Mathematik: Analysis: Stetigkeit

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Analysis
Einleitung
A: Grundlagen   B: Reelle Zahlen   C: Folgen und Reihen   D: Stetigkeit   E: Differentialrechnung   F: Integralrechnung   G: Differentialgleichungen

Es gibt zwei äquivalente Definitionen von Stetigkeit einer Funktion von \mathbb R \rightarrow \mathbb R:

f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R heißt stetig in x0 genau dann wenn:

\forall \varepsilon >0 ~\exists \delta >0 : |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon ~\forall |x-x_0|< \delta

oder:

Für jede Folge (an) mit Limes a gilt:

\lim \limits_{n \rightarrow \infty} f(a_n) = f(a)

Falls es sich um eine Funktion von \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m handelt, so ist natürlich anstatt des Betrages eine Norm zu verwenden in der ersten Definition der Stetigkeit.

Oft ist es so, daß das \varepsilon - \delta- Kriterium geeignet ist, Stetigkeit nachzuweisen, wohingegen das Folgenkriterium geeigneter ist, Unstetigkeit nachzuweisen.

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