Mathematik: Lineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme: Definition

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[Bearbeiten] Was ist ein lineares Gleichungssystem (LGS) ?

Eine Gleichung der Form

heißt lineare Gleichung mit n Unbekannten x_i (i = 1, 2, 3, . . .,n). Linear ist die Gleichung, weil die x_i nur linear (d.h.in der ersten Potenz) vorkommen. Die Koeffizienten ("Beiwerte") a_i und b sind reelle (oder auch komplexe) Zahlen.

Oft führt die mathematische Lösung eines Problems auf mehrere derartiger Gleichungen. Betrachten wir dazu folgendes Beispiel:

Man kann

1 x₁ + 1 x₂ + 3 x₃ = 1

als parameterfreie Darstellung einer Ebene im R³ lesen. Ebenso sind

2 x₁ + 3 x₂ + 3 x₃ = 4 und 4 x₁ + 6 x₂ + 3 x₃ = 2

zwei weitere Ebenen. Drei Ebenen können sich in einem (gemeinsamen) Punkt S schneiden. Da dieser Punkt auf allen drei Ebenen liegt, müssen seine Koordinaten alle drei Gleichungen simultan erfüllen.
Im Allgemeinen sind nun mehrere (lineare) Gleichungen (etwa m der Anzahl nach) aufgestellt worden, die jeweils n Unbekannte x_i enthalten. Ein solches Gleichungssystem aus m linearen Gleichungen mit jeweils n Unbekannten nennt man ein lineares Gleichungsystem, kurz LGS. Das Gleichungssystem unseres Beispiels mit m = n = 3 sieht so aus:

Allgemein lässt sich ein reelles lineares Gleichungssystem (B) mit m Gleichungen und n Unbekannten in der folgenden Form schreiben:

Dabei bezeichnen a_ik und b_i für und reelle Zahlen. Das System (B) heisst homogen, falls alle b_i = 0, andernfalls heisst es inhomogen.