Mathematik: Lineare Algebra: Eigenwerte: Das charakteristische Polynom

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Das charakteristische Polynom ist ein spezielles Polynom, durch welches sich bestimmte Aussagen über lineare Abbildungen oder quadratische Matrizen machen lassen. Außerdem hängt es sehr eng mit den Gebieten der Eigenwerte und Eigenvektoren zusammen, welche sich (oftmals) nur damit berechnen lassen.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition

[Bearbeiten] für Endomorphismen

Es seien \varphi ein w:Endomorphismus von V und die w:Dimension \text{dim(V)}\in \mathbb{N}.
Dann wird p_{\varphi } als das charakteristische Polynom von \varphi definiert und es gilt:
p_{\varphi }\text{:=}\det (\varphi -\lambda\cdot \text{id}).

[Bearbeiten] für Matrizen

Es sei A\in \mathcal{M}_{n\times n}\text{(}\mathbb{K}\text{)} , wobei \mathbb{K} ein Körper ist, dann wird pA als charakteristisches Polynom von A bezeichnet und es gilt:

p_{\varphi }\text{:=}\det (A-\lambda E). (Wobei E die Einheitsmatrix ist.)


[Bearbeiten] Sätze

  1. Zwei Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom, wenn sie ähnlich sind.
  2. Wenn das charakteristische Polynom pA in Linearfaktoren zerfällt, dann nennt man A zerfallend über \mathbb{K}.


[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Ein allgemeines Beispiel

Es sei

A\in \mathcal{M}_{2\times 2}\text{(}\mathbb{K}\text{)}\text{, A :=} \left( \begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array} \right).

Dann ist das charakteristische Polynom pA von A :

p_A \text{ = } \det ( A-\lambda E ) \text{ = } \det ( \left( \begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array} \right) -\lambda \left( \begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) ) \text{ = }
\det( \left( \begin{array}{ll} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{array} \right) ) \text{ = } (a-\lambda ) (d-\lambda )-b c


Das charakteristische Polynom pA ist also (a − λ)(d − λ) − bc.


Anmerkung:
Löst man diese Gleichung (also das charakteristische Polynom) nun nach λ auf, so hat man die w:Eigenwerte zur Matrix A gefunden.


[Bearbeiten] Ein Beispiel zu Linearfaktoren

Es sei

B\in \mathcal{M}_{2\times 2} \text{(} \mathbb{K} \text{), B :=} \left( \begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & b \end{array} \right) .


Dann ist das charakteristische Polynom pB von B:


p_B \text{ = } \det(B-\lambda E) \text{ = } \det( \left( \begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & b \end{array} \right) -\lambda \left( \begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) ) \text{ = }
det( \left( \begin{array}{ll} a-\lambda & 0 \\ 0 & b-\lambda \end{array} \right) ) \text{ = } (a-\lambda ) (b-\lambda )


Das charakteristische Polynom pB ist also (a − λ)(b − λ).
B ist zerfallend und aus den Linearfaktoren von pB kann man unmittelbar erkennen, dass die w:Eigenwerte a und b sind.


[Bearbeiten] Zahlenbeispiel

Es sei

C\in \mathcal{M}_{3\times 3} \text{(} \mathbb{C} \text{), } C \text{ := } \left( \begin{array}{lll} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right) .


Dann ist das charakteristische Polynom pC von C:


p_B= \det( C-\lambda E ) = det( \left( \begin{array}{lll} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right) -\lambda \left( \begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) ) =
\det( \left( \begin{array}{lll} (-\lambda -1) & 1 & 1 \\ 0 & (1-\lambda) & 3 \\ 1 & 0 & (2-\lambda) \end{array} \right) ) =-\lambda ^3+2 \lambda ^2+2 \lambda

Das charakteristische Polynom pC ist also − λ3 + 2λ2 + 2λ.


-- Domino 18:08, 6. Apr. 2008 (CEST)

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