Mathematik: Diskrete Mathematik: Mengenlehre

Aus Wikibooks

Wechseln zu: Navigation, Suche

Hoch zu Diskrete Mathematik Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Darstellungen
3 Elemente
- 3.1 Gleichheit
- 3.2 Mächtigkeit
4 Aus Mengen gebildete Mengen
5 Rechenregeln für Mengenoperationen

[Bearbeiten] Definition

Eine Menge ist eine Sammlung von verschiedenen Dingen, wie z.B.

Zahlen
Buchstaben
Farbe
Figuren
Namen

Mengen werden mit Großbuchstaben benannt.

[Bearbeiten] Darstellungen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Menge darzustellen:

graphisch mit Hilfe von Mengenbildern

in aufzählender Form:

$B = \mathcal{f} 1;2;3;4;5 \mathcal{g}$
$\mathbb{N}_{0} = \mathcal{f} 0;1;2;3;4;5;6;... \mathcal{g}$

in beschreibender Form:

$P = \mathcal{f} x \mid x\ \mathrm{ist\ Primzahl} \mathcal{g}$
$C = \mathcal{f} x \in N \mid x < 5 \mathcal{g}$

[Bearbeiten] Elemente

Die in der Menge beinhalteten Objekte nennt man Elemente.
$x \in A$ (lies "x ist Element von A") bedeutet, dass x ein Element der Menge A ist, also in dieser Menge liegt.

$x \notin A$ (lies "x ist nicht Element von A") bedeutet, dass x kein Element der Menge A ist, also nicht in A liegt.

Beispiel:
$A = \mathcal{f} 1;2;3 \mathcal{g} \Rightarrow$ $1 \in A, 2 \in A, 5 \notin A$

Besitzt eine Menge keine Elemente, so ist sie die leere Menge.
$\mathcal{f} \mathcal{g} = \phi$
Eine Menge kann jedoch eine leere Menge enthalten !
$M=\mathcal{f} \phi \mathcal{g}$

[Bearbeiten] Gleichheit

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie genau die gleichen Elemente beinhalten. Beim Aufzählen von Mengen zählt weder die Reihenfolge der einzelnen Elemente, noch die Anzahl der gleichen Elemente.
$A = \mathcal{f} 1;2;3 \mathcal{g}$ $B = \mathcal{f} 3;1;2;2 \mathcal{g}$ $A = B$

[Bearbeiten] Mächtigkeit

Die Mächtigkeit einer endlichen Menge ist die Anzahl ihrer Elemente. Beispiele:

$|\mathcal{f} 1;2;3 \mathcal{g}| = 3$

$|\mathcal{f}\mathcal{g}| = 0$

Bei unendlichen Mengen hat wird der Anzahlbegriff problematisch; die Mächtigkeit wird durch ein Symbol ausgedrückt, das ausdrücklich keine Zahl im arithmetischen Sinne ist. Für die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen schreibt man

$|N| = \aleph_0$

(gesprochen aleph null).

[Bearbeiten] Aus Mengen gebildete Mengen

Die Teilmenge: Die Teilmenge ist eine Menge die in der Ausgangsmenge enthalten ist, und so alle Elemente dieser beinhaltet. $B \subseteq A \Leftrightarrow (x \in B \Rightarrow x \in A)$
Datei:Teilmenge.png
Die Potenzmengen: Die Potenzmenge beinhaltet alle möglichen Teilmengen.

$P(A) = \mathcal{f} \phi; \mathcal{f}1\mathcal{g}; \mathcal{f}2\mathcal{g}; \mathcal{f}3\mathcal{g};\mathcal{f}1;2\mathcal{g}; \mathcal{f}1;3\mathcal{g}; \mathcal{f}2;3\mathcal{g};\mathcal{f}1;2;3\mathcal{g}\mathcal{g}$
Die Mächtigkeit der Potenzmenge beträgt immer die Potenz von 2 mit der Mächtigkeit der Ausgangsmenge: $| P (A) | = 2 | A |$
Datei:Menge aller teilmengen.png