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Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 Eine formale Sprache 2.1 Änderungen gegenüber der Aussagenlogik 2.1.1 Alphabet 2.1.2 Grammatik

[Bearbeiten] Motivation

So nützlich und brauchbar die Aussagenlogik auch ist, unterliegt sie einer großen Einschränkung: Sie ist nur dann anwendbar, wenn die Folgerichtigkeit des Argumentes einzig und allein von Wörtern bzw. Konstruktionen wie "und", "oder", "wenn ... dann", "nur wenn" oder "genau dann wenn" abhängt.

Die Prädikatenlogik oder Quantorenlogik ermöglicht es nun, die Folgerichtigkeit eines Argumentes auch dann zu überprüfen, wenn sie von Konstruktionen wie "alle", "kein" oder "mindestens ein" abhängt.

[Bearbeiten] Eine formale Sprache

[Bearbeiten] Änderungen gegenüber der Aussagenlogik

Wie schon im Abschnitt Aufbau einer formalen Sprache erwähnt, lässt sich das Grundgerüst der formalen Sprache der Aussagenlogik auch in der Prädikatenlogik wiederverwenden.

Genau genommen generalisieren wir den Satzbuchstaben zum Prädikat und fügen der Sprache so genannte Individuen hinzu.

[Bearbeiten] Alphabet

In der Prädikatenlogik gibt es 6 Arten von Zeichen:

1. Prädikate
2. Junktoren
3. Klammern
4. Quantoren
5. Individuenkonstanten
6. Variablen

Die ersten drei Arten von Zeichen entsprechen im Wesentlichen denen der Aussagenlogik. Das Prädikat stellt eine Verallgemeinerung des Satzbuchstabens dar. Prädikate sind Großbuchstaben des lateinischen Alphabetes, die mit einem oberen Index versehen sind. Dieser obere Index gibt die Stelligkeit oder Arität des Prädikates an. Sollten die 26 Buchstaben nicht ausreichen, kann das Prädikat zusätzlich mit einem unteren Index versehen werden.

Junktoren und Klammern sind mit denen der Aussagenlogik ident.

Neu sind Quantoren, sowie Individuenkonstanten und Variablen.

Es gibt 2 Quantoren:

• den Allquantor bzw.
• den Existenzquantor bzw.

Als Individuenkonstanten verwenden wir die lateinischen Kleinbuchstaben von a bis t. Sollten diese nicht ausreichen, können sie mit einem unteren Index versehen werden.

Als Variablen verwenden wir die lateinischen Kleinbuchstaben von u bis z, wieder mit unterem Index bei Bedarf.

[Bearbeiten] Grammatik

Wohlgeformtheit:

Die ersten drei Regeln sind ähnlich wie bei der Aussagenlogik:

1. Jede Relation* ist eine Formel.

2. Ist 'A' eine Formel, so ist auch 'A' eine Formel.

3. Sind sowohl 'A', als auch 'B' gültige Formeln, so sind auch 'A B', 'A B', 'A->B' und 'A<->B' gültige Formeln.

Es gibt zwei neue Regeln (4. und 5.):

4. Ist A eine Formel , so ' x.A(x)' ist auch eine Formel.

5. Ist A eine Formel, so ' x.A(x)' ist auch eine Formel.

6. Nichts anderes ist eine gültige Formel.

• Relations, Beispiele:

Sind x und y Variablen, dann 'x>y' ist eine zweiplätzige Relation 'R(x,y)' = x>y. (R(4,3) ist wahr (weil 4>3) während R(3,4) ist falsch (weil 3>4 falsch ist).

Ist c=3 ein Konstant, dann 'x=5' ist eine einzelplätzige Relation ('R(x)' ist wahr wenn und nur wenn x=5), darum ist R(c) in diesem Fall falsch.

• • Die Prädikatenlogik nennt man auch 'Erster Grad Logik'.