Mathematik: Lineare Algebra: Struktur von Vektorräumen: Lineare Unabhängigkeit

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[Bearbeiten] Definition

Seien v_1, \dots,v_n Vektoren in einem Vektorraum V \,. v_1, \dots,v_n heissen linear abhängig wenn \exists \lambda_1, ... , \lambda_n \in \mathbb{R} \ (\exists \lambda_1 \ne 0), so dass \sum_{i=1}^n \lambda_i v_1= 0. Sie heissen linear unabhängig, wenn aus \sum_{i=1}^n \lambda_i v_1= 0 stets folgt, dass \lambda_i=0 \, für alle i=1, ... , n \, folgt. Das bedeutet dann, dass kein Vektor eine Linearkombination der anderen darstellt.



[Bearbeiten] Beispiele

\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} sind linear unabhängig.

\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} sind linear abhängig.

Wir werden später noch eine Möglichkeit sehen wie man das schnell testen kann.

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