Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen

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Analysis
Einleitung
A: Grundlagen   B: Reelle Zahlen   C: Folgen und Reihen   D: Stetigkeit   E: Differentialrechnung   F: Integralrechnung   G: Differentialgleichungen

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Folgen

Sei X eine beliebiger normierter Vektorraum, z.B. die Menge der reellen Zahlen. Eine Folge a=(a_n)_{n\in \mathbb N} ist eine abzählbare, geordnete Teilmenge von X. Man kann sie auch als Abbildung von \mathbb N nach X interpretieren (es wird also jeder natürlichen Zahl ein Element aus X zugeordnet). Eine Folge b=(b_n)_{n\in\N} heißt Teilfolge von a, falls eine streng monoton wachsende Funktion \varphi:\mathbb N \rightarrow \mathbb N existiert mit a_{\varphi(n)}=b_n für alle n\in\mathbb N.

[Bearbeiten] Beispiele

Wichtige Beispiele sind

  • a_n := \frac 1 n. Hier sind die Folgenglieder gegeben durch 1,~\frac 1 2, ~ \frac 1 3,\ldots
  • a_n := \frac 1 {n^2}
  • a_n := \frac{(-1)^n} n



[Bearbeiten] Konvergenz und Beschränktheit

Oft interessiert das Verhalten einer Folge (a_n)_{n\in\mathbb N} wenn n sehr groß wird. Es kann nämlich der Fall eintreten, dass alle Folgenglieder auf einen bestimmten Punkt a zulaufen. Dieser Punkt a wird dann Grenzwert genannt und man sagt, dass die Folge gegen ihn konvergiert. Das ganze fassen wir noch einmal formal in der nächsten Definition zusammen.


Definition (Konvergenz): Sei (a_n)_{n\in\mathbb N} eine Folge reeller Zahlen. (a_n)_{n\in\mathbb N} heißt konvergent gegen den Grenzwert a\in\mathbb R, wenn gilt: Für jedes \varepsilon\in\mathbb R mit \varepsilon > 0 existiert ein N\in\mathbb N, so dass

\left\vert a_n-a\right\vert <\varepsilon\,\forall n\geq N

gilt.


In dieser Definition hängt das N von \varepsilon ab. Je kleiner \varepsilon wird, um so größer muss N gewählt werden. Die Folge konvergiert genau dann, wenn in jeder \varepsilon-Umgebung um den Grenzwert fast alle (bis auf endlich viele Ausnahmen) Folgenglieder liegen.

Konvergiert die Folge (a_n)_{n\in\mathbb N} gegen den Grenzwert a, so schreibt man auch

\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n)_{n\in\mathbb N}=a oder wenn n\rightarrow\infty klar ist \lim (a_n)_{n\in\mathbb N}=a.

Eine Folge mit dem Grenzwert 0 nennt man auch Nullfolge. Eine Folge die nicht konvergiert, heißt divergente Folge.


Beispiele:

(1) Die konstante Folge an = a konvergiert gegen a.

(2) Die schon bekannte Folge a_n = \frac 1 n ist eine Nullfolge: denn für jedes \varepsilon\in\mathbb R existiert ein N\in\mathbb N mit \frac 1 N < \varepsilon. Damit ist

\left\vert \frac 1 n - 0\right\vert = \frac 1 n < \varepsilon\,\forall n \geq N.

Also ist \lim_{n\rightarrow\infty}(a_n)_{n\in\mathbb N}=0.

(3) Die Folge an: = n, n\in\mathbb N, divergiert. Nach der Definition der Konvergenz müsste es ein \varepsilon:=\frac 1 2 und ein N\in\mathbb N geben mit

\vert a_n - a\vert < \varepsilon für alle n\geq N.

