Mathematik: Analysis: Anhänge: Metrische Räume

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[Bearbeiten] Wichtige Beispiele Metrischer Räume

Die wichtigsten Metrischen Räume in der Mathematik, die man ständig verwendet, sind {\mathbb R} und {\mathbb C}.
Ebenso sind sämtliche endlich dimensionalen Euklidische und Unitäre Vektorräume mit der Standardnorm metrisch.
Jede Menge wird mit Hilfe der Funktion d(x,y) = 1 für x\not=y und d(x,y) = 0 für x = y zu einem Metrischen Raum. Man spricht von DER diskreten Metrik, welche ebenfalls die diskrete Topologie erzeugt.

Lemma: Jedes abzählbare Produkt metrischer Räume M:=M_1\times M_2\times M_3\times \cdots mit Metriken d1,d2,d3,... und der Voraussetzung sup\{d_i(a_i,b_i)\, |\, a_i,b_i\in M_i\}<C\forall i für eine von i unabhängige Konstante C kann mit der folgenden Funktion zu einem Metrischen Raum gemacht werden: zu x,y\in M definiere: d(x,y):=\sum_{i=1}^\infty \frac{d(x_i,y_i)}{2^i}
Beweis: Die drei Eigenschaften einer Metrik übertragen sich direkt, falls die Summen konvergieren und dies ist der Fall, da sie durch 2C nach oben abgeschätzt werden kann.
Lemma: Sie M ein metrischer Raum mit Metrik d(.,.). Dann definiert \overline d(x,y):=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} ebenfalls eine Metrik mit 0\leq\overline d(x,y)\leq 1\quad\forall x,y\in M
Bemerkung:Die Metriken sind sogar äquivalent, das heißt sie induzieren die gleichen offenen Mengen.
Satz: Jedes abzählbare Produkt metrischer Räume M:=M_1\times M_2\times M_3\times \cdots mit Metriken d1,d2,d3,... kann mit der folgenden Funktion zu einem Metrischen Raum gemacht werden: zu x,y\in M definiere: d(x,y):=\sum_{i=1}^\infty \frac{d(x_i,y_i)}{2^i(1+d_i(x_i,y_i))}

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