Mathematik: Numerik

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Band 10 des Werkes Mathematik

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[Bearbeiten] Vorwort

Was ist Numerik?: Numerik ist neben Stochastik/Statistik ein Teilgebiet der Angewandten Mathematik. Ziel der Numerik ist es möglichst genaue, schnelle und stabile algorithmische Verfahren zur numerischen Lösung mathem., -physikal., - technischer Probleme zu entwickeln.

Unter einem "schnellen Algorithmus" kann man sich i.d.R jeder noch etwas "irgendwie" vorstellen. Aber was ist ein "stabiles" -algorithmisches- Verfahren ? Angemerkt sei hier: es gibt durchaus Verbindungen zum CHAOS : den nicht stabilen (Differentatialgleichungs-) Systemen.

Bestimmte Gebiete er sogenannten "Reine Mathematik" erhalten ihren "Kick" aus einem letztendlich physikalischen Problem Anders formuliert: Es wird noch in viel stärkerem Maße die Numerische Mathematik von Problemen Seitens der Physik und /oder den Ingenieurwissenschaften vorangetrieben.

Wozu braucht man Numerik ?: Numerik braucht man aus den oben genannten Gründen ! Aus Sicht der "Reinen Mathematik" ist diese Frage eine "Un-Frage". Denn in der "Reinen Mathematik" geht es um Fragen wie: "Gibt es überhaupt eine Lösung", "Ist die(se) Lösung eindeutig ?"

Die Numerik schliesst die Lücke zwischen der "realen" Welt und der perfekten Welt mathematischer Objekte (gemeint sind: Zahlen; aber auch : Symbole (! Care !) ).

Genaugenommen geht es in der Numerik nicht nur um irgendwelche Verfahren zur Berechnung mathematischer Probleme. So kann man irrationale Zahlen nicht mit der begrenzten Ziffernanzahl von Maschinenzahlen darstellen, wir arbeiten also schon zu Beginn einer Rechnung meist nur mit Näherungen der Werte, mit denen wir eigentlich rechnen wollen. Das hat natürlich Auswirkungen auf die mathematischen Eigenschaften dieser Zahlenwelt, mit der wir rechnen. So gibt es die für jede mathematische Struktur geforderte Abgeschlossenheit bzgl. ihrer Verknüpfungen im Gegensatz zum wirklichen Leben. Sie muß erst künstlich geschaffen werden, und das meist auf Kosten der Eindeutigkeit von Ergebnissen und der Assoziativität der Rechenoperationen. Die Numerik leistet nun zwei wesentliche Beiträge zum Lösen dieser alltäglichen Probleme mit unserer unvollkommenen Zahlenwelt, der Maschinenzahlen. Erstens liefert sie ein Instrumentarium zur Beobachtung und Analyse von Fehlern während einer Rechnung, und zweitens untersucht sie mit Hilfe dieser Fehleranalyse die unterschiedlichen Lösungswege mathematischer Probleme auf Vor- und Nachteile im Umgang mit Maschinenzahlen.

Zur Zeit stellt die Numerik die einzigen Werkzeuge zur Simulation realer Probleme zur Verfügung. Analytische Lösungen realer Fragestellungen sind nur möglich, wenn man das Problem stark idealisiert. Ist z.B. die Struktur bei einer rein mechanischen Analyse eines Tragwerkes unsymmetrisch und diskontinuierlich, so kann keine analytische bzw. eindeutige Lösung berechnet werden.