Mathematik: Analysis: Differentialrechnung: Rechenregeln für Ableitungen

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[Bearbeiten] Ableitungsregeln

Funktion	Ableitungen	Erklärung zum Ableiten
$f(x)=x^n\,$	$f'(x)=nx^{n-1}\,$	Man setzt den Exponenten n vor die Variable x bzw. man multipliziert beide miteinander. Von dem Exponenten wird 1 subtrathiert.
$f(x)=a \cdot x^n+b\,$	$f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}\,$	Gleiche Vorgehensweise wie oben, der Exponent n wird hier nur noch mit dem Faktor a multipliziert und der Summand der mit keinem x multipliziert wird, fällt einfach weg.
$f(x)=\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$	Bei $\sqrt{x}$ kommt der Term einfach in den Nenner, welcher gleichzeitig den Wert 2 annimmt.
$f(x)=e^x\,$	$f'(x)=e^x\,$ $f''(x)=e^x\,$	Egal wie oft man $e x$ ableitet, es bleibt immer gleich!
$f(x)=\sin x\,$	$f'(x)=\cos x\,$	Die Ableitung des Sinus von x ist einfach der Kosinus von x.
$f(x)=\cos x\,$	$f'(x)=-\sin x\,$	Die Ableitung des Kosinus von x ist der negative Sinus von x.
$f(x)=\tan x\,$	$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$
$f(x) = a^x (a>0; a \neq 1)\,$	$f'(x) = a^x \cdot \ln a = \frac{a^x}{\log_a e}\,$ $f''(x) = a^x \cdot \ln a \cdot \ln a\,$
$f(x) = \ln x \,$	$f'(x) = \frac{1}{x}$ $f''(x) = - \frac{1}{x^2}$
$f(x) = \log_a x\,$ $(a>0; a \neq 1;x>0)\,$	$f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a}\,$ $f''(x) = -\frac{1}{x^2 \cdot \ln a}$	Der Exponent von x steigt mit jeder Ableitung weiter an.
$f(x) = \arcsin x\,$	$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ $f''(x) = \frac{x}{(1 - x^2) \cdot \sqrt{1 - x^2}}$
$f(x) = \arccos x\,$	$f'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$ $f''(x) = \frac{-x}{(1 - x^2) \cdot \sqrt{1 - x^2}}$
$f(x) = \arctan x\,$	$f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ $f''(x) = \frac{-2x}{(1 + x^2)^2}$