Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Abbildungen

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Definition[Bearbeiten]

Eine Abbildung (oder Funktion) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Definitionsmenge (auch Definitionsbereich) genau ein Element einer Wertemenge (auch Zielmenge oder Bildbereich) zuweist. Im normalen Sprachgebrauch würde man eine Abbildung auch eine Zuordnung nennen, denn es werden den Elementen der Definitionsmenge jeweils ein Element der Wertemenge zugeordnet.

Man schreibt:

  •  f\colon X \to Y (bedeutet: f\, ist eine Funktion, die Definitionsmenge von f\, ist X\, und die Wertemenge von f\, ist Y\,)
  •  f\colon x \mapsto y oder f(x) = y\, (bedeutet: Die Funktion f\, schickt x\, auf y\,)

Ein Element y = f(x) \in Y heißt hierbei Bild unter f\,. Die Menge derjenigen x \in X, die auf y\, abgebildet werden, heißt das Urbild von y\,.

Wenn f\colon X \to Y gilt, definiert man für eine Untermenge Z \subseteq X f(Z) := \big\{ y \in Y \big| \exist\ z \in Z: f(z) = y\big\}

Eigenschaften von Funktionen[Bearbeiten]

Injektivität
Surjektivität
Bijektivität

Sei f\colon X \to Y eine Abbildung. Dann nennt man f

  • injektiv, falls für  x_1,x_2 \in X gilt, dass f(x_1) = f(x_2)\ immer x_1 = x_2\, impliziert. Äquivalent dazu ist  x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) .
  • surjektiv, falls es zu jedem  y \in Y mindestens ein  x \in X gibt, für das  f(x) = y\, gilt.
  • bijektiv, falls f\, sowohl injektiv, als auch surjektiv ist.

Anschaulicher formuliert bedeutet dies, dass jedes y \in Y

  • für injektives f\, höchstens ein Element
  • für surjektives f\, mindestens ein Element
  • für bijektive Abbildungen genau ein Element

in seinem Urbild besitzt.

Restriktion (oder Einschränkung) und Fortsetzung[Bearbeiten]

Haben zwei Abbildungen f \colon A \to B und g \colon A' \to B mit A' \subset A dieselbe Funktionsvorschrift, ist also für alle x \in A' f(x) = g(x). So nennt man g\, die Restriktion (oder Einschränkung) von f\, auf A'\, und schreibt g = f|_{A}\,. Andererseits ist f\, eine Fortsetzung von g\, auf A\,.

Urbildbereich/Inverse Funktionen[Bearbeiten]

Wenn f: A \to B eine Funktion ist, definiert man f^{-1}: \mathcal{P}(B) \to \mathcal{P}(A) wobei für B' \subseteq B f^{-1}(B') = \left\{a \in A \big| \exist\ b' \in B' f(a) = b'\right\}. Dies bezeichnet man als den Urbildbereich von B\,. Wenn B' = \big\{b'\big\} gilt, B\, also nur aus einem Element besteht, schreibt man statt f^{-1}\big(\{b'\}\big) auch f^{-1}(b')\,. Hierbei muss man beachten, dass f^{-1}\, im allgemeinen eine Menge erzeugt, die auch (wenn die Funktion nicht surjektiv ist) leer sein kann. Nur wenn f\, bijektiv ist, ist f^{-1}\, auch eine bijektive Funktion f^{-1}: B \to A.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Identiät id_{X}\colon X \to X, x \mapsto x ist eine bijektive Abbildung.
  • Die Funktion f_0: x \mapsto x + 1 ist von \mathbb{Z} \to \mathbb{Z},\ \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} \mathrm{\ und\ } \mathbb{R} \to \mathbb{R} eine bijektive Abbildung. f_0|_\mathbb{N} ist dagegen nur injektiv.
  • f_1\colon \Z \to \Z, x \mapsto 2x ist injektiv, jedoch nicht surjektiv, da etwa 1 = 2x\, in den ganzen Zahlen keine Lösung besitzt, also kein Urbild zu 1 \in \Z existiert.
  • f_2\colon \N \to \{0, 1\}, x \mapsto \begin{cases}0 & \mathrm{falls\ x\ gerade}\\ 1 & \mathrm{falls\ x\ ungerade}\end{cases} ist surjektiv, jedoch nicht injektiv, denn f_2(2) = 0 = f_2(4)\,.
  • f_3\colon \R \to \R, x \mapsto x^2 ist weder injektiv noch surjektiv, denn f_3(1) = 1  = f_3(-1)\, und zu -1 \in \R kein reelles x\, existiert, so dass f_3(x) = -1\,.


Permutationen[Bearbeiten]

Eine bijektive Selbstabbildung einer endlichen Menge bezeichnet man als Permutation von A.

Zwei Abbildungen f \colon X \to Y und f' \colon X' \to Y' heißen gleich, wenn X = X'\,, Y = Y'\, und f(x) = f^{\prime}(x)\ für alle x \in X gilt.