Für alle n\geq N folgt daraus mit etwas Hilfe der Dreiecksungleichung:

\begin{align} 1 & = \vert a_{n+1} - a_n \vert = \vert (a_{n+1}-a)+(a-a_n) \vert \\ & \leq \vert a_{n+1}-a \vert + \vert a - a_n \vert \\ & < \frac 1 2 + \frac 1 2 = 1 \end{align} .

Wir erhalten also die Aussage 1 < 1, die offensichtlich ein Widerspruch ist. Damit ist die Aussage der Divergenz bewiesen.


Satz (Eindeutigkeits des Grenzwertes): Sei (a_n)_{n\in\mathbb N} eine Folge die gegen a,b und b konvergiert. Dann gilt a = b.

Beweis: Wir nehmen a\neq b an. Sei nun \varepsilon:=\vert a.b\vert/2. Dann gibt es nach der Definition des Grenzwertes zwei natürliche Zahlen N1,N2 mit

\vert a_n-a\vert<\varepsilon für n\geq N_1 und \vert a-b\vert<\varepsilon für n\geq N_2.

Für n: = max(N1,N2) gilt dann also gleichzeitig \vert a_n-a\vert<\varepsilon und \vert a-b\vert<\varepsilon. Wir addieren dieses beiden Ungleichungen und wenden die Dreiecksungleichung an. Damit folgt

\vert a-b\vert\leq\vert a-a_n\vert+\vert a_n-b\vert<2\varepsilon=\vert a-b\vert.

Die Aussage \vert a-b\vert<\vert a-b\vert ist ein Widerspruch. Also muss a = b gelten.


Definition (Beschränktheit): Sei (a_n)_{n\in\mathbb N} eine folge reeller Zahlen. (a_n)_{n\in\mathbb N} heißt nach oben (nach unten) beschränkt, wenn es ein C\in\mathbb R gibt mit

a_n\leq C (a_n\geq C) für alle n\in\mathbb N.

(a_n)_{n\in\mathbb N} heißt beschränkt, wenn für 0<C\in\mathbb R

\vert a_n\vert \leq C.


Eine manchmal hilfreiche Folgerung ist der folgende Satz.

Satz: Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beweis: Sei \lim_{n\rightarrow\infty}(a_n)_{n\in\mathbb N} = a. Dann gibt es nach Definition ein N\in\mathbb N mit

\vert a_n - a \vert für alle n\geq N.

Es folgt

\vert a_n \vert = \vert a + a_n - a \vert \leq \vert a \vert + \vert a_n - a \vert < \vert a \vert + 1

Also sind alle Folgenglieder ab aN durch \vert a \vert + 1 beschränkt. Übrig bleibt also zu zeigen, dass die Menge M: = {ai:i < N} beschränkt ist: M enthält aber nur edlich viele Glieder und besitzt damit ein Maximum. Die Folge (a_n)_{n\in\mathbb N} ist somit durch \max (M\cup\{\vert a \vert + 1\}) beschränkt.

Vorsicht! Die Umkehrung dieses Satzes gilt im Allgemeinen nicht. Man betrachte hierfür nur die Folge an = ( − 1)n. Diese ist zwar beschränkt aber sie konvergiert nicht.

[Bearbeiten] Cauchy-Folgen

Definition (Cauchy-Folge): Eine Folge (a_n)_{n\in\mathbb N} heißt Cauchy-Folge, falls für alle \varepsilon>0 ein N\in\mathbb N existiert, so dass |a_n-a_m|<\varepsilon für alle n,m\geq N gilt.

Satz: Jede konvergente Folge reeller Zahlen ist eine Cauchy-Folge.

Beweis: Sei (a_n)_{n\in\mathbb N} eine konvergente Folge. Dann gibt es ein \varepsilon>0 ein N\in\mathbb N mit

\vert a_n-a\vert <\frac \varepsilon 2 für alle n\geq\mathbb N

Daraus folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung

\vert a_n-a_m\vert \leq \vert a_n-a\vert+\vert a-a_m\vert < \varepsilon für alle n,m \geq N.

