\frac1{1-q}\right.\\[5px] \Rightarrow\ & \sum_{k=0}^n q^k & =\ \frac{1-q^{n+1}}{1-q} &\\[5px] \end{array}$

Eigenschaften der Summen- und Produktschreibweise

Aus der Definition der Summen- und Produktschreibweise ergeben sich einige Eigenschaften. Sie lauten für die Summe:

Eigenschaften der Summe

Eigenschaft	Erklärung
$\sum_{k=m}^n a(k) = \sum_{l=m}^n a(l)$	Indexumbennungsregel: Die Indizes können beliebig umbenannt werden, solange die neu eingeführte Laufvariable nicht in Konflikt mit einer bereits definierten Variable tritt.
$\sum_{k=m}^n a(k) = \sum_{k=m}^l a(k) + \sum_{k=l+1}^n a(k)$	Summen können in zwei Summen aufgeteilt werden.
$\sum_{k=m}^{n+1} a(k) = \sum_{k=m}^n a(k) + a(n+1)$	Spezialfall der obigen Eigenschaften bzw. Rekursionsschritt bei der rekursiven Definition der Summe.
$\sum_{k=m}^n a(k) = \sum_{k=m}^n a(m+n-k)$	Umkehrung der Reihenfolge der Summanden
$\sum_{k=m}^n a(k) = \sum_{k=m+l}^{n+l} a(k-l)$	Indexverschiebung
$\sum_{k=m}^{n} \lambda \cdot a(k) = \lambda \cdot \sum_{k=m}^n a(k)$	Konstantenregel: Konstanten können aus Summen rausgezogen werden.
$\sum_{k=m}^n \left(a(k)+b(k)\right) = \left(\sum_{k=m}^n a(k)\right) + \left(\sum_{k=m}^n b(k)\right)$
$\sum_{l=r}^s \sum_{k=m}^n a(l,k) = \sum_{k=m}^n \sum_{l=r}^s a(l,k)$	Allgemeines Kommutativgesetz: Die Reihenfolge der Summen bei Doppel- und damit auch bei Mehrfachsummen ist egal.
$\left(\sum_{k=m}^n a(k)\right)\cdot\left(\sum_{l=r}^s b(l)\right) = \sum_{k=m}^n \sum_{l=r}^s a(k)\cdot b(l)$	Allgemeines Distributivgesetz

Die Produktschreibweise besitzt ähnliche Eigenschaften

Eigenschaften des Produkts

Eigenschaft	Erklärung
$\prod_{k=m}^n a(k) = \prod_{l=m}^n a(l)$	Indexumbennungsregel: Die Indizes können beliebig umbenannt werden, solange die neu eingeführte Laufvariable nicht in Konflikt mit einer bereits definierten Variable tritt.
$\prod_{k=m}^n a(k) = \left(\prod_{k=m}^l a(k)\right) \cdot \left(\prod_{k=l+1}^n a(k)\right)$	Produkte können in mehrere Produkte aufgeteilt werden.
$\prod_{k=m}^{n+1} a(k) = a(n+1) \cdot \prod_{k=m}^n a(k)$	Spezialfall der obigen Eigenschaften bzw. Rekursionsschritt bei der rekursiven Definition des Produkts.
$\prod_{k=m}^n a(k) = \prod_{k=m}^n a(m+n-k)$	Umkehrung der Reihenfolge der Faktoren
$\prod_{k=m}^n a(k) = \prod_{k=m+l}^{n+l} a(k-l)$	Indexverschiebung
$\prod_{k=m}^{n} \lambda \cdot a(k) = \lambda^{n-m+1} \cdot \prod_{k=m}^n a(k)$	Konstantenregel: Konstanten können aus Produkten rausgezogen werden (Beachte den dabei entstehenden Exponenten $n-m+1$).
$\prod_{k=m}^n \left(a(k)\cdot b(k)\right) = \left(\prod_{k=m}^n a(k)\right) \cdot \left(\prod_{k=m}^n b(k)\right)$
$\prod_{l=r}^s \prod_{k=m}^n a(l,k) = \prod_{k=m}^n \prod_{l=r}^s a(l,k)$	Allgemeines Kommutativgesetz: Die Reihenfolge der Produkte bei Doppel- und damit auch bei Mehrfachsummen ist egal.

Die obigen Eigenschaften ergeben sich direkt aus der Definition der Summe. Die Beweise für die Eigenschaften kannst du dadurch finden, dass du die Pünktchenschreibweise für die Summen beziehungsweise die Produkte einsetzt. So kannst du die Eigenschaft

$\sum_{k=m}^n a(k) = \sum_{k=m}^l a(k) + \sum_{k=l+1}^n a(k)$

beweisen durch

$\begin{align} \sum_{k=m}^n a(k) & = a(m) + a(m+1) + \dots + a(n-1) + a(n) \\[3px] & = a(m) + a(m+1) + \dots a(l) + a(l+1) + \dots + a(n-1) + a(n) \\[3px] & = {\color{Orange} a(m) + a(m+1) + \dots a(l)} + {\color{OliveGreen}a(l+1) + \dots + a(n-1) + a(n)} \\[3px] & = {\color{Orange} \sum_{k=m}^l a(k)} + {\color{OliveGreen}\sum_{k=l+1}^n a(k)} \\ \end{align}$

Die anderen Eigenschaften kannst du auf einem ähnlichen Weg beweisen.