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Mathematik: Analysis: Reelle Zahlen: Wichtige Ungleichungen

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Topologie – Sätze v. Bolzano-Weierstraß u. Heine-Borel  		 Folgen und Reihen


In diesem Kapitel werden 3 bekannte Ungleichungen eingeführt, die auch immer wieder verwendet werden. Mit einer dieser Ungleichungen lassen sich ganzzahlige Potenzen abschätzen. Bei dieser Ungleichung wird kurz auf die Rechenregeln für ganzzahlige Exponenten eingegangen.


Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Mittel-Ungleichung

Für nichtnegative Zahlen x , y ∈ \mathbb R , x ≥ 0 und y ≥ 0 bezeichnet man
\frac{x+y}2 als arithmetisches Mittel und \sqrt{ xy } als geometrisches Mittel dieser Zahlen. Es gilt:

     \frac{x+y}2 \ge \sqrt{ xy }.

Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn x = y.


Wegen der Rechenregeln für Ungleichungen ist diese Behauptung äquivalent zu

     \left( \frac{x+y}2 \right)^2 \ge \text {xy} . Für den Beweis ist daher die Existenz von Wurzeln aus nichtnegativen reellen Zahlen keine Voraussetzung.


Beweis
Zu zeigen ist also

\left ( \frac{x+y}2 \right )^2 \ge \text {xy} .

Subtrahiert man auf beiden Seiten x·y, so ergibt sich:

\left ( \frac{x-y}2 \right)^2 = \left(\frac{x+y}2 \right)^2 - xy \ge 0 .

Diese Ungleichung. ist offensichtlich richtig, das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn x = y.

[Bearbeiten] Ganzzahlige Potenzen

Mit der Bernoullischen Ungleichung lassen sich Potenzen nach unten abschätzen. An dieser Stelle sollen kurz die ganzzahligen Potenzen und paar Rechenregeln eingeführt werden. Die Eindeutigkeit der n-ten Potenz für positive n ∈ \N wurde schon im Abschnitt über natürliche Zahlen gezeigt.


Definition und Satz


Sei n ∈ \N und x ∈ \mathbb R. Definiert man
  1.       x1 := x,   xn+1 := xn·x , für
  2.       x  ≠  0: x-n := \frac{1}{x^n} und
  3.       x0 := 1
so nennt man n den Exponenten und x die Basis der Potenz xn.

Seien n, m ∈ \N und x, y ∈ \mathbb R und bei negativem Exponenten die zugehörige Basis von Null verschieden. Dann gelten folgende Rechenregeln:
  1.       1n = 1
  2.       xn·xm = xn+m
  3.       (xn)m = xn·m und
  4.       (xy)n = xnyn


Beweis
Die Beweise können einfach mit vollständiger Induktion über n oder m gezeigt werden. Eine Fallunterscheidung in  >0, <0 und =0 für m oder n ist in einigen Fällen hilfreich.

[Bearbeiten] Bernoullische Ungleichung

Für alle x ∈ \mathbb R , x ≥ -1 und alle n ∈ \N gilt:

      (1+x)^n \ge 1 + nx

das Gleichheitszeichen gilt genau dann wenn n = 1 oder wenn n > 1 und x=0


Beweis
Der Beweis erfolgt über vollständige Induktion über n:
n = 1: ist klar, hier gilt auch für alle x das Gleichheitszeichens.
n → n+1: (1+x)n+1 = (1+x)n (1+x) ≥ (1+nx) (1+x).
Durch ausmultiplizieren ergibt sich: (1+x)n+1 ≥ 1 + (n+1)x + nx2.
n ≥ 1: Für n≥ 1 ist auch nx2 ≥ 0 also (1+x)n+1 ≥ 1 + (n+1)x und das zeigt die Gültigkeit der Ungleichung für n+1.
n ≥ 1 und x ≠ 0: Dann ist nx2 > 0, also (1+x)n+1 > 1 + (n+1)x.
Das Gleichheitszeichen kann also höchstens dann auftreten, wenn x = 0. Wenn aber x = 0 gilt, rechnet man leicht nach, dass das Gleichheitszeichen für alle n ≥ 1 gilt.


Satz
Sei y ∈ \mathbb R mit y > 1. Dann gilt für alle n ∈ \N

      \!\, y^n > n(y-1)


Beweis
Setzt man 1+x = y in der Bernoullischen Ungleichung, so folgt:       yn ≥ 1+n(y-1) > n(y-1).


[Bearbeiten] Schwarzsche Ungleichung

Satz
Sei n ∈ \N und seien x1,......,xn,y1,......,yn reelle Zahlen. Dann gilt:

      \!\, x_1y_1 + ...... + x_ny_n \le \sqrt{ x_1^2 + ...... + x_n^2 } \cdot \sqrt{ y_1^2 + ...... + y_n^2 }
 
Gleichheit gilt genau dann, wenn es reelle Zahlen \alpha, \ \beta gibt, so dass für alle k = 1, ...,n:
      \alpha^2 + \beta^2 \ne 0 \text { und} \ \alpha x_k+\beta y_k = 0


Zunächst wird das Summenzeichen (mit zwei Rechenregeln) definiert und eine äquivalente Schreibweise der Schwarzschen Ungleichung, ohne Wurzeln, angegeben. Die Rechenregeln lassen sich mit vollständiger Induktion zeigen (und bleiben Ihnen zur Übung überlassen).


