Mathematik: Analysis: Konvergenz von Reihen

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung
2 Cauchykriterium
- 2.1 Beispiele
3 Majorantenkriterium
- 3.1 Beispiele
  - 3.1.1 erstes Beispiel
4 Quotientenkriterium
- 4.1 Beispiele
5 Wurzelkriterium
- 5.1 Beispiele
6 Leibnizkriterium
- 6.1 Beispiele
7 Integraltest
- 7.1 Beispiel
8 Übungsaufgaben

[Bearbeiten] Einleitung

Die "Konvergenz von Reihen" ist äquivalent zur Konvergenz der Folge der Partialsummen einer Folge $\{a_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ : $\lbrace s_n \rbrace _{n=1}^\infty$ mit $s_n := \sum_{k=1}^n a_k$ .

Eine Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ heißt konvergent, wenn $\lbrace s_n \rbrace _{n=1}^\infty$ konvergiert.

Reihen, die nicht konvergieren nennt man auch divergent.

[Bearbeiten] Cauchykriterium

Eine Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergiert dann, wenn die Folge der Partialsummen $\lbrace s_n \rbrace _{n=1}^\infty$ eine Cauchy-Folge ist.

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Majorantenkriterium

Gegeben sei die Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ . Die Reihe $\sum_{k=1}^\infty b_k$ heißt Majorantenreihe zu $\sum_{k=1}^\infty a_k$ , falls $\forall k \ge 1 : \left| a_k \right| \le b_k$ .

Wenn eine Majorantenreihe $\sum_{k=1}^\infty b_k$ konvergiert, so ist auch die Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergent.

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] erstes Beispiel

$\sum_{n=0}^\infty\frac{n!}{n^n}=\leq\sum_{n=0}^\infty\frac{2\cdot n^{n-2}}{n^n}=2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2}$

$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2}$ ist eine Majorante, von der wir wissen, dass sie konvergiert, zu $\sum_{n=0}^\infty\frac{n!}{n^n}$ . Also konvergiert auch letztere.

[Bearbeiten] Quotientenkriterium

Eine Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergiert absolut, wenn $\exists k_0$ , so dass $\forall k > k_0$ gilt: $\left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| \le q < 1$

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Wurzelkriterium

Eine Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergiert absolut, wenn $\exists k_0$ mit $\forall k > k_0 : \sqrt[k]{ \left| a_k \right| } \le q < 1$

[Bearbeiten] Beispiele

gibts nicht

[Bearbeiten] Leibnizkriterium

Eine Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ heißt alternierende Reihe, wenn $\forall k \in \mathbb{N} : a_k \cdot a_{k+1} < 0$ mit $a_k \in \mathbb{R} \forall k \in \mathbb{N}$

Eine alternierende Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergiert, wenn die Folge $\{ b_k \} _{k=1}^\infty := \{ (-1)^k a_k \} _{k=1}^\infty$ eine monotone Nullfolge bildet.

[Bearbeiten] Beispiele

$\{ a_k \} _{k=1}^\infty = \left\{ \frac{(-1)^k}{k} \right\} _{k=1}^\infty , a_k \cdot a_{k+1} = \frac{(-1)^k (-1)^{k+1}}{k \cdot (k+1)} = \frac{-1}{k \cdot (k+1)} < 0$ (Reihe alterniert)

$b_k = (-1)^k \cdot a_k = (-1)^k \frac{(-1)^k}{k} = \frac{1}{k}$ , also $\{ b_k \} _{k=1}^\infty = \left\{ \frac{1}{k} \right\} _{k=1}^\infty \rightarrow 0$ (Leibnizkriterium erfüllt, Reihe konvergiert)

[Bearbeiten] Integraltest

Sei $a k = f (k)$ , wobei $f:[1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ stetig, monoton abnehmend. Dann gilt:

$\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \sum_{k=1}^{\infty} f(k) < \infty \Leftrightarrow \int_1^\infty f(t)\ dt < \infty$

[Bearbeiten] Beispiel

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ konvergiert, da $f(t) = \frac{1}{t^2}$ monoton fallend ist und $\int_1^\infty \frac{1}{t^2} \ dt = -\frac{1}{t^2} |_{1}^\infty = 1 < \infty$