Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Mengen 2

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Mathematik

Lineare Algebra

Grundlagen

Mengen II

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Inhaltsverzeichnis

1 Die natürlichen Zahlen
- 1.1 Axiomensystem von G. Peano
- 1.2 Beweisprinzip der vollständigen Induktion
2 Die Ganzen Zahlen
- 2.1 Aufbau der ganzen Zahlen
3 Die rationalen Zahlen
- 3.1 Aufbau der rationalen Zahlen
4 Die reellen Zahlen
5 Die komplexen Zahlen
6 Weitere häufig benutzte Mengen

[Bearbeiten] Die natürlichen Zahlen $(\mathbb{N})$

$\mathbb{N} := \left\{1, 2, 3, 4, 5, ... \right\}$ sind die sogenannten natürlichen Zahlen. Es sind alle ganzen Zahlen von Eins anfangend. Das folgende Axiomensystem von Giuseppe Peano beschreibt alle Eigenschaften dieser Menge.

[Bearbeiten] Axiomensystem von G. Peano

$1$ ist eine natürliche Zahl
Jede natürliche Zahl $n \in \mathbb{N}$ hat einen eindeutig bestimmten Nachfolger $n' (\,= n + 1)\in \mathbb{N}$ .
1 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl
Für jede Menge $M \subseteq \mathbb{N}$ , die 1 und mit $m$ auch jeden Nachfolger $m'$ enthält, gilt $M = \mathbb{N}$ .

[Bearbeiten] Beweisprinzip der vollständigen Induktion

Das Axiomensystem von G. Peano führt auf das sehr wichtige Beweisprinzip der vollständigen Induktion: $A (n)$ sei eine Aussage, in der eine natürliche Zahl $n \in \mathbb{N}$ vorkommt. Wenn dann

$A (1)$ ist wahr
Falls $A (n)$ wahr ist, ist auch $A (n + 1)$ wahr

gilt, ist die Aussage $A (n)$ für jede natürliche Zahl wahr. Häufig gebrauchte Varianten sind:

Man startet bei $A (k)$ . Die Aussage ist dann allerdings nur für $n > = k$ wahr.
Als zweites verwendet man: Falls $A(1), A(2), \ldots, A(n)$ wahr sind, ist auch $A (n + 1)$ wahr.

[Bearbeiten] Die Ganzen Zahlen $(\mathbb{Z})$

Die Ganzen Zahlen sind alle Zahlen von minus Unendlich bis Unendlich. Also

$\mathbb{Z} := \left\{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \ldots \right\}$ .

[Bearbeiten] Aufbau der ganzen Zahlen

Hier soll beschrieben werden, wie man aus $\mathbb N$ $\mathbb Z$ gewinnt.

[Bearbeiten] Die rationalen Zahlen $(\mathbb{Q})$

Die Rationalen Zahlen oder Brüche sind alle Zahlen, die sich als Bruch $\frac{p}{q}\ \mathrm{mit}\ p,\ q \in \mathbb{Z}$ schreiben lassen. Also:

$\mathbb{Q} := \big\{ x \big| x = \frac{p}{q};\quad p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N} \big\}$

[Bearbeiten] Aufbau der rationalen Zahlen

[Bearbeiten] Die reellen Zahlen $(\mathbb{R})$

Die reellen Zahlen bestehen aus den rationalen und den irrationalen Zahlen. Auf die Definition kommen wir noch später zu sprechen, jedoch einige Beispiele für Irrationale Zahlen:

$\sqrt{2}$
allgemein: $\sqrt[q]{p}\ \mathrm{mit}\ q \in \mathbb{N}\ \mathrm{und}\ p\ \mathrm{Primzahl}$
$\pi\,$ (Die Kreiszahl Pi)
$e\,$ (Die eulersche Zahl)

[Bearbeiten] Die komplexen Zahlen $(\mathbb{C})$

Die komplexen Zahlen sind eine gedanklich geschaffene Zahlenmenge, um mit Zahlen rechnen zu können die in der Menge der Reellen Zahlen nicht existieren. Man kann sie als eine Art Hilfsmittel betrachten, mit denen bestimmte Berechnungen (z.B. in der Elektrotechnik) gelöst werden können. Ohne die Komplexen Zahlen wäre dies häufig nicht, oder nur mit mit erheblich größerem Aufwand möglich.

Eine komplexe Zahl Z hat immer die folgende Form:

$Z = a + b \cdot i$

a und b sind jeweils reelle Zahlen. a heißt Realteil, b Imaginärteil. i wird als Imaginäre Einheit bezeichnet.

Die Imaginäre Einheit i ist die Zahl, die aus der folgenden Gleichung resultiert: $\ i^2 = -1$ Daraus folgt, dass i den Wert $\ i = \sqrt{-1}$ haben müsste. Die Wurzel von negativen Zahlen ist jedoch nicht definiert. Deshalb wird der Buchstabe i als Platzhalter verwendet. (In der Elektrotechnik wird statt "i" der Buchstabe "j" verwendet.) Es gelten dieselben Rechenregeln wie für die Reellen Zahlen. Übrigens kann jede reelle Zahl auch als komplexe Zahl angegeben werden. Hierbei ist der Imaginärteil einfach 0.

Ist der Imaginärteil des Ergebnisses einer komplexen Berechnung nicht Null, so muss das Ergebnis je nach Anwendungsgebiet speziell interpretiert werden.

Beispiele: