Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Mengen 1

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Mathematik

Lineare Algebra

Grundlagen

Mengen I
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Mengen

Inhaltsverzeichnis

1 Geschichtliches
2 Grundlage
3 Angeben einer Menge
4 Die leere Menge
5 Relationen und Operationen auf Mengen

[Bearbeiten] Geschichtliches

Nach der Definition des Mathematikers Georg Cantor, der als Begründer der Mengenlehre gilt, ist eine Menge "eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen".

[Bearbeiten] Grundlage

Die Definition von Cantor klingt heute etwas geschwollen. Es ist der sogenannte naive Standpunkt. Kurz gesagt ist eine Menge nach dem naiven Standpunkt eine Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte wobei diese Objekte als Elemente bezeichnet werden. Das unterscheidbar in obigem Satz ist wichtig, weil in einer Menge kein Element doppelt vorkommen darf. So ein Objekt kann also zum Beispiel eine Zahl sein, ein Wort oder eben alles Andere, was voneinander unterscheidbar ist.

[Bearbeiten] Angeben einer Menge

Im Prinzip gibt es drei verschiedene Möglichkeiten eine Menge anzugeben:

durch explizites Aufzählen aller Elemente, die in der Menge enthalten sind, und zwar in geschweiften Klammern. Zum Beispiel $M:=\big\{7, 8, 5, 12\big\}$ oder $M:=\big\{14.87, 45.122\big\}$ oder aber auch sowas wie $M:=\big\{\mathrm{Baum}, \mathrm{Strauch}, \mathrm{Blume}\big\}$ . Die Elemente müssen bei so einer Aufzählung deutlich voneinander getrennt sein, deswegen verwendet man üblicherweise einen Beistrich zwischen den Elementen. Bei Zahlen ist aber (gerade wenn am Computer geschrieben wird) auch einfach nur ein Leerzeichen denkbar. Wenn mit der Hand geschrieben wird, sind Zwischenräume aber eher ungünstig, weil die meistens mit der Zeit so eng werden, dass nicht mehr wirklich gesagt werden kann, ob es noch eine Lücke ist oder nicht.
durch implizites Aufzählen aller Elemente, welche in der Menge enthalten sind. Dabei werden charateristische Elemente der Menge angegeben und dem Leser durch "..." angezeigt, dass es mehr als die angegeben Elemente gibt, die einer bestimmten Form genügen. So kann man zum Beispiel die Menge $P$ aller Primzahlen durch $P:=\big\{2, 3, 5, 7, 11, 13, ...\big\}$ angeben.
durch Definieren ihrer Eigenschaft, z.B. mittels $M:=\big\{n \mid 50\ \mathrm{kleiner\ als}\ n,\ n\ \mathrm{ganze\ Zahl}\big\}$ Damit wären alle ganzen Zahlen größer als 50 in $M$ enthalten. Also $M:=\big\{51, 52, 53, 54, 55, ...\big\}$

Um ein Element einer Menge anzuzeigen, schreibt man $a \in A$ . Beispiele:

$3 \in P := \big\{2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots\big\}$
$4 \notin P$

[Bearbeiten] Die leere Menge

$\emptyset$ ist die sogenannte leere Menge. Sie kann verschieden definiert werden. Hier ein paar Beispiele:

$\emptyset := \{\ \}$
$\emptyset := \big\{x \mid x \neq x\big\}$

[Bearbeiten] Relationen und Operationen auf Mengen

Symbol	Bedeutung	Beispiel
$m \in M$	m ist Element von M.	$3 \in \mathbb{N}$
$M \subseteq N$	M ist Teilmenge von N, das heißt, jedes Element von M ist auch Element von N.	$\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}$ und $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$
$M \subsetneq N$	M ist echte Teilmenge von N, das heißt, M ist Teilmenge von N, aber nicht gleich N.	$\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z}$ , aber nicht: $\mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Z}$
$M \cup N$	Vereinigung von M und N: die Menge aller Elemente, die Element von M oder N (oder beiden) sind	$\mathbb{Z} = \left\{0,-1,-2,-3,\ldots\right\} \cup \mathbb{N}$
$M \cap N$	Schnittmenge von M und N: die Menge aller Elemente, die Element sowohl von M als auch von N sind	$\mathbb{N} = \mathbb{Z} \cap \mathbb{R}_+$
$M \setminus N$	Mengendifferenz von M und N: die Menge aller Elemente, die Element von M sind, aber nicht Element von N	$\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} = \left\{0,-1,-2,-3,\ldots\right\}$
$M Δ N$	Symmetrische Differenz von M und N: die Menge aller Elemente, die Element der Vereinung $M \cup N$ sind, aber nicht Element des Durchschnitts $M \cap N$ . Mit anderen Worten $M \Delta N := (M \cup N) \setminus (M \cap N) = (M \setminus N) \cup (N \setminus M)$	$\left\{a, b, c \right\} \Delta \left\{ c, d \right\} = \left\{a, b, d \right\}$

Zu einer gegebenen Menge $A$ heißt $| A |$ die Kardinalität von $A$ . Für eine endliche Menge mit $n$ Elementen gilt gerade $| A | : = n$ .

Die Menge aller Teilmengen von $A$ wird als Potenzmenge bezeichnet:

$P(A) := \{ U \colon U \subseteq U\}$

Falls $A$ endlich, gilt $| P (A) | = 2 | A |$ .

Für zwei Mengen $A, B$ ist die Menge aller geordneten Paare $(a, b)$ mit $a \in A$ und $b\in B$ das kartesische Produkt von $A$ und $B$ . Man schreibt dies als

$A\times B := \{ (a,b) \colon a \in A, b \in B\}$

und es gilt: $|A \times B| = |A|\cdot|B|$ . Falls $A = B$ schreibt man auch abkürzend $A^2 := A \times A.$ , bzw. allgemeiner $A^n := \underbrace{A \times A \times \ldots \times A}_{n-\mathrm{mal}}$ .