Mathematik: Analysis: Stetigkeit

Analysis
Einleitung

A: Grundlagen

B: Reelle Zahlen

C: Folgen und Reihen

D: Stetigkeit

E: Differentialrechnung

F: Integralrechnung

G: Differentialgleichungen

1. Umgebungsstetigkeit

Bei der numerischen Berechnung von Funktionswerten $f(a)$ ist man häufig auf Näherungswerte $x$ für den Argumentwert $a$ angewiesen wie z. B. bei $a = \sqrt{3}$, die man aber je nach Bedarf beliebig nahe bei $a$ wählen kann. Das hat jedoch zur Folge, dass eine Abweichung vom Argumentwert im Allgemeinen eine mehr oder weniger große Abweichung vom zugehörigen Funktionswert nach sich zieht. In praktischen Fällen wird jedoch die zugelassene Abweichung vorgeschrieben sein, und zwar dadurch, dass man eine positive reelle Zahl $\varepsilon$ vorgibt, die festlegt, wie weit der Näherungswert $f(x)$ sich vom Funktionswert $f(a)$ nach "oben" bzw. nach "unten" unterscheiden darf:

$(1) \qquad \qquad |f(x) - f(a)| < \varepsilon.$

Dann stellt sich aber sofort die Frage, ob man die Abweichung des Näherungswertes $x$ von der Stelle $a$ so eingrenzen kann, dass die Forderung (1) erfüllt wird. Es müsste dazu eine positive reelle Zahl $\delta$ so angebbar sein, dass für jedes $x$ aus der Definitionsmenge $D_f$ von $f$ mit

$(2) \qquad \qquad \quad |x - a| < \delta$

die Ungleichung (1) gilt. Diese Eigenschaft, die für eine näherungsweisige Berechnung von Funktionswerten wesentlich ist, fasst man in folgende

Definition - (lokale) Stetigkeit

Eine Funktion $f: D_f \to \R$ heißt stetig an der Stelle (oder kurz: bei) $a$ genau dann,

wenn $a \in D_f$ und zu jedem reellen $\varepsilon >0$ ein reelles $\delta >0$ existiert, so dass für alle $x \in D_f$ gilt:

$|x - a|< \delta \quad \Rightarrow \quad |f(x) - f(a)|<\varepsilon.$

Es sei hier auf eine besondere Konsequenz aus dieser vorstehenden Definition hingewiesen, nämlich dass jede Funktion, deren Definitionsmenge nur aus isolierten Punkten besteht, stetig ist; denn die Ungleichung $|x - a| < \delta$ ist für eine isoliert in $D_f$ liegende Stelle bei hinreichend kleinem $\delta >0$ nur für $a \in D_f$ erfüllbar, und damit hat man dann die trivialerweise erfüllte Ungleichung $|f(a) - f(a)|<\varepsilon$. Somit sind insbesondere alle Folgen stetige Funktionen!

Als eine weitere Konsequenz aus der Definition der (lokalen) Stetigkeit ergibt sich, dass $f$ bei $a$ nicht stetig ist, falls $a \notin D_f$. In einem solchen Fall aber $a$ "Unstetigkeitsstelle" zu nennen, wäre nicht angebracht; denn eine Funktion kann eine Eigenschaft nur an solchen Stellen haben, an denen sie auch definiert ist. Deshalb legt man fest:

$a$ heißt Unstetigkeitsstelle von $f$ genau dann, wenn $a \in D_f$ und $f$ nicht stetig bei $a$ ist.

Definition - (globale) Stetigkeit

Eine Funktion $f: D_f \to \R$ heißt (global) stetig genau dann, wenn sie an jeder Stelle $a \in D_f$ stetig ist.

Die Menge $U(a) = \{x \, \big| \, x \in\R \, \wedge \, |x-a| < \delta \}$ stellt eine Umgebung von $a$ dar und die Menge $V(f(a)) = \{f(x) \, \big| \, x \in D_f \, \wedge \, |f(x)-f(a)| < \varepsilon \}$ eine Umgebung von $f(a)$. Beachtet man, dass jetzt $f(U(a)) = \{f(x)\, \big| \, x \in D_f \cap U(a) \}$ ist (und nicht gleich $f(U(a)) = \{f(x)\, \big| \, x \in U(a) \}$; denn $f$ bildet nur diejenigen Elemente von $U(a)$ ab, die auch zu $D_f$ gehören), so kann man die Definition der (lokalen) Stetigkeit mittels des Umgebungsbegriffes umformulieren.

Satz - Umgebungskriterium für (lokale) Stetigkeit

Eine Funktion $f: D_f \to \R$ ist stetig an der Stelle $a$ genau dann, wenn $a \in D_f$ und

zu jeder Umgebung $V(f(a))$ von $f(a)$ eine Umgebung $U(a)$ von $a$ existiert, so dass $f(U(a)) \subset V(f(a))$ ist.

2. Folgenstetigkeit

Unter Verzicht auf solche Funktionen, deren Definitionsmenge isolierte Punkte enthält oder nur aus isolierten Punkten besteht, kann man die Stetigkeit auch noch anders fassen.

Satz - Folgenkriterium für (lokale) Stetigkeit

Eine Funktion $f: D_f \to \R$ ist stetig bei $a$ genau dann, wenn Folgendes gilt:

$a \in D_f$, außerdem $a$ Häufungspunkt von $D_f$, und für jede Folge $(a_n)_{n\in\N}$, deren Glieder in $D_f$ liegen und deren Grenzwert $a$ ist, existiert $\lim_{n\to\infty}f(a_n)$ und ist gleich $f(a)$.

Verkürzt formuliert besagt das Folgenkriterium, dass im Stetigkeitsfall Limesbildung und Funktionswertberechnung vertauschbar sind:

$\lim_{n\to\infty} f(a_n) = f(\lim_{n\to\infty} a_n) = f(a).$

Falls es sich um eine Funktion $f: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m$ handelt, so ist in der Definition der (lokalen) Stetigkeit anstatt des Betrages die jeweils für $\R^n$ bzw. $\R^m$ zugrunde gelegte Norm zu verwenden.

Oft ist es so, dass für einen lokalen Stetigkeitsnachweis das $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium geeignet ist, für einen Nachweis der Unstetigkeit an einer Stelle jedoch das Folgenkriterium bequemer zu handhaben ist.