Mathematik: Analysis: Grundlagen: Rationale Zahlen

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Rationale Zahlen

Die Entdeckung der rationalen Zahlen ergab sich aus dem Wunsch, Brüche auch dann darstellen zu können, wenn der Quotient keine ganze Zahl ist. Nicht nur die Zielsetzung für die Konstruktion von \mathbb Q aus \Z ist analog zur Kosntruktion von \Z aus \N, auch eine analoge Vorgehensweise ist möglich, da für Büche gilt:

\frac{p_1}{q_1} = \frac{p_2}{q_2} \quad \Leftrightarrow \quad p_1 q_2 = p_2 q_1

Aus diesem Grund werden die Definitionen und Sätze hier ohne weitere Ausführungen angegeben.


[Bearbeiten] Definition der rationalen Zahlen

Definition und Satz
  1. Sei ≈ eine Relation auf \Z \times (\Z \setminus \{ 0 \}) definiert durch

    ≈ := { ( (p1,q1), (p2,q2) ) ∈ (\Z \times (\Z \setminus \{ 0 \}))\times(\Z \times (\Z \setminus \{ 0 \}))   |   p1q2 = p2q1 }.

    Für zwei Elemente (p1,q1), (p2,q2) gilt also: "(p1,q1) ≈ (p2 q2)" ⇔ "p1q2 = p2q1".

    Dann ist ≈ eine Äquivalenzrelation.

  2. Die Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation heißen rationale Zahlen, d. h.

    \mathbb Q  := {  [ (p,q) ]   |   "(p,q) ∈ (\Z \times (\Z \setminus \{ 0 \}))\times(\Z \times (\Z \setminus \{ 0 \}))"   und   "(p1,q1)∈ [ (p,q) ]   ⇔   p1q = pq1" }

    Die Klasse [ (0,1) ] wird mit "Null" bzw. "0" bezeichnet.


[Bearbeiten] Addition und Multiplikation

Definition und Satz
Seien a = [ ( p1,q1 ) ] und b = [ ( p2,q2 ) ] zwei rationale Zahlen. Auf \mathbb Q wird durch
  1. \oplus : \mathbb Q \times \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q

    \text { }[ ( p_1,q_1 ) ] \oplus [ ( p_2,q_2 ) ] := [ (p_1q_2+p_2q_1,q_1q_2) ]

    eine Abbildung, die Addition \oplus , definiert. Diese Abbildung ist assoziativ und kommutativ.

  1. \odot : \mathbb Q \times \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q

    \text { }[ ( p_1,q_1 ) ] \odot [ ( p_2,q_2 ) ] := [ (p_1p_2,q_1q_2) ]

    eine Abbildung, die Multiplikation \odot , definiert. Diese Abbildung ist assoziativ und kommutativ.


Hinweis: Für Addition und Multiplikation wurden die Regeln   \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1q_2+p_2q_1}{q_1q_2}   und   \frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1p_2}{q_1q_2}   verwendet.


[Bearbeiten] "Einbettung" der ganzen in die rationalen Zahlen

Satz
Die Abbildung

σ : \Z \ \rightarrow \mathbb Q
σ(n) := [ ( n,1 ) ]

ist injektiv, additions- und multiplikationserhaltend, d. h. es gilt: σ(n+m) = σ(n) \oplus σ(m) und σ(n·m) = σ(n) \odot σ(m).


Hinweis: Hier wurde die Regel   n = \frac{n}{1}   verwendet.


[Bearbeiten] Quotienten

Definition und Satz
Sei p, q ∈ \mathbb Q . Dann gibt es genau ein z∈ \mathbb Q mit qz = p.
Dieses z schreibt man auch   \frac{p}{q}   und nennt es den Quotioenten von p und q.



Die rationalen Zahlen lassen sich also als Menge aller Brüche aus ganzen Zahlen darstellen:


\mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q}\quad |\quad p \in \mathbb{Z},\ q \in \mathbb{N} \right\}

Der Fall q = 0 ist per Definition ausgeschlossen.



[Bearbeiten] Mächtigkeit der rationalen Zahlen

Satz
\N und \mathbb Q sind gleichmächtig , d. h. \mathbb Q ist abzählbar.


Beweis
Eine Beweisidee beruht auf dem Cantorschen Diagonalverfahren. Details hierzu enthält der Wiki-Artikel Cantors erstes Diagonalargument.

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