Mathematik: Analysis: Integralrechnung

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[Bearbeiten] Zusammenfassung des Projekts

• Zielgruppe: Schülerinnen und Schüler die die Grundlagen des Integrals erlernen wollen

• Lernziele: Selbstständiges Auflösen von einfachen und komplexeren Integralen

• Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht? Bevor ihr etwas schreibt, bitte setzt euch vorher mit mir in Kontakt. Danke -- Miujin 08:55, 23. Sep. 2007 (CEST)

• Richtlinien für Co-Autoren: Eine einfache, verständliche Sprache für jeden Interessierten wäre ein wichtiges Ziel. Das Buch soll eine Allgemeingültige Definition, aber auch eine Schritt für Schritt Anleitung werden.
• Themenbeschreibung: Folgt in Kürze

• Aufbau des Buches: Folgt in Kürze

Inhaltsverzeichnis 1 Zusammenfassung des Projekts 2 Einleitung 3 Grundlegender Gedanke zu Integralen 4 Definition der Stammfunktion 5 Definition des unbestimmten Integrals 6 Die Integralfunktion: Hauptsatz 7 Berechnung von Integralen: Fläche und Rauminhalt 7.1 Berechnung der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse 8 Uneigentliche Integrale 9 Eigenschaften des Integrals und Rechenregeln 10 Weiterführende Integralrechung

[Bearbeiten] Einleitung

Die Integralrechnung wird für die Berechnung von Flächen und Volumen und der Gesamtzahl einer zeitlich veränderten Kraft benutzt. Man geht dabei von einer Formel aus, für die man eine Stammfunktion finden muss, dass man anschließend mit einer Eingrenzung der Funktion auf der X Achse ein bestimmtes Integral bilden kann, dass man berechnen kann.

[Bearbeiten] Grundlegender Gedanke zu Integralen

Zur Veranschaulichung orientieren wir uns am Graph Gesucht ist hier die Fläche A unter dem Graphen G_f, der von der x-Achse, der y-Achse und einer Geraden bei x = 2 sowie G_f begrenzt ist.

[Bearbeiten] Definition der Stammfunktion

Eine differenzierbare Funktion F heißt Stammfunktion zu einer Funktion f, wenn im gemeinsamen Definitionsbereich gilt: F'(x)=f(x) bzw. F'=f Die Stammfunktion F ergibt also abgeleitet die Funktion f.
Zum Bilden der Stammfunktion benötigt man nun Integrationsregeln (genau so wie es Regeln zur Ableitung gibt).

[Bearbeiten] Definition des unbestimmten Integrals

Die Operation, die einer gegebenen Funktion eine Stammfunktion F zuordnet heißt Integration. Sie ist die Umkehroperation der Differentiation. Unter dem unbestimmten Integral einer im Intervall I definierten Funktion versteht man die Menge aller Stammfunktionen von f in I.
Man schreibt:

f(x) ist der Integrand, dx gibt die Variable an, nach der integriert wrden soll (wie hier meistens „x“) und C ist die Integrationskonstante (eine beliebige reelle Zahl).
Die grundlegende Regel zur Integration ganzrationaler Funktionen ist die Potenzregel. Sie ist die Umkehrung der Potenzregel der Differentiation:

[Bearbeiten] Die Integralfunktion: Hauptsatz

[Bearbeiten] Berechnung von Integralen: Fläche und Rauminhalt

[Bearbeiten] Berechnung der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse

Die Fläche zwischen dem Graph der Funktion f(x) und der x- Achse zwischen den Grenzen a und b (f(x) >= 0 im Intervall [a;b]) berechnet sich folgendermaßen:

Gilt im Intervall [a;b] f(x)<0, so berechnet sich die Fläche mit der Formel:

Allgemein sagt man:

Die Funktion darf dabei aber im Intervall [a;b] keine Nullstellen haben.

[Bearbeiten] Uneigentliche Integrale

Uneigentliche Integrale sind bestimmte Integrale, welche jedoch als Ergebnis keine rationale Zahl ist. Das Ergebnis eines uneigentlichen Integrals ist ein Grenzwert. Unbestimmte Integrale kann man an Polstellen finden oder bei Funktionen die man bis unendlich integriert. Es gibt uneigentliche Integrale der 1. und 2. Art.

[Bearbeiten] Eigenschaften des Integrals und Rechenregeln

[Bearbeiten] Weiterführende Integralrechung

--> Integration durch Substitution
--> Produktintegration
--> Rotationskörper O

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