Mathematik: Analysis: Differentialgleichungen

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Analysis
Einleitung
A: Grundlagen   B: Reelle Zahlen   C: Folgen und Reihen   D: Stetigkeit   E: Differentialrechnung   F: Integralrechnung   G: Differentialgleichungen

[Bearbeiten] Einleitung

Als Differentialgleichung (kurz: DGL) bezeichnet man Gleichungen, in denen eine gesuchte Funktion f(x) sowie ihre Ableitungen auftreten. Also Gleichungen der Form

F\left( x, y, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}, \dots \right) = 0

Differentialgleichungen treten in den verschiedensten Bereichen der Naturwissenschaften auf, z. B. in der Physik, Chemie, Biologie, Elektrotechnik oder anderen. Sie werden benötigt um das dynamische Verhalten verschiedener Prozesse zu beschreiben und zu untersuchen.

[Bearbeiten] lineare Differentialgleichung

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten gehören zu den einfachsten Typen von Differentialgleichungen. Sie haben die Form

a_n \frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n} + \dots + a_2 \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + a_1 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_0 y = f(x)

Ist f(x) \equiv 0, so nennt man die Gleichung homogen.

[Bearbeiten] Trennung der Veränderlichen

Trennung der Veränderlichen ist eine Methode zur Lösung einfacher Differentialgleichungen 1. Ordnung. Die Idee hierbei ist die beiden Veränderlichen von einander zu trennen und anschließend zu integrieren.

Betrachten wir die lineare, homogene DGL 1. Ordnung:

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = a \cdot y

Als erstes werden die beiden Veränderlichen, hier x und y von einander getrennt. Hier wollen wir alle y auf die linke Seite, alle x auf die rechte Seite bringen:

\frac{\mathrm{d}y}{y} = a \cdot \mathrm{d}x

Jetzt wird über beide Seiten der Gleichung integriert.

\int\frac{\mathrm{d}y}{y} = \int a \cdot \mathrm{d}x

\ln y = a x + \tilde{c} \Leftrightarrow y(x) = e^{ax+\tilde{c}} = c \cdot e^{ax}

Eine Integrationskonstante wird hier nur auf einer Seite eingefügt, da die beiden Integrationskonstanten aus den beiden Integralen zu einer einzigen zusammengefasst werden können. Durch Ableiten und Einsetzen der gefunden Lösung kann man leicht zeigen, dass die gefundene Lösung die DGL erfüllt.

Wie man leicht sieht existieren unendlich viele Lösungen, da für das c jede beliebige Zahl eingesetzt werden kann. Deshalb benötigt man noch eine zusätzliche Bedingung, eine sogenannte Anfangsbedingung. Anfangsbedingungen sind im allgemeinen durch y(x0) = y0 gegeben.

Zum Beispiel folgt aus obiger Gleichung mit der Anfangsbedingung y(0) = 2:

y(0) = c \cdot e^0 = c = 2

Damit lautet die Lösung:

y(x) = 2 \cdot e^{ax}

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