[Bearbeiten] Teilfolgen

Definition (Teilfolge): Sei (a_n)_{n\in\mathbb N} eine Folge reeller Zahlen und

n_0<n_1<n_2<\ldots

eine aufsteigende Folge natürlicher Zahlen. Dann heißt

(a_{n_k})_{k\in\mathbb N}

Teilfolge von (a_n)_{n\in\mathbb N}.


Man sieht schnell ein, dass bei einer konvergenten Folge ebenfalls alle Teilfolgen konvergieren. Doch wie sieht es bei divergenten Folgen aus? Der folgende Satz von Bolzano-Weierstraß lierfert ein Kriterium, wann eine Teilfolge mit Sicherheit konvergiert.

Satz (Bolzano-Weierstraß): Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge.

Beweis:

Sei M \sub \mathbb R eine beschränkte unendliche Menge. Zu dieser Menge M\!\, sei eine Hilfsmenge H\!\, wie folgt definiert:

H := \lbrace x\ |\ x \in \mathbb R,\ ]-\infty,x[\ \cap\ M \mbox{ ist endlich }\rbrace .

1. Nachweis der Existenz eines Supremums für die Hilfsmenge H

Wenn gezeigt werden kann, dass H\!\, eine nichtleere nach oben beschränkte Menge ist, liefert die Eigenschaft der Vollständigkeit die Existenz eines Supremums von H\!\,.

H \ne \emptyset Da die Menge M beschränkt ist, ist sie insbesondere nach unten beschränkt. Sei u\!\, eine solche untere Schranke. Dann ist

      ]-\infty,u[\ \cap\ M\ = \emptyset

Da die leere Menge endlich ist, ist u\!\, ein Element von H. Also ist H\!\, nicht leer.
     H\!\,
nach oben
beschränkt		 Da M\!\, beschränkt ist, existiert eine obere Schranke s\!\, von M\!\,.

Sei s_1\!\, > s. Dann ist   ]-\infty,s_1[\ \cap\ M\ = M\ eine unendliche Menge, da M\!\, eine unendliche Menge ist.

Es folgt s_1 \notin H. Dann ist aber s\!\, aber auch eine obere Schranke von H\!\, .
Die Vollständigkeit von \mathbb R liefert die Existenz eines Supremums s := sup\ H\!\, .


2. Das Supremum s := sup H ist ein Häufungspunkt von M

Sei ε > 0. Zu zeigen ist: Uε(s)  =  ] s-ε,s+ε [ enthält mindestens einen von s verschiedenen Punkt von M.

  1. Es gibt ein h ∈ H mit h ∈ ] s-ε,s+ε [, da sonst s-ε eine obere Schranke von H wäre. Das kann aber nicht sein, da s als kleinste obere Schranke von H definiert wurde. Mit h ∈ H folgt aus der Definition von H, dass es nur endlich viele x ∈ M geben kann mit x < h, denn sonst wäre H nicht endlich.

  2. Andererseits folgt wegen s+ε (s ist sup H und ε>0), dass es unendlich viele x ∈ M geben muss mit x < h+ε.

  3. Aus 1. und 2. folgt, dass es unendlich viele x ∈ M geben muss mit h ≤ x < h+ε (denn zieht man von den unendlich vielen x aus 2. die endlich vielen aus 1. ab, so bleiben immer noch unendlich x viele übrig).
Also gibt es unendlich viele x ∈M mit x ∈Uε(s). Es wäre bereits ausreichend gewesen einen von s verschiedenen Punkt zu finden.

[Bearbeiten] Metrische Räume

Ist X kein normierter sondern ein metrischer Raum, so kann man Folgen genauso definieren und die Begriffe Konvergenz, Beschränktheit etc. äquivalent einführen, indem die Ausdrücke | an − a0 | bzw. | an − am | durch d(an,a0) bzw. d(an,am) ersetzt, wobei d die Metrik auf X ist.

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