Mathe für Nicht-Freaks: Verknüpfung

Definition

Verknüpfungen sind dir bereits aus der Schule bekannt. Beispiele hierfür sind die Addition und die Multiplikation. Diese Verknüpfungen können wir nun als spezielle Abbildungen betrachten. Schauen wir uns dazu als Beispiel die Verknüpfung der Addition auf den reellen Zahlen genauer an:

Die Addition verknüpft zwei Zahlen $x$ und $y$ zu einer neuen Zahl $x+y$. Wir können somit die Addition als Abbildung vom $\R^2$ nach $\R$ auffassen. (Wiederholung: $\R^2 = \R \times \R$ ist die Menge aller geordneter Paare $(x,y)$ mit $x\in\R$ und $y\in\R$). Der Definitionsbereich ist $\R^2$, weil der bei Addition zwei reelle Zahlen miteinander verknüpft werden. Die Zielmenge ist $\R$, da das Ergebnis der Addition zweier reeller Zahlen wieder eine reelle Zahl ist. Damit ist die Addition eine Abbildung $+ : \R^2 \rightarrow \R: (x,y) \mapsto x+y$. Analog lässt sich auch die Multiplikation als Abbildung von $\R^2$ nach $\R$ mit der Zuordnungsvorschrift $(x,y)\mapsto x\cdot y$ auffassen.

Das obige Beispiel können wir nun verallgemeinern. Anstatt $\R$ betrachten wir jetzt irgendeine Grundmenge $A$. Die Addition ist eine Verknüpfung, die zwei Objekte zu einem neuen Objekt der Grundmenge verknüpft - wir wollen jetzt aber den allgemeineren Fall betrachten, dass wir eine Verknüpfung haben, die $n$ Objekte zu einem neuen Objekt verknüpft. Analog zu unserem Beispiel ist dann eine solche Verknüpfung eine Abbildung $A^n\rightarrow A$. Eine solche Verknüpfung wird auch $n$-stellige Verknüpfung genannt. Ein Synonym für das Wort „Verknüpfung“ ist der Begriff „Operation“.

Definition (Verknüpfung): Eine $n$-stellige Verknüpfung auf der Grundmenge $A$ ist eine Abbildung $A^n \rightarrow A$.

Für zweistellige Verknüpfungen wird auch der Begriff der binären Verknüpfung gebraucht.

Definition (binäre Verknüpfung): Eine binäre Verknüpfung ist eine zweistellige Verknüpfung. Eine binäre Verknüpfung auf der Grundmenge $A$ ist damit eine Abbildung $A^2\rightarrow A$.

Für binäre Verknüpfungen wird oft die Schreibweise $x\circ y$ verwendet. Hier steht $\circ$ stellvertretend für eine beliebige Verknüpfung wie die Addition $+$ oder die Multiplikation $\cdot$. Diese Schreibweise sollte nicht mit der Funktionskomposition verwechselt werden, die auch das Symbol $\circ$ verwendet (Zwar ist die Funktionskomposition eine binäre Verknüpfung, aber nicht jede binäre Verknüpfung ist eine Funktionskomposition).

Verständnisfrage: Zähle Beispiele für Verknüpfungen auf.

• Addition $(x,y)\mapsto x+y$, Multiplikation $(x,y)\mapsto x\cdot y$ und Potenzbildung $(x,y)\mapsto x^y$ sind binäre Verknüpfungen auf $\R$.
• Quadratfunktion $x\mapsto x^2$, Betragsfunktion $x\mapsto |x|$ und Sinusfunktion $x\mapsto sin(x)$ sind einstellige Verknüpfungen auf $\R$.
• Funktionskomposition von reellwertigen Funktion ist eine binäre Verknüpfung auf der Menge aller Funktionen $\R\rightarrow \R$.
• Vereinigung, Differenz, Durchschnitt sind binäre Verknüpfungen auf der Potenzmenge einer gegebenen Grundmenge.
• Komplementbildung ist eine einstellige Verknüpfungen auf der Potenzmenge einer gegebenen Grundmenge.

Eigenschaften binärer Verknüpfungen

Die folgende Tabelle von Eigenschaften bezieht sich auf binäre Verknüpfungen auf der Grundmenge $A$, also auf Abbildungen $A^2\rightarrow A$.

Eigenschaft	Definition	Definition in formaler Schreibweise
assoziativ	Werden mehrere Verknüpfungen hintereinander ausgeführt, ist die Reihenfolge, in welcher die einzelnen Verknüpfungen ausgerechnet werden, für das Ergebnis egal	$\forall x,y,z\in A: (x \circ y)\circ z = x \circ (y \circ z)$
kommutativ	Für das Ergebnis ist die Reihenfolge der Operanden egal	$\forall x,y\in A: x\circ y = y \circ x$

Verständnisfrage: Welche der folgenden Abbildungen sind kommutativ und welche sind assoziativ?

• Addition $(x,y)\mapsto x+y$ auf $\R$
• Subtraktion $(x,y)\mapsto x-y$ auf $\R$
• Multiplikation $(x,y)\mapsto x\cdot y$ auf $\R$
• Potenzbildung $(x,y)\mapsto x^y$ auf $\R$
• Funktionskomposition
• Durchschnitt auf der Potenzmenge einer Menge

binäre Verknüpfung	assoziativ	kommutativ
Addition $(x,y)\mapsto x+y$ auf $\R$	X	X
Subtraktion $(x,y)\mapsto x-y$ auf $\R$	X
Multiplikation $(x,y)\mapsto x\cdot y$ auf $\R$	X	X
Potenzbildung $(x,y)\mapsto x^y$ auf $\R$
Funktionskomposition	X
Durchschnitt auf der Potenzmenge einer Menge	X	X