Mathematik: Analysis: Differentialrechnung: Differenzierbarkeit

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Sei f(x) eine Funktion, die in der Umgebung U von x0 definiert ist. Nun gibt die Ableitung f'(x) der Funktion f deren Steigung an. Es gibt nun i. A. zwei Möglichkeiten, die Ableitungsfunktion oder den Differenzialquotienten an der Stelle x0 zu notieren: f'(x0) oder \left. \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right|_{x=x_0}. Dieser wird über einen Grenzwert definiert:

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Um nun die Ableitungsfunktion f' an der Stelle x0 bestimmen zu können, muss der Grenzwert \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} an dieser Stelle selbstverständlich existieren.

Eine Funktion f an der Stelle x0 ist also differenzierbar, wenn

  • x_0 \in D
  • \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} existiert
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