Definition und Satz;


Seien n ∈ \N und x1,......,xn,y1,......,yn, α reelle Zahlen.
  1. Eine Summe sei mit dem Summenzeichen wie folgt definiert:
    \sum_{k=1}^1 x_1 := x_1 sowie

    \sum_{k=1}^n x_k := \left(\sum_{k=1}^{n-1} x_k\right) + x_n.       k nennt man Summationsindex.

    Dann gilt:
  2. \sum_{k=1}^n (x_k + y_k) = \sum_{k=1}^n x_k + \sum_{k=1}^n y_k   und

  3. \sum_{k=1}^n \alpha x_k = \alpha\sum_{k=1}^n x_k .


Die Schwarzsche Ungleichung lässt sich jetzt wie folgt darstellen und wird auch in dieser Form bewiesen:


      \left(\sum_{k=1}^n x_k y_k\right)^2 \le \left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right) \cdot \left(\sum_{k=1}^n y_k^2\right) .


Beweis
1. Hilfssatz
      \sum_{k=1}^n\left(\alpha x_k+\beta y_k \right)^2 = 0 \Leftrightarrow \alpha x_k+\beta y_k = 0   für  k=1,\dots,n

Beweis des Hilfssatzes
Mit den Rechenregeln für Ungleichungen lässt sich leicht zeigen, dass   \left(\alpha x_k+\beta y_k \right)^2\ge 0   für  k=1,\dots,n. Daraus folgt (mit vollständiger Induktion):
\sum_{k=1}^n\left(\alpha x_k+\beta y_k \right)^2 = \sum_{k=1}^{n-1}\left(\alpha x_k+\beta y_k \right)^2 + \left(\alpha x_n+\beta y_n \right)^2 \ge 0 + \left(\alpha x_n+\beta y_n \right)^2 \ge 0.

Wegen       "a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2 = 0 \Leftrightarrow a_k = 0 für  k=1,\dots,n "
(was sich wiederum leicht mit den Rechenregel für Ungleichungen zeigen lässt) folgt unmittelbar der Hilfssatz.

2. Mit etwas Rechenaufwand wird nun die Schwarzsche Ungleichung direkt bewieisen (zunächst noch nicht für das Gleichheitszeichen):
Seien: \Alpha := \sum_{k=1}^n x_k^2,\ \Beta := \sum_{k=1}^n y_k^2\ \text{ und }\ \Gamma := \sum_{k=1}^n x_ky_k.       Zu zeigen ist: \Gamma^2 \le \Alpha\Beta

Es gilt:
0 \le \sum_{k=1}^n\left(\alpha x_k+\beta y_k \right)^2 = \sum_{k=1}^n\left(\alpha^2 x_k^2 + 2\alpha x_k\beta y_k + \beta^2 y_k^2 \right) = \alpha^2 \sum_{k=1}^n x_k^2 + 2\alpha\beta \sum_{k=1}^n x_ky_k + \beta^2\sum_{k=1}^n y_k^2 = \alpha^2 \cdot \Alpha + 2\alpha\beta \cdot \Gamma+ \beta^2 \cdot \Beta

Wählt man nun \alpha := - \Gamma \!\,\text { und } \beta := \Alpha so erhält man

      0 \le \Gamma^2\Alpha - 2\Gamma\Alpha\Gamma + \Alpha^2\Beta = - \Gamma^2\Alpha + \Alpha^2\Beta \text { oder (1) } \Alpha\Gamma^2 \le \Alpha^2\Beta

Für \Alpha = 0 \!\,   muss auch   x_k = 0 \!\,   für   k=1,\dots,n   gelten. Es folgt   \Gamma = 0 \!\,   gelten und das zeigt die Behauptung.

Mit \Alpha > 0 \!\,   folgt   \frac{1}{\Alpha} > 0   , damit ergibt sich aus obiger Ungleichung (1)   \Gamma^2 \le \Alpha\Beta   und das zeigt die Behauptung.

3. Nun für das Gleichheitszeichen:

3.1. Es gelte also das Gleichheitszeichen:
Für \Alpha = 0 \!\,   muss auch   x_k = 0 \!\,   für   k=1,\dots,n   gelten und die reellen Zahlen   \alpha = 1 \text { und } \ \beta = 0   erfüllen die die Behauptung (analog für   \Beta = 0 \!\, ).

Sei \Alpha\Beta > 0 \!\, . Dann gilt das Gleichheitszeichen auch in allen oben stehenden Ungleichungen. Mit dem Hilfssatz folgt   \alpha x_k+\beta y_k = 0\!\,   für  k=1,\dots,n\!\,. Mit den oben definierten \alpha \text { und } \beta \!\,   ist die Behauptung also erfüllt.

3.2. Es gelte \alpha^2 + \beta^2 \ne 0 \text { und} \ \alpha x_k+\beta y_k = 0   für   k=1,\dots,n\!\,:
Sei \alpha \ne 0   (falls \alpha = 0 \!\, verfährt man mit \beta\!\, entsprechend).
Es folgt   x_k = - \frac{\beta}{\alpha} y_k ,\ \Alpha = \frac{\beta^2}{\alpha^2}\Beta,\ \Gamma = - \frac{\beta}{\alpha}\Beta , also \Gamma^2 = \Alpha\Beta \!\, und das zeigt die Behauptung.


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